8. PRZEJÅšCIE PRZEPA
YWU LAMINARNEGO W TURBULENTNY
8.1. Doświadczenie Reynoldsa
Charakter ruchu płynów lepkich naświetliły badania Reynoldsa przeprowadzone w 1883
roku na stanowisku pokazanym schematycznie na rysunku.
barwnik
a)
b)
3 1
c)
2
Doświadczenie Reynoldsa:
a) przepływ laminarny,
b) przepływ przejściowy,
c) przepływ turbulentny
W rurze (1) podczas małych prędkości przepływu wody (regulowanych zaworem (2)),
barwnik  doprowadzany cienką rurką (3)  płynie wzdłuż osi rury, tworząc prostoliniową
smugę (rys. a). Przy większych prędkościach barwna smuga zaczyna oscylować (fluktuować),
tworząc linię falistą (rys. b). Ostatecznie przy pewnej prędkości, zwanej prędkością
krytyczną, miesza się całkowicie ze strugą główną (rys. c).
Na podstawie opisanego doświadczenia Reynolds wprowadził podział na dwa zasadnicze
rodzaje przepływów:
laminarne (uwarstwione),
turbulentne (burzliwe).
Przejście ruchu laminarnego w turbulentny następuje wskutek utraty stateczności
przepływu laminarnego.
Drobne wszechobecne zaburzenia generujące fluktuacje elementów płynu występują zawsze
podczas przepływu. W przepływie laminarnym, w którym siły bezwładności są małe w
porównaniu z siłami lepkości, są one jednak tłumione przez te ostatnie. Wzrost sił
bezwładności, np. wskutek przyrostu prędkości przepływu, powoduje, że tłumiące działanie
lepkości jest niewystarczające, co wywołuje utratę stateczności ruchu laminarnego i jego
przejście w ruch turbulentny. To przejście występuje na ogół dla tej samej wartości wyrażenia
vd/½ = Rekr (nazywanego krytycznÄ… liczbÄ… Reynoldsa). W przypadku przepÅ‚ywu przez dÅ‚ugÄ…
cylindryczną rurę o przekroju kołowym
Rekr d E" 2300
W zagadnieniach technicznych przyjmuje się, że jeśli:
Re < Rekr - przepływ jest laminarny
Re > Rekr - przepływ jest turbulentny
9. ELEMENTY TEORII PRZEPA
YWU TURBULENTNEGO
9.1. Istota przepływu turbulentnego i definicje parametrów uśrednionych.
Większość występujących w przyrodzie i technice stanowią przepływy turbulentne.
Najbardziej znamienną i dominującą cechą tych przepływów jest chaotyczny i nieregularny
ruch elementów płynu, wskutek czego wszystkie wielkości, charakteryzujące dany przepływ,
wykazują zmienność zarówno w czasie, jak i w przestrzeni. Elementy płynu przemieszczają
się zgodnie z głównym kierunkiem transportu masy, wykonując równocześnie
nieuporządkowane ruchy fluktuacyjne, poprzeczne w stosunku do kierunku ruchu głównego.
Turbulencja jest zatem zjawiskiem charakteryzującym się występowaniem w
przepływającym płynie chaotycznych fluktuacji parametrów hydro- i termodynamicznych
(prędkości przepływu, ciśnienia, gęstości, temperatury).
Badanie ruchu turbulentnego opiera się zwykle na hipotezie Reynoldsa, według której
przepływ turbulentny może być przedstawiony jako superpozycja przepływu uśrednionego i
fluktuacyjnego. Dowolny parametr f (x, y, z, t) ruchu turbulentnego można przedstawić
w postaci sumy
f (x, y, z, t) = f (x, y, z) + f 2 (x, y, z, t),
w której:
f (x, y, z)  wartość uśredniona funkcji f,
f 2 (x, y, z, t)  fluktuacja będąca wielkością małą i szybkozmienną w porówna-
niu z f .
f
t
tt +"t
Przebieg wielkości f w tym samym punkcie przestrzeni
Dla turbulentnego przepływu płynu nieściśliwego możemy więc zapisać
2 2
v = v + v , p = p + p itd
Miarą wielkości fluktuacji jest stosunek pierwiastka kwadratowego ze średniej
arytmetycznej uśrednionych czasowo kwadratów prędkości fluktuacyjnej do prędkości ruchu
głównego, zwany intensywnością (stopniem) turbulencji
1
(v'2 + v'2 + v'2 )
x y z
3
µ = ,
v
której składowe w kierunkach osi x, y, z wynoszą
2 2
v
2
vx2 v'2
y
z
µx = , µy = , µz = .
