Marek Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 3 24
3 Twierdzenia o rozszerzaniu miary
3.1 Miara zewnętrzna
Jak zwykle, niech X będzie niepustym zbiorem.
Definicja 3.1 FunkcjÄ™ zbiorów µ" : 2X [0, +"] speÅ‚niajÄ…cÄ… warunki:
(i) µ"(") = 0;
(ii) A ‚" B " 2X Ò! µ"(A) d" µ"(B);
"
(iii) An " 2X, n e" 1 Ò! µ" " An d" µ"(An)
n=1 n=1
nazywamy miarą zewnętrzną.
Zapoznamy się teraz z prostymi przykładami miary zewnętrznej.
Przykład 3.2 Niech
1 gdy E = ",

µ"(E) =
0 gdy E = ".
A
atwo sprawdzić, że µ" jest miarÄ… zewnÄ™trznÄ….
Przykład 3.3 Niech X będzie zbiorem nieprzeliczalnym. Określmy
1 gdy E > IN
µ"(E) =
0 gdy E d" IN.
Również w tym przypadku Å‚atwo sprawdzamy, że µ" jest miarÄ… zewnÄ™trznÄ….
Podaną poniżej konstrukcję miary zewnętrznej będziemy wielokrotnie wykorzystywać
PrzykÅ‚ad 3.4 Niech C ‚" 2X bÄ™dzie niepustÄ… rodzinÄ… podzbiorów X zawierajÄ…cÄ… zbiór
pusty i niech bÄ™dzie dana funkcja zbiorów Õ : C [0, +"] takÄ…, że Õ(") = 0. OkreÅ›lmy
" "
(3.1) µ"(E) = inf Õ(Bn) : E ‚" Bn, Bn " C, n e" 1 , E ‚" X.
n=1 n=1
Wtedy µ" jest miarÄ… zewnÄ™trznÄ….
Rzeczywiście;
(i) µ"(") = 0, bo Õ(") = 0;
Marek Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 3 25
(ii) Niech A, B " 2X i A ‚" B. Wtedy każde pokrycie zbioru B jest pokryciem zbioru A.
Zatem µ"(A) d" µ"(B).
(iii) Niech An " 2X, n e" 1. JeÅ›li µ"(An) = " dla pewnego n e" 1 to zachodzi nierówność
" "
µ" An d" µ"(An).
n=1 n=1
Załóżmy, że µ"(An) < " dla każdego n e" 1. Wtedy z definicji kresu dolnego otrzy-
mujemy
" "
µ
(3.2) An ‚" An,j '" Õ(An,j) < µ"(An) + .
2n
ne"1 j=1 j=1
{An,j}je"1‚"C
Ponieważ
" " "
An ‚" An,j
n=1 n=1 j=1
wiÄ™c z definicji µ" i (3.2) dostajemy
" " " " "
µ
µ" An d" Õ(An,j) d" µ"(An) + = µ"(An) + µ.
2n
n=1 n=1 j=1 n=1 n=1
Z dowolnoÅ›ci µ > 0 dostajemy warunek (iii) definicji 3.1. Zatem µ" okreÅ›lona wzorem
(3.1) jest miarą zewnętrzną.
Definicja 3.5 Niech µ" bÄ™dzie miarÄ… zewnÄ™trznÄ…. Zbiór A ‚" X nazywamy µ"-mierzalnym
jeśli
(3.3) µ"(E) = µ"(E )" A) + µ"(E )" A ).
E‚"X
RodzinÄ™ wszystkich zbiorów µ"-mierzalnych oznaczać bÄ™dziemy przez A(µ").
Uwaga. Z warunku (i) oraz (iii) definicji miary zewnętrznej wynika, że dla dowolnego
zbioru A ‚" X zachodzi
µ"(E) d" µ"(E )" A) + µ"(E )" A ).
E‚"X
Zatem dla dowodu warunku (3.3) wystarczy sprawdzić, że
(3.4) µ"(E) e" µ"(E )" A) + µ"(E )" A ).
E‚"X
µ"(E)<"
Pokażemy teraz, że rodzina zbiorów µ"-mierzalnych jest niepusta. Zachodzi mianowicie
Marek Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 3 26
Twierdzenie 3.6 Niech µ" bÄ™dzie miarÄ… zewnÄ™trznÄ…. JeÅ›li µ"(A) = 0 lub µ"(A ) = 0 to
A " A(µ"). W szczególnoÅ›ci " " A(µ") oraz X " A(µ").
