N ={0,1,2,3,& n-3,n-2,n-1}Zbiór liczb naturalnych
C={& ,-3,-2,-1,0,1,2,3,& }Zbiór liczb całkowitych
Def.Liczba wymierna to taka liczba którą można zapisad w
postaci ułamka zwykłego.
(Rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej jest skooczone lub
nieskooczone-okresowe)
W
Nawiasy[,(,),].
Pierwiastki,Potęgi
Iloczyn, Iloraz
Suma,różnica
Cechy podzielności liczb naturalnych
Liczba naturalna jest podzielna przez 2 wtedy i tylko wtedy, gdy jej ostatnia cyfra jest
jedną z następujących: 0, 2, 4, 6 lub 8.
Liczba naturalna jest podzielna przez 3 wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr dzieli
siÄ™ przez 3.
Liczba naturalna jest podzielna przez 4 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba wyrażona
dwiema ostatnimi jej cyframi dzieli siÄ™ przez 4.
Liczba naturalna jest podzielna przez 5 wtedy i tylko wtedy, gdy jej ostatniÄ… cyfrÄ… jest
0 lub 5.
Liczba naturalna jest podzielna przez 6 wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli siÄ™ przez 2 i
przez 3.
Liczba naturalna jest podzielna przez 7 wtedy i tylko wtedy, gdy różnica między
liczbą wyrażoną trzema ostatnimi cyframi danej liczby a liczbą wyrażoną pozostałymi
cyframi tej liczby dzieli siÄ™ przez 7.
Liczba naturalna jest podzielna przez 8 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba wyrażona
trzema ostatnimi jej cyframi dzieli siÄ™ przez 8.
Liczba naturalna jest podzielna przez 9 wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr dzieli
siÄ™ przez 9.
Liczba naturalna jest podzielna przez 10 wtedy i tylko wtedy, gdy jej ostatniÄ… cyfrÄ…
jest 0.
Liczba naturalna jest podzielna przez 11 wtedy i tylko wtedy, gdy różnica sumy jej
cyfr stojÄ…cych na miejscach parzystych i sumy cyfr stojÄ…cych na miejscach
nieparzystych dzieli siÄ™ przez 11.
Jeżeli jest dowolną liczbą naturalną to:
liczba postaci jest podzielna przez 2,
liczba postaci lub
jest podzielna przez 6, gdyż wśród trzech
kolejnych liczb co najmniej jedna dzieli siÄ™ przez 2 i jedna dzieli siÄ™ przez 3.
Jeżeli w takim iloczynie liczb środkowa jest nieparzysta, to wyrażenie dzieli się przez
24, bo co druga liczba parzysta dzieli siÄ™ przez 4.
PROCENTY
Procenty to ułamki o mianowniku 100.
Ogólnie można zapisać:
Zamiana liczby na procent
Aby zamienić liczbę na procent należy pomnożyć tą liczbę przez 100 i dopisać znak
%.
Przykład
Należy zamienić liczbę 2 na procent.
Aby rozwiązać to zadanie mnożymy liczbę przez 100 i dopisujemy znak %:
Zamiana procentu na liczbÄ™
Aby zamienić procent na liczbę należy podzielić liczbę wyrażającą procent przez 100.
Przykład
Należy zamienić 25% na liczbę.
Obliczanie procentu z liczby
Aby obliczyć procent z danej liczby należy pomnożyć liczbę przez ten procent.
Przykład
Należy obliczyć 20% z liczby 150.
Obliczanie liczby z danego jej procentu
Aby obliczyć liczbę z danego jej procentu należy podzielić liczbę przez dany procent.
Przykład
20 % pewnej liczby jest równe 30. Jaka to liczba?
Obliczanie jakim procentem pierwszej liczby jest druga liczba
Aby obliczyć jakim procentem pierwszej liczby jest druga liczba należy drugą liczbę
podzielić przez pierwszą i otrzymany wynik przedstawić w procentach.
Przykład
Jakim procentem liczby 20 jest liczba 4?
WZÓR NA PROCENR SKA
ADNY
Oznaczmy:
K - wielkość kapitału początkowego
K1 - wielkość kapitału po upływie 1 okresu
K2 - wielkość kapitału po upływie 2 okresu
K3 - wielkość kapitału po upływie 3 okresu
Kn - wielkość kapitału po upływie n-tego okresu
p - stopa zwrotu (oprocentowanie) w procentach liczone za jeden okres
Dla takich oznaczeń prawdziwe są następujące wzory:
Ostatni wzór jest wartością kapitału po uływie n-okresów dla podanych warunków.
Procent składany - zadania
Zadanie 1
Zainwestowano w lokatę kwotę 1000 zł. Oprocentowanie lokaty wynosi 7% w
stosunku rocznym.Ile będzie wynosił kapitał po 12 latach? Odsetki są kapitalizowane
co rok.
Zadanie 2
Jaki trzeba zainwestować kapitał w lokatę, aby po 10 latach uzyskać 5000 zł przy
rocznym oprocentowaniu 5%. Odsetki sÄ… kapitalizowane co rok.