v vy vz
x
2 2 2 2
Jeżeli w danym punkcie przestrzeni vx 2 = vy 2 =vz = const to taki przepływ turbulentny
nazywamy izotropowym. Jeżeli w całym rozpatrywanym obszarze wartość ta jest jednakowa,
to taka turbulencja izotropowa jest homogeniczna.
v '
x
t
v '2
x
t
Przebieg składowej fluktuacji prędkości oraz jej kwadratu od czasu
f '
f
f
2
x
v '
Dla orientacji należy podać, że prędkości ruchu fluktuacyjnego występują w granicach od
0,01 m/s do 10 m/s, intensywność turbulencji w warunkach naturalnych nie przekracza
zazwyczaj 10% (µ < 0,1). W przepÅ‚ywie laminarnym stopieÅ„ turbulencji jest równy zeru. W
przepływie turbulentnym stopień turbulencji nie jest wielkością stałą. Więc ruch turbulentny
jest w swej istocie nieustalony, ale gdy pochodna lokalna prędkości ruchu głównego jest
równa zeru, mówimy o ustalonym ruchu turbulentnym (czasem nazywanym quasi-
ustalonym).
9.2. Równania ruchu w przepływie turbulentnym
Równanie Naviera Stokesa i równanie ciągłości odnoszą się zarówno do ruchu
laminarnego, jak i turbulentnego. Nie można jednak znalez
ć analitycznego rozwiązania
układu równań opisującego ruch turbulentny. Pewne uproszczenia równania Naviera
Stokesa otrzymujemy, rezygnując z określenia chwilowych parametrów przepływu, a
zadowalając się określeniem ich wartości uśrednionych.
Podstawowym postulatem, umożliwiającym wyprowadzenie różniczkowych równań
uśrednionego ruchu turbulentnego, jest rozkład dowolnego parametru na składową ruchu
głównego i składową ruchu fluktuacyjnego. Zastosujemy ten postulat do układu Naviera
Stokesa i ciągłości
"vx "v "v "vx 1 "p
x
+ vx x + v + vz = X - + ½ "2v ,
y x
"t "x "y "z Á "x
"v "v "v "v
1 "p
y y
+ vx y + v + vz y = Y - + ½ "2v ,
y y
"t "x "y "z Á "y
"vz "vz "vz "vz 1 "p
+ vx + v + vz = Z - + ½ "2vz ,
y
"t "x "y "z Á "z
"v
"v "vz
y
x
+ + = 0 .
"x "y "z
do określenia wartości uśrednionych, zakładając dla prostoty, że
Á = const i ½ = const. DodajÄ…c do lewej strony pierwszego z równaÅ„ powyższego ukÅ‚adu
równanie ciągłości pomnożone przez vx, możemy nadać mu postać
"(vx v )+
"vx "(vx vx ) + "(vx vz ) 1 "p
y
+ = X - + ½ "2vx .
"t "x "y "z Á "x
Wykonując po obydwu stronach tego równania uśrednianie z wykorzystaniem reguł
uśredniania otrzymamy:
2 2
2 2 2
" vx " vx " vx " vx 1 "p "vx2 "vxvy "vxvz
+ vx + vy + vz = X - + ½ "2vx - - - .
"t "x "y "z Á "x "x "y "z
Powtarzając analogiczne operacje i przekształcenia w przypadku dwóch pozostałych
równań układu, otrzymamy poszukiwany układ różniczkowych równań uśrednionego ruchu
turbulentnego (nazywanych równaniami Reynoldsa)
ëÅ‚ " vx " v " v " vx öÅ‚ " p
x
Á ìÅ‚ + vx x + v + vz ÷Å‚ = Á X - + µ "2 vx
y
ìÅ‚ ÷Å‚
"t "x "y "z "x
íÅ‚ Å‚Å‚
" " "
2 2 2 2 2
+ (- Á vx2) + (- Ávxv ) + (- Áv vz) ,
y x
"x "y "z
" v " v " v " v
ëÅ‚ öÅ‚
" p
y
ìÅ‚ ÷Å‚
Á ìÅ‚ y + vx y + v + vz y ÷Å‚ = Á Y - + µ "2 v
y y
"t "x "y "z "y
íÅ‚ Å‚Å‚
" "
2 2 2 2 " 2 2
+ (- Á vxv ) + (- Áv ) + (- Áv vz) ,
y y y
"x "y "z
ëÅ‚ " vz " vz " vz " vz öÅ‚ " p
Á ìÅ‚ + vx + v + vz ÷Å‚ = Á Z - + µ "2 vz
y
ìÅ‚ ÷Å‚
"t "x "y "z "z
íÅ‚ Å‚Å‚
" " "
2 2 2 2 2
+ (- Á vxvz) + (- Áv vz) + (- Ávz2) ,
y
"x "y "z
" vx " v y " vz
+ + = 0.
