1.
1.1. Podstawowe statystyki pr bkowe. Dana jest pr ba X = (X1,X2,...,Xn)
" Åšrednia z pr by
n
1
Å»
X = Xi
n
i=1
" Wariancja empiryczna
n
1
Å»
S2 = (Xi - X)2
n
i=1
" Wariancja pr bkowa (nieobcia żony estymator wariancji rozkladu cechy X)
n
1
2
Å»
S0 = (Xi - X)2
n - 1
i=1
1.1.1. Wsp czynnik korelacji Pearsona. Dla pr b dotyczacych badania zwiazk w dw ch cech X i Y .
Dana jest pr ba wartości wektora (X, Y ) : ((X1, Y1),(X2, Y2),...,(Xn, Yn))
n
Å» Å»)
(Xi - X)(Yi - Y
i=1
rxy =
nSXSY
gdzie SX,SY sa empirycznymi odchyleniami standardowymi dla pr by z cechy X i Y , odpowiednio.
1.2. Przedzia y ufności.
1.2.1. Przedzia y ufności dla wartości oczekiwanej cechy. Cecha X ma nieznana wartość oczekiwana m.
Pr ba prosta jest rozmiaru n. Wsp lczynnik ufności jest r wny q.
Przypadek I.
Cecha ma rozklad normalny N(m,Ã) i wariancja à jest znana.
Przedzial ufności
Ãu² Å» Ãu²
Å»
[X - " , X + " ]
n n
1+q
gdzie ² = zaÅ› u² jest kwantylem rzedu ² z rozkladu normalnego N(0,1)
2
Przypadek II.(tzw. przypadek pr by ma ego rozmiaru)
Cecha ma rozklad normalny N(m,Ã) ale wariancja Ã2 jest nieznana.
Przedzial ufności
St² Å» St²
Å»
[X - " , X + " ]
n - 1 n - 1
1+q
gdzie ² = zaÅ› t² jest kwantylem rzedu ² z rozkladu Studenta o n - 1 stopniach swobody.
2
Przypadek III (tzw. przypadek pr by dużego rozmiaru)
Cecha ma rozklad nieznany lub inny niż normalny. Aby przetestować hipoteze zerowa w tym przypadku
musimy mieć pr be dużego rozmiaru (n>30)
Przedzial ufności:
Su² Å» Su²
Å»
[X - " , X + " ]
n - 1 n - 1
1+q
gdzie ² = zaÅ› u² jest kwantylem rzedu ² z rozkladu normalnego N(0,1)
2
1
2
1.2.2. Przedzia ufności dla wskaz
nika struktury. Szacujemy wskaz
nik struktury p dla element w popu-
lacji o zadanej wlasności. Wsp lczynnik ufności wynosi q.
Przedzial ufności:
N N N N
(1 - ) (1 - )
N N
[ -u² n n , +u² n n ]
n n n n
1+q
gdzie ² = zaÅ› u² jest kwantylem rzedu ² z rozkladu normalnego N(0,1)
2
Uwaga: Wskazany przedzial wykorzystujemy tylko w przypadku pr by dużego rozmiaru, tzn. gdy
n > 100 i spelniony jest warunek
N N N N
(1 - ) (1 - )
N N
n n n n
[ -3 , +3 ] ‚" (0, 1)
n n n n
1.2.3. Przedzia ufności dla wariancji. Estymujemy wariancje rozkladu cechy. Wsp lczynnik ufności
wynosi q.
Podany niżej przedzial możemy wykorzystać tylko w przypadku cechy o rozkladzie normalnym
Przedzial ufności:
nS2 nS2
[ , ]
Çg Çd
1-q
gdzie Çd jest kwantylem rzedu z rozkladu Ç2 o n - 1 stopniach swobody, zaÅ› Çg jest kwantylem z
2
1+q
tego samego rozkladu rzedu . n - 1 stopniach swobody
2
1.3. Teoria Test w.
1.3.1. Testowanie hipotez o jednej wartości oczekiwnanej. Cecha X ma nieznana wartość oczekiwana m.
Pr ba prosta jest rozmiaru n.
Hipoteza zerowa H0(m = m0) (gdzie m0 jest konkretna liczba ), poziom istotności jest r wny ą.
Przypadek I.
Cecha ma rozklad normalny N(m,Ã) i wariancja à jest znana (przypadek rzadko dotyczacy problem w
rzeczywistych)
Statystyka testowa:
Å»
"
X - m0
U = n
Ã
ma rozklad normalny N(0,1). Zbi r krytyczny W zależy od hipotezy alternatywnej i:
Ä…
" JeÅ›li Hk(m = m0) to W = (-",-u²) *" (u²,"), gdzie ² = 1 - a u² jest kwantylem rzedu ² z

