Liczby zespolone
Zad.1.Obliczyć:
1-3i i 1+i 2-3i
a) (1 - 2i)2 + (2 - 3i) (3 + 4i) b) - c)3-4i + d) 1 + i + i2 + i3 + ... + i20
2+i 2-i 3+2i
e) (1 - 2i)5 f) (3 - 2i)4 g) (2 + 2i)6
Zad.2. Niech z0 = a + bi. Wyznaczyć Re(z) i Im(z), jeżeli:
z0-i z0+1-i 1
a) z = (z0)2 b) z = (z0 - i)3c) z = d) z = (z0 = 1 - i) e) z = (z0 = 0)

2+i z0-1+i z0
z0+i z0 z0
f) z = (z0 = i) g) +

z0+i 1-i 1+i
Zad.3. Obliczyć:
" "
11 4 200
" 6 "3 1
7
1 3 1 3 -1+i
a) - i b) (1 - i)5 c) + i d) 3 - i e) f) + i
2 2 3 3 2 2 2
"
" "
15
( )6-1
(1-i)6 3-i
2 2
g) - + i h) i)
2 2
(1+i)9 (-1+i)8-1
Wynik przedstawić w postaci algebraicznej.
Zad.4. Obliczyć:
"
"
" " " " "
3 4
4 3 6 3 1-i 3
a) -1 b) -8i c) -1 d) 125 e) (1 + i)10 f) g) 15 - 8i h) 64
2
3
i) (-2 + 2i)4 j) (2 - 2i)4
Zad.5.. Rozwiazać r wnania w zbiorze liczb zespolonych:
a) zi + z(1 - i) = 3 - 2i b) (3 + 2i)z - i = 4 c) 3z + 2z = 3 - 5i d) z2 + 6z + 10 = 0
e) z2 + zi + 6 = 0 f) z4 + z2 - 2 = 0 g) z2 - 3z + 3 + i = 0 h) z2 + (1 + 4i)z - (5 + i) = 0
i) z3 - 6z - 4 = 0 j) z4 - 10z2 - 20z - 16 = 0 k) z2 = (z)2
Zad.6. Przedstawić na plaszczyz
nie interpretacje geometryczn a zbioru :
Ą 3Ą
a) {z : |z - i| = |z + i - 1|} b) {z : 1 d" |z - i + 2| d" 3} c) z : d" Arg(z) <
3 2
|z-i|
d) {z : |z| d" Im(z) + 1} e) z : = 2 f) {z : Re(iz) = Im(z2)} g) {z : (Re(z))2 = Re(z2)}
|z|
h) {z : (Im(z))2 d" Im(z2)} i) {z : Arg(z3) = Arg(z)} .
Ą
Zad.7. Niech ą "< 0; ). Przedstawić w postaci trygonometrycznej:
2
1+i taną
a) 1-cos ą+i sin ą b) - sin ą+i(1+cos ą) c) 1+cos ą+isin ą d) e) cos ą-isin ą
1-i taną
f) - cos ą + i sin ą g) sin ą - i cos ą
Odpowiedzi:
1 18
Zad.1. a)15 - 5i; b)-9i; c)-25 - i; d)1; e)41 + 38i; f)-119 - 120i; g)-512i
5 25
Zad.2. a)Re(z) = a2 -b2; Im(z) = 2ab; b)Re(z) = a3 -3a(b-1)2; Im(z) = 3a2(b-1)-(b-1)3;
c)Re(z) = 2a + b - 1; Im(z) = 2b -2a - 2; d)Re(z) = a2 + b2 - 2; Im(z) = -2a - 2b; e)Re(z) =
a b a -b2+1 2b
; Im(z) = -a2+b2; f)Re(z) = ; Im(z) = ; g)Re(z) = a - b; Im(z) = 0
a2+b2 a2+(b-1)2 " a2+(b-1)2
" " " "
"
3 8 3 2 2
Zad.3. a)1 + i ; b)-4 + 4i; c)-81 - i8 3; d)-64 3 + 64i; e)1i; f)-1 - i ; g)- + i ;
2 2 81 8 2 2 2 2
1
h)1 + i; i)-13
4 4 3" "
" " "
" " "
3 3
2 2 3 1 3 1 5 3
Zad.4. a)ą ą i ; b)2i, ą - i; c)ąi,ą ą i; d)5, -5 ą i; e)2 4i, 4(ą 3 - i);
2 2 2 2 2 2 2 2
"
" " " "
3 1
f)ą - i ; g)ą (4 - i) ; h)ą2 2, 2 ą1 ą i 3 ; i)-4,2 ą 2 3i; j)ą8i
2 2
"
5 5
Zad.5. a)-1 - 2i; b)14 - i; c)1 - i; d)-3 - i, -3 + i; e)2i, -3i; f)ą1, ąi 2; g)2 - i, 1 + i;
13 13 3 3
h)1 - i,-2 - 3i; j)-2, 4, -1 ą i; k)a(a " ), bi(b " )
1