"x "y "z
Jeśli wprowadzimy wskaz
nikowe oznaczenia osi i współrzędnych prędkości, czyli x = x1,
y = x2, z = x3, vx = v1, vy = v2, vz = v3, to układ równań możemy zapisać w postaci
" v
" vi " vi 1 " p 1 "
j
2 2
+ v = f - + ½ "2 vi + (- Á viv ) , = 0 .
i
j j
"t "x Á "xi Á "x " x
j j j
Z porównania układu równań Reynoldsa z układem równań Naviera Stokesa określającym
ruch płynu nieściśliwego, widzimy, że ruch uśredniony określają równania formalnie bardzo
podobne do opisujących ruch chwilowy, z tą jednak różnicą, że w równaniach ruchu
uśrednionego występują pewne dodatkowe naprężenia, zwane naprężeniami turbulentnymi.
Naprężenia te, spowodowane przekazywaniem pędu w ruchu fluktuacyjnym, mogą być
określone symetryczną macierzą T naprężeń turbulentnych
2 2 2 2 2
îÅ‚ Å‚Å‚
Äxx Äyx Äzx îÅ‚ - Ávx2 - Ávxvy - Ávxvz Å‚Å‚
śł
T = ïÅ‚Äxy Äyy Äzy śł = ïÅ‚ Ávxvy - Áv - Áv vz .
ïÅ‚- 2 2 2 2 2 2
śł
y y
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚Äxz Äyz Äzz śł
2 2 2 2
ðÅ‚ ûÅ‚ y
ïÅ‚- Ávxvz - Áv2 vz - Ávz2 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Układ równań Reynoldsa możemy zatem zapisać w postaci wektorowej
"v 1
+ v grad v = f - grad p + ½ "2v - Div T ,
"t Á
ëÅ‚
" vi " vi öÅ‚
÷Å‚ = Á f i - " p + " Äij ,
lub też Á ìÅ‚ + v
j
ìÅ‚ ÷Å‚
"t "x "xi "x
j j
íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie Äij = (Äij) + (Äij) , przy czym
l t
ëÅ‚
"vi "v j öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
(Äij) = µ + , (Äij) = - Á viv .
j
l t
ìÅ‚
"x "xi ÷Å‚
j
íÅ‚ Å‚Å‚
9.3. Naprężenia turbulentne
Równania Reynoldsa nie stanowią układu zamkniętego, brak jest bowiem do jego zamknięcia
sześciu równań, określających elementy macierzy T. Dotychczas brak jest racjonalnych
przesłanek, które umożliwiłyby konstrukcję takiej zależności, a związki spotykane w
literaturze opierają się na hipotezach. Na podstawie kinetycznej teorii gazów Prandtl wysunął
propozycję określania naprężeń turbulentnych zależnością:
dvx dv
x
2 2
Ät = - Á vxv = Á l2
y
dy dy
Koncepcja Prandtla określa turbulencję jako rezultat przemieszczenia poprzecznego cząstki
płynu, podczas którego cząstka zachowuje swoją prędkość oraz pęd. Długość l
przemieszczenia poprzecznego została nazwana drogą mieszania. Wzór też wskazuje, że
dodatkowe naprężenia, pojawiające się w ruchu turbulentnym, zmieniają się proporcjonalnie
do kwadratu prędkości.
Dołączenie zależności określającą naprężenia turbulentne do układu równań Reynoldsa
daje zamknięty układ równań, ale pod warunkiem, że wprowadzi się założenia dotyczące
drogi mieszania l.
9.4. Półempiryczne metody obliczania przepływów turbulentnych
9.4.1. Koncepcja warstwy przyściennej
Obecnie teoria turbulencji jest jeszcze daleka od formalnej doskonałości. Dotychczas
opracowane hipotezy i modele nie zawsze są w pełni zgodne z doświadczeniem.