Dowód. Niech µ"(A) = 0. Wtedy dla dowolnego E ‚" X mamy µ"(E )" A) = 0, bo
E )" A ‚" A. Podobnie µ"(E) e" µ"(E )" A ). StÄ…d
µ"(E) e" µ"(E )" A ) = µ"(E )" A ) + µ"(E )" A).
Podobnie, gdy µ"(A ) = 0 mamy µ"(E) e" µ"(E )" A) oraz µ"(E )" A ) d" µ"(A ) = 0. Zatem
µ"(E) e" µ"(E )" A) = µ"(E )" A) + µ"(E )" A ).
W obu przypadkach warunek (3.4) jest spełniony, co kończy dowód twierdzenia.
Twierdzenie 3.7 Niech Ai " A(µ"), 1 d" i d" n bÄ™dÄ… takie, że Ai )" Aj = " dla dowolnych
1 d" i = j d" n. Wtedy

n n
µ" E )" Ai = µ"(E )" Ai).
E‚"X i=1 i=1
Dowód. Metodą indukcji. Dla n = 1 teza jest oczywista. Niech n > 1. Ponieważ
An+1 " A(µ") wiÄ™c na mocy(3.3) mamy
n+1 n+1 n+1
(3.5) µ" E )" Ai = µ" E )" Ai )" An+1 + µ" E )" Ai )" A n+1 .
i=1 i=1 i=1
n+1
Z rozłączności Ai dla 1 d" i d" n + 1 mamy E )" Ai )" An+1 = E )" An+1 oraz
i=1
n n+1 n
Ai ‚" A n+1, a stÄ…d E )" Ai )" A n+1 = E )" Ai. Z tych rozważaÅ„ oraz z
i=1 i=1 i=1
(3.5) dostajemy
n+1 n n+1
µ" E )" Ai = µ"(E )" An+1) + µ" E )" Ai = µ"(E )" Ai)
i=1 i=1 i=1
na mocy założenia indukcyjnego.
Rozszerzeniem udowodnionego co twierdzenia jest
Twierdzenie 3.8 Niech Ai " A(µ"), i e" 1 bÄ™dÄ… takie, że Ai )"Aj = " dla dowolnych i = j,

i, j e" 1. Wtedy
" "
µ" E )" Ai = µ"(E )" Ai).
E‚"X i=1 i=1
Marek Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 3 27
Dowód. Niech E ‚" X. Wtedy dla dowolnego n e" 1 na mocy Twierdzenia 3.7 oraz z
definicji miary zewnętrznej otrzymujemy
n n "
µ"(E )" Ai) = µ" E )" Ai d" µ" E )" Ai
i=1 i=1 i=1
(3.6)
" "
= µ" E )" Ai d" µ"(E )" Ai).
i=1 i=1
PrzechodzÄ…c w (3.6) z n " dostajemy
" " "
µ"(E )" Ai) d" µ" E )" Ai d" µ"(E )" Ai).
i=1 i=1 i=1
Co kończy dowód Twierdzenia 3.8.
Podamy teraz z dowodem podstawowe twierdzenie o konstrukcji miary na Ã-algebrze.
Twierdzenie 3.9 (Caratheodory ego) Niech µ" bÄ™dzie miarÄ… zewnÄ™trznÄ… na X. Wtedy
A(µ") jest Ã-algebrÄ… oraz µ" zawężona do A(µ") jest miarÄ….
Dowód. Wykażemy najpierw, że A(µ") jest algebrÄ….
(i) Z Twierdzenia 3.6 wynika, że " " A(µ");
(ii) Implikacja A " A(µ") Ò! A " A(µ") wynika natychmiast z definicji µ"-mierzalnoÅ›ci;
(iii) Niech A, B " A(µ"). Chcemy pokazać, że A *" B " A(µ") tzn.
(3.7) µ"(E) = µ" E )" (A *" B) + µ" E )" (A *" B) .
E‚"X
Ponieważ A " A(µ") wiÄ™c z definicji µ"-mierzalnoÅ›ci zastosowanej do pierwszego
składnika sumy prawej strony równania (3.7) otrzymujemy
µ" E )" (A *" B) + µ" E )" (A *" B)
= µ" E )" (A *" B) )" A + µ" E )" (A *" B) )" A + µ" E )" (A *" B)
= µ"(E )" A) + µ"(E )" B )" A ) + µ"(E )" A )" B )
= µ"(E )" A) + µ"(E )" A )" B) + µ"(E )" A )" B )
= µ"(E )" A) + µ"(E )" A ) = µ"(E).