2
rozkladu normalnego N(0,1).
" JeÅ›li Hk(m < m0) to W = (-",-u²), gdzie ² = 1 - Ä… a u² jest kwantylem rzedu ² z rozkladu
normalnego N(0,1).
" JeÅ›li Hk(m > m0) to W = (u²,"), gdzie ² = 1 - Ä… a u² jest kwantylem rzedu ² z rozkladu
normalnego N(0,1).
Przypadek II (tzw. przypadek pr by ma ego rozmiaru)
Cecha ma rozklad normalny N(m,Ã) - wariancja Ã2 jest nieznana.
Statystyka testowa:
Å»
X - m0 "
t = n - 1
S
ma rozklad Studenta o (n-1) stopniach swobody.
Zbi r krytyczny W zależy od hipotezy alternatywnej i:
Ä…
" JeÅ›li Hk(m = m0) to W = (-",-t²) *" (t²,"), gdzie ² = 1 - , a t² jest kwantylem rzedu ² z

2
rozkladu Studenta o (n-1) stopniach swobody.
3
" JeÅ›li Hk(m < m0) to W = (-", -t²), gdzie ² = 1 - Ä…, a t² jest kwantylem rzedu ² z rozkladu
Studenta o (n-1) stopniach swobody.
" JeÅ›li Hk(m > m0) to W = (t²,"), gdzie ² = 1 - Ä…, a t² jest kwantylem rzedu ² z rozkladu
Studenta o (n-1) stopniach swobody.
Przypadek III (tzw. przypadek pr by dużego rozmiaru)
Cecha ma rozklad nieznany lub inny niż normalny. Aby m c zweryfikować hipoteze zerowa w tym
przypadku musimy mieć pr be dużego rozmiaru! (n>30)
Statystyka testowa:
Å» Å»
"
X - m0 " X - m0
U = n - 1 = n
S S0
ma rozklad asymtptycznie normalny N(0,1)
Zbi r krytyczny W zależy od hipotezy alternatywnej i:
Ä…
" JeÅ›li Hk(m = m0) to W = (-",-u²) *" (u²,"), gdzie ² = 1 - a u² jest kwantylem rzedu ² z

2
rozkladu normalnego N(0,1).
" JeÅ›li Hk(m < m0) to W = (-",-u²), gdzie ² = 1 - Ä… a u² jest kwantylem rzedu ² z rozkladu
normalnego N(0,1).
" JeÅ›li Hk(m > m0) to W = (u²,"), gdzie ² = 1 - Ä… a u² jest kwantylem rzedu ² z rozkladu
normalnego N(0,1).
1.3.2. Testowanie hipotez o wskaz
niku struktury. Testujemy hipoteze o wielkości ulamka p element w pop-
ulacji posiadajacych zadana wlasność (inaczej o prawdopodobieństwie natrafienia na element o zadanej
wlasności). Hipoteza zerowa H0(p = p0), p0 " (0,1)
Test stosujemy tylko w przypadku pr by dużego rozmiaru. Czesto przyjmuje sie, że w tym
przypadku pr ba jest wystarczajaco duża, jeśli np0 > 50
Statystyka testowa:
N - p0n
U =
np0(1 - p0)
gdzie N jest liczba tych element w w pr bie, kt re posiadaja zadana wlasność. Statystyka ta ma rozklad
asymptotycznie normalny N(0,1).
Zbi r krytyczny W zależy od hipotezy alternatywnej i:
Ä…
" JeÅ›li Hk(p = p0) to W = (-",-u²) *" (u²,"), gdzie ² = 1 - a u² jest kwantylem rzedu ² z