Przykład 1
POT
GI
Należy obliczyć wartość wyrażenia:
Dodawanie ułamków zwykłych
Jeżeli dwa ułamki mają identyczne mianowniki to aby je dodać należy dodać liczniki
tych ułamków a mianownik pozostawiamy bez zmian:
RozwiÄ…zanie
Przykład 1
Jeśli mianowniki ułamków są różne, wówczas należy najpierw sprowadzić ułamki do
wspólnego mianownika. Działania na pierwiastkach :
Przykład 2
- mnożenie pierwiastków tego samego
stopnia
Odejmowanie ułamków zwykłych
Jeżeli dwa ułamki mają identyczne mianowniki to aby je odjąć należy odjąć liczniki
tych ułamków a mianownik pozostawiamy bez zmian:
- dzielenie pierwiastków tego samego stopnia (b
różne od 0)
Przykład 1
- potęgowanie pierwiastka
Jeśli mianowniki ułamków są różne, wówczas należy najpierw sprowadzić ułamki do
wspólnego mianownika.
Przykład 2
- pierwiastkowanie pierwiastka
Mnożenie ułamków zwykłych
Aby pomnożyć dwa ułamki zwykłe należy wymnożyć ze sobą liczniki i mianowniki:
Inne wzory dotyczące potęg :
Przykład 1
- potęga o wykładniku 0 (a różne od 0)
Dzielenie ułamków zwykłych
Podzielenie ułamków zwykłych jest równoznaczne z wymnożeniem pierwszego
ułamka przez odwrotność drugiego:
- potęga o wykładniku ujemnym (a różne od 0,
n- liczba naturalna)
Przykład 1
- potęga o wykładniku w postaci ułamka (
Skracanie ułamków zwykłych
Licznik i mianownik dowolnego ułamka można podzielić przez tą samą liczbę różną
)
od 0. Operację tą nazywa się skracaniem ułamków.
Przyklad 1
W tym przykładzie ułamek 4/20 skracamy przez 4.
- potęga o wykładniku w postaci ułamka
Przy skracaniu ułamków może być pomocny
ujemnego ( )
Sprowadzanie do wspólnego mianownika
Jeśli dwa ułamki, które chcemy na przykład dodać mają różne mianowniki to należy
najpierw sprowadzić je do wspólnego mianownika. Dąży się do tego aby wspólny
mianownik był możliwie najmniejszy. Zwykle staramy się aby był on Najmniejszą
Wspólną Wielokrotnością (NWW) istniejących mianowników. Przy sprowadzaniu do
wspólnego mianownika postępujemy w sposób następujący:
1. Wyznaczamy NWW dla istniejących mianowników.
2. Wymnażamy licznki istniejących ułamków tak aby nowe ułamki były równe
danym.
Przykład 1
Porównywanie ułamków zwykłych
Aby porównać dwa ułamki zwykłe należy najpierw sprowadzić je do wspólnego
mianownika. Następnie porównujemy liczniki ułamków.
Przykład 1
Działania Na Potęgach
Mnożenie potęg o jednakowych podstawach.
an · am = an+m
Dzielenie potęg o jednakowych podstawach.
an : am = an-m
Potęga potęgi.
( an ) m = an · m
Mnożenie potęg o jednakowych wykładnikach.
an · bn = (a · b)n
Dzielenie potęg o jednakowych wykładnikach.
an : bn = (a : b)n dla b różnego od 0
WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA
Kwadrat sumy
(a+b)2=a2+2ab+b2
Aby uzasadnić wzór wykonajmy mnożenie:
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2
Kwadrat różnicy
(a-b)2=a2-2ab+b2
Aby uzasadnić wzór wykonajmy mnożenie:
(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ba+b2=a2-2ab+b2
Różnica kwadratów
(a-b)(a+b)=a2-b2
Aby uzasadnić wzór wykonajmy mnożenie:
(a-b)(a+b)=a2+ab-ab-b2=a2-b2
Sześcian sumy
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
Aby uzasadnić wzór wykonajmy mnożenie (dla ułatwienia wykorzystamy wzór na
kwadrat sumy):
(a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)= a3+2a2b+ab2+a2b+2ab2+b3 =a3+3a2b+3ab2+b3
Sześcian różnicy
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3
Aby uzasadnić wzór wykonajmy mnożenie (dla ułatwienia wykorzystamy wzór na
kwadrat różnicy):
(a-b)3=(a2-2ab+b2)(a-b)= a3-2a2b+ab2-a2b+2ab2-b3 =a3-3a2b+3ab2-b3
Suma sześcianów
(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3
Aby uzasadnić wzór wykonajmy mnożenie:
(a+b)(a2-ab+b2)=a3-a2b+ab2+ba2-ab2+b3=a3+b3
Różnica sześcianów
(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3
Aby uzasadnić wzór wykonajmy mnożenie:
(a-b)(a2+ab+b2)=a3