ALGEBRA sem.1
Arkusz zadaniowy nr 1 dla studentów
1. Oblicz: a) i2 , b) i5 , c) i12 , d) i3 , e) (-i)8 , f) - i4 , g) i271 , h) (-i)24 .
2. Wykonaj poniższe działania i zapisz wynik w postaci kartezjańskiej):
a) (2+7i)+(4+2i), b) (4+3i)-(1+12i), c) (1-i)-(3+5i), d) (7-2i)+(3+4i),
e) (1-3i)(3+2i), f) (12-5i)(-i), g) i(3+7i), h) (2+5i)(6+i),
3 2 7 + 2i 6 - i
i) , j) , k) , l) .
4 - 3i 3i 3 + i (2 - 5i)(3 + 4i)
3. Znalez
ć część rzeczywistą i część urojoną liczby zespolonej
4 - i 3 + i ( 3 + i)(-1 + i 3)
a) z = , b) z = , c) z= .
4 + i (1 + i)2
1+ i 3
4. Znalez
ć liczby zespolone a i b takie, by zachodziła równość
a) a(2 + 3i) + b(4 - 5i) = 6 - 2i , b) a(1+ 2i) + b(3 - 5i) = 1- 3i .
5. Zapisać w postaci trygonometrycznej następujące liczby:
a) z1 = 2 - 2i b) z2 = -3 - 3i , c) z3 = -2 3 + 2i , d) z4 = -2i
2
z1 Å" z3 ëÅ‚ Ä„ Ä„ öÅ‚
6. Oblicz wartość wyrażenia , gdy z1 = 2ìÅ‚cosëÅ‚ öÅ‚ + i sinëÅ‚ öÅ‚÷Å‚ ,
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚÷Å‚
3 ìÅ‚
z2 8 8
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Ä„ Ä„ ëÅ‚ 3Ä„ 3Ä„ öÅ‚
z2 = cosëÅ‚ öÅ‚ + isinëÅ‚ öÅ‚ , z3 = 3ìÅ‚cosëÅ‚ öÅ‚ + isinëÅ‚ öÅ‚÷Å‚ .
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚÷Å‚
ìÅ‚
5 5 10 10
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
3 3 3
7. Obliczyć a) - 8 , b) 3 + 4i , c) i , d) - i .
8. Rozwiązać równania:
a) z2-6z+10=0, b) z2-(5+2i)z+(7+11i)=0,
c) z2-(3+2i)z+(5+5i)=0, d) z2+(1+i)z+(10+11i)=0,
9. Rozwiąż równania:
a) z3 -1 = 0 , b) z3 + 8 = 0 , c) z4 +1 = 0 , d) z4 -16 = 0 ,
e) (z2 +1)(z4 -1)= 0 , f) (z3 - 27)(z2 - 2i)= 0 .
10. Podane wielomiany rozłóż na czynniki w dziedzinie zespolonej
a) W (z) = z3 +1, b) W (z) = z3 - 8 , c) W (z) = z4 -1,
d) W (z) = z4 +16 , e) W (z) = (z2 + 9)(z2 + 2z + 5).
11. Rozwiąż równanie wiedząc, że podana liczba jest jego pierwiastkiem
x4+3x3+x2-7x-30=0, x1=-1+2i
12. Zaznacz na płaszczyz
nie zespolonej zbiory punktów
a) A = {z " C:| z - i |d" 1/ 2} , b) B={z " C:| z + 2i |e" 3 '" 0 d" arg z d" Ä„ / 3}.
13. Znalez
ć na płaszczyz
nie zespolonej zbiory punktów :
z - 2 z -1
a) Im = 0 , e) Re = 0 , f) z -1+ 2i = 3, g) 1 d" z + 2 - 3i d" 3.
z + 2 z +1