2
rozkladu normalnego N(0,1).
" JeÅ›li Hk(p < p0) to W = (-", -u²), gdzie ² = 1 - Ä… a u² jest kwantylem rzedu ² z rozkladu
normalnego N(0,1).
" JeÅ›li Hk(p > p0) to W = (u², "), gdzie ² = 1 - Ä… a u² jest kwantylem rzedu ² z rozkladu
normalnego N(0,1).
1.3.3. Testowanie hipotez o por wnywaniu dw ch wartości oczekiwanych. Cechy XiY maja nieznane
wartości oczekiwane mx i my, odpowiednio. Dwie pr by proste rozmiar w nx,ny.
Hipoteza zerowa H0(mx = my) , poziom istotności jest r wny ą.
Zalożenie: Cechy X,Y maja rozklady normalne !
Przypadek I. Wariancje obu cech sa r wne.
Statystyka testowa:
Å» Å»
X - Y
t =
2
n S 2+nySy n +ny
n +ny-2 n ny
ma rozklad Studenta o (nx + ny - 2) stopniach swobody.
Zbi r krytyczny W zależy od hipotezy alternatywnej i:
4
Ä…
" JeÅ›li Hk(mx = my) to W = (-",-t²) *" (t², "), gdzie ² = 1 - a t² jest kwantylem rzedu ² z

2
rozkladu Studenta o (nx + ny - 2) stopniach swobody.
" JeÅ›li Hk(mx < my) to W = (-", -t²), gdzie ² = 1 - Ä… a t² jest kwantylem rzedu ² z rozkladu
Studenta o (nx + ny - 2) stopniach swobody.
" JeÅ›li Hk(mx > my) to W = (t²,"), gdzie ² = 1 - Ä… a t² jest kwantylem rzedu ² z rozkladu
Studenta o (nx + ny - 2) stopniach swobody.
Przypadek II.
Wariancje sa nieznane i przynajmniej jedna pr ba nie ma dużego rozmiaru.
Statystyka testowa - statystyka Cochrana-Coxa:
Å» Å»
X - Y
C = "
A + B
2
2
Sy
Sx
gdzie A = i B =
nx-1 ny-1
ma rozklad Cochrana-Coxa.
Zbi r krytyczny W zależy od hipotezy alternatywnej i:
Ä…
" JeÅ›li Hk(mx = my) to W = (-",-C²) *" (C², "), gdzie ² = 1 -

2
" JeÅ›li Hk(mx < my) to W = (-",-C²), gdzie ² = 1 - Ä…
" JeÅ›li Hk(mx > my) to W = (C², "), gdzie ² = 1 - Ä…
Kwantyle C² rozkladu Cochrana-Coxa można obliczyć z wzoru:
C² <" [At²(nx - 1) + Bt²(ny - 1)]/(A + B)
=
gdzie t²(nx - 1) i t²(ny - 1) sa kwantylami rzedu ² z rozkladu Studenta o, odpowiednio, nx - 1 i ny - 1
stopniach swobody
Przypadek III.
Wariancje sa nieznane ale obie pr by sa dużego rozmiaru nx > 30 i ny > 30
Statystyka testowa:
Å» Å»
X - Y
U =
2
S 2 Sy
+
n ny
ma rozklad asymtptycznie normalny N(0,1)
Zbi r krytyczny W zależy od hipotezy alternatywnej i:
Ä…
" JeÅ›li Hk(mx = my) to W = (-", -u²) *" (u², "), gdzie ² = 1 - a u² jest kwantylem rzedu ² z

2
rozkladu normalnego N(0,1).
" JeÅ›li Hk(mx < my) to W = (-", -u²), gdzie ² = 1 - Ä… a u² jest kwantylem rzedu ² z rozkladu
normalnego N(0,1).
" JeÅ›li Hk(mx > my) to W = (u², "), gdzie ² = 1 - Ä… a u² jest kwantylem rzedu ² z rozkladu
normalnego N(0,1).