Opracowywane są zatem półempiryczne metody obliczania przepływów turbulentnych, które
dają dostatecznie dokładne rozwiązania potwierdzone wynikami pomiarów. Ponieważ
większość spotykanych przepływów ma pewien uprzywilejowany kierunek, parametry
charakteryzujące ich ruch mogą być wyznaczone z uproszczonych równań ruchu w warstwie
przyściennej.
W odróżnieniu od płynu doskonałego, w którym tylko składowa normalna prędkości musi
znikać na nieprzepuszczalnej ścianie, w płynie lepkim również składowe styczne prędkości
znikają na tego rodzaju ścianie. Oznacza to, że podczas przepływu płynu rzeczywistego (siły
lepkości są dominujące w pobliżu ściany sztywnej (lub granicy różnych płynów), chociaż w
głównej masie płynu dominują siły bezwładności. Rozwiązanie tego problemu polega na
podzieleniu całego obszaru poruszającego się płynu na dwa nierówne podobszary i
prowadzeniu rozważań osobno dla każdego z nich. Podział ten  zaproponowany przez
Prandtla  polega na wprowadzeniu podobszaru, w którym siły lepkości są całkowicie
pomijalne, oraz drugiego, w którym ich wpływ jest decydujący.
y
v v v v
x
Obraz warstwy przyściennej
Warstwę płynu poruszającą się blisko granicy ośrodków (np. ściany) nazywa się
warstwą przyścienną. W warstwie przyściennej występują intensywne zmiany prędkości od
zera na ścianie do wartości równej prędkości płynu poza nią. Między warstwą przyścienną
a główną masą płynu nie ma wyraz
nego rozgraniczenia, toteż nie można ściśle zdefiniować
zasięgu warstwy. Zwykle przyjmuje się, że warstwa przyścienna sięga do miejsca, w którym
prędkość jest o 1% mniejsza od prędkości przepływu potencjalnego, tj. prędkości, jaka
ustaliÅ‚aby siÄ™ w tym punkcie podczas przepÅ‚ywu pÅ‚ynu doskonaÅ‚ego. GruboÅ›ciÄ… ´ warstwy
przyściennej nazywa się taką odległość od powierzchni ciała, dla której zmiana prędkości
8
8
8
8
´
(x)
przepływu w kierunku prostopadłym do powierzchni ściany jest w przybliżeniu równa zeru.
Grubość tej warstwy narasta stopniowo w miarę oddalania się (w kierunku przepływu) od
krawędzi natarcia (miejsca podziału strug opływających ciało). Poza warstwą przyścienną
leży podobszar, w którym siły masowe (bezwładności) dominują nad siłami lepkości i w
związku z tym płyn uważa się za doskonały.
Wobec małej grubości warstwy przyściennej, w porównaniu z długością opływanej ściany
(´/l << 1), równania Naviera Stokesa sprowadza siÄ™ w rozważanym przypadku do
uproszczonej postaci, zwanej równaniami Prandtla.
"vx "vx 1 "p "2v 1 "p "vx "v y
x
vx + v = - + v , 0 = - , + = 0 .
y
"x "y Á "x "y2 Á "y " x " y
Drugie z równań układu umożliwia sformułowanie wniosku, że ciśnienie w warstwie
przyściennej jest stałe wzdłuż normalnej do opływanej powierzchni, ma więc tę samą wartość
na powierzchni, co i na granicy warstwy. Wnioski te, sformułowane na podstawie rozważań
teoretycznych, zostały potwierdzone licznymi doświadczeniami.
Metoda rozwiązywania zagadnień przepływów płynów lepkich, z wykorzystaniem
koncepcji warstwy przyściennej i równania Prandtla, polega na:
1. Wyznaczeniu przepływu płynu nielepkiego wokół ciała, a szczególnie rozkładu
ciśnienia p(x) na ścianie.
2. Rozwiązaniu równań Prandtla z uwzględnieniem wyznaczonego rozkładu ciś- nienia i
odpowiednich warunków brzegowych.
9.4.2. Przepływy przyścienne
Rozpatrzymy płaski przepływ turbulentny, ustalony w odniesieniu do parametrów
uśrednionych. Zakładamy, że przepływ nie zależy już od zmiennej x, a zatem
vx = vx (y), v = 0, p = p(y).
y
Równanie płaskiej ustalonej warstwy przyściennej przyjmuje wówczas postać
"Ä
= 0 Ò! Ä(y) = const = Ä0 ,
"y
gdzie Ä0  naprężenie na Å›cianie.