Marek Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 3 28
A wiÄ™c A(µ") jest algebrÄ…. Załóżmy teraz, że Ai " A(µ"), i e" 1 oraz Ai )" Aj = " dla
"
dowolnych i = j, i, j e" 1. Udowodnimy, że Ai " A(µ"). Z tego, że A(µ") jest algebrÄ…

i=1
oraz z Twierdzenia 3.7 dla E ‚" X i dowolnego n e" 1 otrzymujemy
n n
µ"(E) = µ" E )" Ai + µ" E )" Ai
i=1 i=1
n "
e" µ" E )" Ai + µ" E )" Ai
i=1 i=1
n "
= µ"(E )" Ai) + µ" E )" Ai .
i=1 i=1
PrzechodzÄ…c teraz z n " otrzymujemy z Twierdzenia 3.8
" " " "
µ"(E) e" µ"(E )" Ai) + µ" E )" Ai = µ" E )" Ai + µ" E )" Ai
i=1 i=1 i=1 i=1
"
co na mocy (3.4) daje Ai " A(µ").
i=1
Niech teraz Ai " A(µ"), i e" 1 bÄ™dÄ… dowolne (tzn. nie muszÄ… być parami rozÅ‚Ä…czne).
Określmy
B1 = A1 " A(µ");
n-1
Bn = An \ Ai " A(µ"), n > 1.
i=1
Zauważmy, że Bn )" Bm = " dla n = m i m, n e" 1 oraz

" "
Ai = Bn " A(µ") na mocy udowodnionej powyżej wÅ‚asnoÅ›ci.
i=1 n=1
Zatem udowodniliÅ›my, że A(µ") jest Ã-algebrÄ…. KorzystajÄ…c z Twierdzenia 3.8 Å‚atwo za-
uważyć (wystarczy podstawić E := X), że µ" zawężona do A(µ") jest miarÄ…. Tym samym
dowód twierdzenia Caratheodory ego został zakończony.
Twierdzenie 3.10 (O rozszerzeniu miary) Niech µ bÄ™dzie miarÄ… na algebrze C. Wtedy
µ może być rozszerzona do miary na Ã-algebrze Ã(C). JeÅ›li ponadto µ jest Ã-skoÅ„czona to
rozszerzenie to jest jednoznaczne.
Dowód. Określmy funkcję zbiorów
" "
(3.8) µ"(E) = inf µ(An) : E ‚" An, An " C, n e" 1 , E ‚" X.
n=1 n=1
Marek Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 3 29
Z przykÅ‚adu 3.4 wynika, że µ" jest miarÄ… zewnÄ™trznÄ…. Z twierdzenia Caratheodory ego
rodzina A(µ") zbiorów µ"-mierzalnych jest Ã-algebrÄ…. Wykażemy, że
C ‚" A(µ").
W tym celu wystarczy pokazać dla każdego A " C warunek
µ"(E) e" µ"(E )" A) + µ"(E )" A ).
E‚"X
µ"(E)<"
Niech µ > 0 i A " C. Wtedy z definicji µ" istniejÄ… zbiory An " C, n e" 1 takie, że
" "
(3.9) E ‚" An oraz µ(An) < µ"(E) + µ.
n=1 n=1
Mamy
"
E )" A ‚" (A )" An),
n=1
"
E )" A ‚" (A )" An).
n=1
Z definicji µ" (podanej w (3.8)) oraz z (3.9) dostajemy
" " "
µ"(E )" A) + µ"(E )" A ) d" µ(A )" An) + µ(A )" An) = µ(An) < µ"(E) + µ.
n=1 n=1 n=1
Z dowolnoÅ›ci µ > 0 dostajemy
µ"(E )" A) + µ"(E )" A ) d" µ"(E).
Zatem A " A(µ") czyli C ‚" A(µ"). StÄ…d Ã(C) ‚" A(µ"). Wykażemy teraz, że µ" jest
rozszerzeniem miary µ tzn.
µ"(A) = µ(A).
A"C
Niech A " C. Wtedy z definicji µ" mamy µ"(A) d" µ(A). W druga stronÄ™. Niech zbiory
"
An, n e" 1 bÄ™dÄ… dowolnym pokryciem zbioru A tzn. A ‚" An. Z wÅ‚asnoÅ›ci miary
n=1
dostajemy
" " "
µ(A) = µ A )" An d" µ(A )" An) d" µ(An).
n=1 n=1 n=1
Marek Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 3 30
StÄ…d, z dowolnoÅ›ci pokrycia zbioru A oraz z definicji µ" otrzymujemy µ(A) d" µ"(A). Zatem
µ"(A) = µ(A), dla A " C.
