POT
GI: WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA:
1. an �" am = an+m np: (a2�a3=a5) 1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
an
2. (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
2. = an-m np: a5/a3=a2
am
3. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
an
4. (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
3. = a0 => 1
an
5. a2 - b2 = (a + b)(a - b)
1 a0
4. = = a0-n np: 1/a3=a-3
6. a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2 )
an an
7. a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2 )
5. (an )m = an�"m np: (a2)3=a6
6. (a �" b)n = an �" bn np: (a�b)2=a2�b2
GRANICE:
n
a1 �" an
a an
�# ś#
Sn = �" n
7. = np: (a/b)2=a2/b2
ś# ź#
2
b bn
�# #
1
1
lim(1 + )x = e
n 3
x"
8. an = a np: a1/3= a
x
n
sin x
m 3
9. am = an np:a2/3= a2 lim = 1
x o
x
LOGARYTMY: POCHODNE (RÓŻNICZKOWANIE)
1. (x)' = 1
1. logab = c <=> ac = b dla a>0, a`"1, b>0
2. (a)' = 0
2. loga a = 1 bo a1=a
3. (xn )'= n �" xn-1
3. loga 1 = 0 bo a0=1
4. (c �" f(x))' = c �" f'(x)
4. loga x + loga y = loga (x �" y)
'
�# f ś# f' g - fg'
x
5. ś# ź# =
5. loga x - loga y = loga
ś# ź#
g g2
y
�# #
6. (f �" g)' = f' g + fg'
6. loga xp = p �" loga x
'
logb x
1
�# ś# - 1
7. loga x =
7. =
ś# ź#
logb a
x x2
�# #
8. aloga A = A np: 3log35=5 1
8. ( x )' =
9. loga aA = A np: log334=4
2 x
1 1
10. loge f(x) = lnf(x) -1
1
3 n
9. (3 x )' = (x )' = x
n
CI
GI: CI
GI:
10. (ax )' = ax lna np: (5x) =5xln5
SYMBOLE OZNACZONE SYMBOLE NIEOZNACZONE
11. (ex )' = ex
" + " = "
" 0
; ; " - " ; 0 �" " ;
" �" " = "
1
" 0
12. (ln x )' =
a a
x
= 0 , = 0
00 ; "0 ; 0" ; 1"
" - "
1 1
13. (loga x)' = np: (log3x) =
a 0
x lna x ln3
= ą" , = 0
0 a
14. (sin x)' = cos x
"" = "
15. (cos x)' = - sin x
a
= 0 1
16. (tg x)' =
x
cos2 x
PIERWIASTKI:
1 1
1 1 1
17. (ctg x)' = - 21. (arcctg x)' = -
n n n
sin2 x 1 + x2
1. a �" b = (a �" b)n = an �" bn = a �" b
1 1
1
18. (arcsin x)' =
n
a a an n a
�# ś#
n
1 - x2
2. = = =
ś# ź#
1
n
b b
�# #
1
bn b
19. (arccos x)' = -
n
1 - x2
a a
n n n
n
3. a �" b = a �" b 4. =
n
1
b
b
20. (arctg x)' =
1 + x2
TRYGONOMETRIA: =180�
II I
sin2 x + cos2 x = 1
sinix + sinix +
cosix +
WZORY REDUKCYJNE 1. sin2ą = 2 siną �" cos ą
tgix +
sin(90o + ą) = cos ą 2. cos2ą = cos2 ą - sin2 ą
ctgix +
sin(270o + ą) = - cos ą 3. siną cos � - cos ą sin� = sin(ą - �)
III IV
ą - � ą + �
sin(180o - ą) = siną 4. siną - sin� = 2 sin �" cos
tgix + cosix +
2 2
ctgix +
ą + � ą - �
sin(3600 - ą) = - siną 5. siną + sin� = 2 sin �" cos
2 2
ą + � � - ą
6. cos ą - cos � = 2 sin �" sin
2 2
cos ą = cos(-ą) funkcja parzysta
ą + � ą - �
7. cos ą + cos � = 2 cos �" cos
2 2
- siną = sin(-ą) funkcja nieparzysta
FUNKCJA KWADRATOWA:
1. Postać ogólna: y = x2 + bx + c2 " = b2 - 4ac ">0  2 miejca zerowe
2. Postać kanoniczna: y = (x - p)2 + q "=0  1 miejca zerowe
x1 i x2  miejsca
- b - "
zerowe funkcji "<0  brak miejc zerowych
3. Współrzędne wierzchołka: p = ; q =
2a 4a
- b - " - b + "
Wzory Vieta: x1 = ; x =
2
2a 2a
b - b
x1 + x2 = - gdy "=0 miejsce zerowe x =
0
a 2a
dla " e" 0
c
x1 �" x = F(a)=F(-a)  funkcja parzysta,
2
a
F(-a)=-F(a)  funkcja nieparzysta