JeÅ›li Ä ( y) okreÅ›limy jako sumÄ™ naprężenia wywoÅ‚anego lepkoÅ›ciÄ…, zwanego dalej
laminarnym, oraz naprężenia wynikającego z fluktuacji prędkości  turbulentnego
Ä0 = Äl + Ät
i uwzględnimy hipotezy Newtona oraz drogi mieszania Prandtla, otrzymamy:
2
"vx ëÅ‚ öÅ‚
"vx
Ä0 = µ + Á l2 ìÅ‚ ÷Å‚ .
ìÅ‚ ÷Å‚
"y "y
íÅ‚ Å‚Å‚
Ściana tłumi fluktuacje turbulentne, w związku z czym drugi składnik, reprezentujący
naprężenia turbulentne, jest w jej pobliżu mały. W większej odległości od ściany odwrotnie
 turbulencja jest w pełni rozwinięta i naprężenia laminarne są małe w porównaniu
z turbulentnymi. Zgodnie zatem z koncepcją Prandtla jest możliwe rozbicie ostatniego
równania na prostsze, z których jedno będzie określać ruch płynu w pobliżu ściany, drugie 
w pewnej odległości od niej. Równania te będą miały postać:
 obszar, w którym obowiązuje, nazwano podwarstwą (strefą) laminarną (lepką):
"vx
µ = Ä0
"y
 obszar jego obowiÄ…zywania nazwano rdzeniem turbulentnym:
2
ëÅ‚ "vx öÅ‚
Á l2 ìÅ‚ ÷Å‚ = Ä0
ìÅ‚ ÷Å‚
"y
íÅ‚ Å‚Å‚
Pomiędzy podwarstwą lepką i rdzeniem turbulentnym jest obszar przejściowy, w którym
naprężenie laminarne jest tego samego rzędu co turbulentne..
W podwarstwie lepkiej rozwiązaniem równania jest:
Ä0
vx a" v = y
µ
czyli rozkład prędkości jest liniowy.
Rozwiązanie równania w rdzeniu turbulentnym wymaga wprowadzenia określenia drogi
mieszania l. Prandtl zaÅ‚ożyÅ‚, że w warstwie przyÅ›ciennej l = º y. Współczynnik º należy
wyznaczyć doÅ›wiadczalnie. WprowadzajÄ…c oznaczenie Ä0 Á = v" , nazwane prÄ™dkoÅ›ciÄ…
tarcia lub prędkością dynamiczną, otrzymamy w wyniku całkowania:
v"
vx(y) = ln y + C
º
czyli rozkład prędkości jest logarytmiczny.
y
P - punkt zszycia
P
vx
Rozkład prędkości w turbulentnej warstwie przyściennej
Stałą C wyznaczamy z warunku zszycia; żądamy, aby prawe strony wyrażeń
określających rozkłady prędkości w obszarze podwarstwy lepkiej (6.230) i rdzenia
turbulentnego (6.233) byÅ‚y sobie równe w punkcie P o rzÄ™dnej ´, stanowiÄ…cej grubość
podwarstwy. Grubość ta może być wyznaczona metodą analizy wymiarowej:
µ ½ ½
´ = ² = ² = ² ,
v"
Á Ä0 Ä0Á
w którym ² jest liczbÄ…, stÄ…d:
v" ½
C = - ln ² + ²v" .
º v"
Wzór określający rozkład prędkości w rdzeniu turbulentnym przyjmuje więc postać
1 v" y 1
v = v" ëÅ‚ ln + ² - ln ²öÅ‚ .
ìÅ‚ ÷Å‚
º ½ º
íÅ‚ Å‚Å‚
StaÅ‚e º i ² mogÄ… być wyznaczone tylko doÅ›wiadczalnie.
Pomiary przepływów typu turbulentnej warstwy przyściennej wykazują, że postać wzorów
jest uniwersalna dla tych przepływów. Zmieniają się tylko wartości stałych doświadczalnych.
rdze
Å„
turbulentny
obszar
przej
Å›
ciowy
´
laminarna
podwarstwa
)
y
(
n
l
~
)
y
(
x
v
y
~
)
y
(
x
v