Całki nieoznaczone - podstawienie Eulera i inne

f
"(x) dx, gdzie g(x) > 0.
metody całkowania
g(x)
mgr Zofia Makara
27 czerwca 2004
1 Metody rozwiÄ…zywania
Calki funkcji zawierających pierwiatek kwadratowy z trójmianu kwadrato-
wego można rozwiązać przy zastosowaniu tak zwanego podstawienia Euler a:
" Pierwsza metoda: Obliczjąc całkę postaci:

dx
"
x2 + k
Można dokonać podstawienia:

x + x2 + k = t;
gdzie k " R oraz x2 +k > 0. PodnoszÄ…c obustronnie do kwadratu dane
podtawienie otrzymuje siÄ™:
t2 - k
(x2 + k = t2 - 2xt + x2) Ô! (k = t2 - 2xt) Ô! (x = ),
2t
gdzie t = 0.

A więc:

t2 - k t2 + k
x2 + k = t - ( ) = ;
2t 2t
Stąd też oblicza się dt:
1 k 1 t2 + k
dx = ( (t - )) dt = ( )dt.
2 t 2 t2
Zatem całkę postaci:

dx
"
x2 + k
1
Obliczamy jako:

t2+k
t2 + k 2t 1
2t2
dt = · dt = dt = ln |t| + C
t2+k
2t2 t2 + k t
2t
StÄ…d rozwiÄ…zaniem jest:


dx
" = ln( x2 + k + x) + C, C " R.
x2 + k
" Druga metoda:
A
atwo zauważyć, że, jeśli dana jest całka:

dx
"
ax2 + bx + c
gdzie oczywiście dziedziną jest zbiór x : ax2 + bx + c > 0 i poza tym
a > 0.

dx
"
Jeśli a = 0 Rozwiązanie całki jest trywialne - wystarczy za-
bx+c
uważyć, że jeśli za t = bx + c, wówczas rowiązanie sprowadza się do

1 dt
"
postaci: , oczywiście dla b = 0.

b
t
Jeśli zaś a < 0, wowczas można łatwo zauważyć, że:
b b2
ax2 + bx + c = a(x + )2 - + c,
2a 4a
b
zatem podstawiając pod s = x + jest do policzenia całka:
2a

ds 1 ds

= =
b2 b2 as2
as2 - + c c - + 1
4a 4a b2
c-
4a
b2
jeśli c - > 0:
4a

1 ds

=
"
b2
c - -( -as )2 + 1
4a
b2
c-
4a
"
-as

stÄ…d podstwiajÄ…c za t = otrzymuje siÄ™:
b2
c-
4a

1 1
" " dt
-a - t2
1
co już łatwo policzyć.
b2
Jeśli c - < 0:
4a

1 ds
=
"
b2
c - ( -as )2 + 1
4a
b2
c-
4a
2
"
-as

stÄ…d podstwiajÄ…c za t = otrzymuje siÄ™:
b2
c-
4a

1 1
" " dt
-a
1 + t2
a to przy zastosowaniu metody pierwszej jest proste.
Zatem jeśli a > 0, wówczas:
b
Podstwiamy za s = x + i otrzymujemy:
2a

1 1 1
"
ds = ds
b2 a c b2
as2 + (c - ) s2 + (a - )
4a 4a2
Co sprowadza siÄ™ do rozwiÄ…zania metodÄ… pierwszÄ….
2 Zadania
1.

1
" dx
x2 - 2
2.

1
" dx
2 - x2
3.

-6
" dx
x2 + 2
4.

2
" dx
2x2 + 2
5.

7
" dx
x2 - 4
6.

3
" dx
x2 + 4
7.

-2
" dx
x2 - x + 7
3
8.

2
" dx
x2 - x + 7
9.

5
" dx
x2 + 11
10.

-2
" dx
x2 + 2x
11.

1
" dx
2x2 + 12x
12.

-1
" dx
6x2 + 12x + 7
13.

2x + 1
" dx
x2 + 3
14.

6x + 7
" dx
x2 + 2x + 3
15.

6x - 1
" dx
x2 + 2x + 2
16.

8x + 1
" dx
2x2 + 12x + 10
17.

2x + 12
" dx
x4 + 12x2 + 10
18.

3x2
" dx
2x6 + 1
19.

x2 + 2x + 1

dx
(x + 1)3 + 1
4