Granice funkcji WZiE, sem.I, 2008-09
Ciągłość funkcji mgr K. Kujawska, SNM
Zad.1 Obliczyć granice funkcji:
2x-4
x2 - 25 x4 - 3x + 2
1- x
1.1 lim 10 1.2 lim 1.3 lim
x2 x5 x1
x2 - 8x +15 x5 - 4x + 3
x2 - 2x - 8 2x2 + 5x - 3 27 - x3
1.4 lim 1.5 lim 1.6 lim
1
x4 x3 - 3
x2 - 9x + 20 4x3 - 4x2 + x x
x
2
1
x -
2x + 9 - 3 3 2 öÅ‚
2
1.7 lim 1.8 lim 1.9 limëÅ‚ - ÷Å‚
ìÅ‚
1
x0 x1
1- x3 1- x2
1- 1- 3x íÅ‚ Å‚Å‚
x - 2x3 + 2x -1
x
2
sin 8x sin 4x tg6x
1.10 lim 1.11 lim 1.12 lim
x0 x0 x0
5x sin 3x 7x
6x sin 7x + sin 3x
1.13 lim ctg7x Å" 4x 1.14 lim 1.15 lim
x0 x0 x0 - 4x
sin 5x + sin x sin 5x
x + 4 - 2 5x2 sin3 2x
1.16 lim 1.17 lim 1.18 lim
x0 x0 x0
sin 3x 1- cos x
4x3
ëÅ‚
x3 - 2x2 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
1.19 lim x - 1.20 lim xëÅ‚ x2 +1 - xöÅ‚ 1.21, lim [ (x + 2)(x + 8) - x]
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
x+" x+" íÅ‚ Å‚Å‚
x+"
x2 + 4
íÅ‚ Å‚Å‚
3x+2 + 4x x2 + 2x - 6 x2 + 2x - 6
1.22 lim 1.23 lim 1.24 lim
x-" - 3x
x+" x+" - 3x 2
2
6x - 3x
x -x
x2 +2x+3
10 2x + 3 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚1+ öÅ‚
1.25 lim 1.26 lim 1.27 lim
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
x+" x2 +1 x+" - 5 3x
x+"
2x
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
10
x+2 2x -1
x
ëÅ‚ -1 x + 2 x2 - 5x + 4
öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1.28 lim 1.29 lim 1.30 lim
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
x+" x+" - 3 3x +1
x"
x + 3 x
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2x2 + 4x - 6
1.31 lim 1.32 lim (x3 + 5x2 - 8x + 6) 1.33 lim(x8 - x7 - x5)
x-" x-" x"
1- 7x
1.34 lim (x8 - x7 - x5) 1.35 lim arcctg(Ä„ + ln x) 1.36 lim arcctg(Ä„ + ln x).
x-" x+"
x0+
Zad.2 Obliczyć granice jednostronne funkcji w podanym punkcie:
-6 x - 2 -5
2.1 f (x) = , x = 1 2.2 f (x) = , x = -2 2.3 f (x) = , x = 5
x -1
x2 - 4 (5 - x)2
1
1
2
4x - 7
2.4 f (x) = , x = -3 2.5 f (x) = 22- x , x = 2 2.6 f (x) = 3(x-3) , x = 3
9 - x2
-2
ëÅ‚ öÅ‚
sin 3x
x-4
2.7 f (x) = e , x = 4 2.8 f (x) = arcctgìÅ‚ ÷Å‚, x = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
x
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
sin 2x sin 3x
2.9 f (x) = arccosìÅ‚ ÷Å‚ , x = 0 2.10 f (x) = arcsinìÅ‚ ÷Å‚ , x = 0 .
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2x 2x
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Zad.3 Zbadać ciągłość funkcji, określić rodzaje punktów nieciągłości:
Å„Å‚2x , dla -1 d" x d" 0
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚arctgx, dla x d" 0
3.1 f (x) = x +1, dla 0 < x d" 1 3.2 f (x) =
òÅ‚- òÅ‚
x
ôÅ‚
ôÅ‚log x, dla 1 < x d" 2 ółe , dla x > 0
ół
Å„Å‚x2 +1, dla x d" 0
Å„Å‚x2 - 4x + 4, dla x < 1
ôÅ‚
ôÅ‚
1
ôÅ‚
3.3 f (x) = , dla 0 < x < 1 3.4 f (x) = 4, dla x = 1
òÅ‚ òÅ‚-
x
ôÅ‚ ôÅ‚
2x -1, dla x > 1
ôÅ‚x -1, dla x e" 1 ół
ół
sin 2x
Å„Å‚
Å„Å‚ 2 + x
, dla x < 0
ôÅ‚
x ôÅ‚- 2 Å" arctg 2 - x , x < 0
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
3.5 f (x) = x -1, dla 0 d" x d" 2 3.6 f (x) = arcsin(x -1), 0 d" x d" 2 .
òÅ‚ òÅ‚
-1
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚- x2 + 4x - 3, dla x > 2 ôÅ‚
2(2- x)2 , x > 2
ół
ôÅ‚
ół
Zad.4 Dobrać parametry a, b"R tak, aby podane funkcje były ciągłe we wskazanych punktach:
2, dla x d" 0
Å„Å‚
Å„Å‚x2 + ax + b, dla x < 2
ôÅ‚
ôÅ‚
x
4.1 f (x) = + b, dla 0 < x < 1, x1 = 0, x2 = 1 4.2 f (x) = , x1 = -2, x2 = 2
òÅ‚a òÅ‚
ôÅ‚3, dla x e" 1 ôÅ‚x x2 - 4, dla x e" 2
ół
ół
Å„Å‚ Ä„
bx, dla x < Ä„
Å„Å‚
ôÅ‚a sin x + b cos x, dla x > 4 Ä„ Ä„
ôÅ‚ ôÅ‚
4.3 f (x) = , x1 = , x2 = - 4.4 f (x) = , x0 = Ä„ .
òÅ‚ òÅ‚sin x
Ä„ 4 4 , dla x e" Ä„
ôÅ‚1+ tgx, ôÅ‚
dla x d"
ół ax
ôÅ‚
ół 4