Ponieważ µ" jest miarÄ… na A(µ") wiÄ™c jest też miarÄ… na Ã(C) ‚" A(µ") oraz jak pokazaliÅ›my
przed chwilÄ… µ"|C = µ czyli µ" jest rozszerzeniem µ na Ã(C). Z Wniosku 2.8 wynika, że
gdy µ jest Ã-skoÅ„czona na C to µ" jest jednoznacznym rozszerzeniem µ.
Z dowodu powyższego twierdzenia mamy
Wniosek 3.11 Niech (X, A, µ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… z miarÄ…. Wtedy (X, A(µ"), µ"), gdzie
µ" dane jest wzorem (3.10) jest przestrzeniÄ… z miarÄ… oraz A ‚" A(µ") i µ"|A = µ.
Twierdzenie 3.12 Niech (X, A, µ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… z miarÄ… i niech µ" bÄ™dzie miarÄ…
zewnetrzną określoną wzorem (patrz Przykład 3.4)
" "
(3.10) µ"(E) = inf µ(An) : E ‚" An, An " A, n e" 1 , E ‚" X.
n=1 n=1
Wtedy
(3.11) µ"(E) = µ(B).
B"A
E‚"X
E‚"B
Dowód. Niech E ‚" X. Gdy µ"(E) = " to kÅ‚adziemy B := X (bo µ(X) = ", co wynika
z ciÄ…gu nierównoÅ›ci: +" = µ"(E) d" µ"(X) d" µ(X) z definicji µ"). gdy µ"(E) < +" to
" "
1
E ‚" An,i '" µ(An,i) < µ"(E) + .
n
ne"1 n=1 i=1
{An,i}ie"1‚"A
Oznaczmy dla n e" 1
"
Bn = An,i " A.
i=1
KorzystajÄ…c z Ã-subaddytywnoÅ›ci miary µ otrzymujemy
"
1
µ(Bn) d" µ(An,i) < µ"(E) + .
n
i=1
Określmy
"
B = Bn " A.
n=1
Marek Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 3 31
"
Wtedy E ‚" Bn = B oraz dla n e" 1 z dowodu Twierdzenia 3.10 mamy
n=1
1
µ"(E) d" µ"(B) = µ(B) d" µ(Bn) < µ"(E) + .
n
BiorÄ…c n " dostajemy tezÄ™.
Uwaga. Niech µ bÄ™dzie miarÄ… na algebrze C. OkreÅ›lmy
" "
µ"(E) = inf µ(An) : E ‚" An, An " C, n e" 1 , E ‚" X.
n=1 n=1
Wtedy ma mocy TwierdzeÅ„ 3.9 i 3.10 (X, A(µ"), µ") jest przestrzeniÄ… z miarÄ… oraz
µ"|C = µ '" C ‚" A(µ").
Powtórzmy powyższą procedurę definiując
" "
µ""(E) = inf µ"(An) : E ‚" An, An " A(µ"), n e" 1 , E ‚" X.
n=1 n=1
Wtedy µ" = µ"", a stÄ…d A(µ") = A(µ"").
Dowód. Jest oczywiste, że
(3.12) µ""(E) d" µ"(E), E ‚" X.
W drugÄ… stronÄ™. Z Twierdzenia 3.12 dla dowolnego E ‚" X istnieje B " A(µ") taki, że
E ‚" B oraz µ""(E) = µ"(B). StÄ…d
(3.13) µ"(E) d" µ"(B) = µ""(E)
Teraz (3.12) i (3.13) dajÄ… równość µ" = µ"", a stÄ…d już wynika, że A(µ") = A(µ"").
Z Uwagi tej wynika wniosek, że powtórzenie procedury Caratheodory ego nie prowadzi do
rozszerzenia na jeszcze wiekszÄ… Ã-algebrÄ™.
3.2 Miara Lebesgue a
Zastosujmy teraz procedurę Caratheodory ego do rozszerzenia miary Lebesgue a. Wcześniej
na mocy Twierdzenia 2.10 mieliśmy miarę Lebesgue a określoną na algebrze generowanej
przez rodzinę C tj. przez przedziały postaci (a, b], a, b " IR oraz (c, "), c " IR. Jak
wiadomo każdy element tej algebry jest skończoną i rozłączną sumą powyższych przedzia-
łów. Określmy zewnętrzną miarę Lebesgue a (patrz Twierdzenie 3.10 o rozszerzaniu miary)
wzorem
Marek Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 3 32
" "
(3.14) "(E) = inf{ (bn - an) : E ‚" (an, bn] }, E ‚" IR.
n=1 n=1
W tym przypadku Ã-algebrÄ™ A(") (tj. Ã-algebrÄ™ zbiorów "-mierzalnych) oznaczamy
symbolem L(IR) i nazywamy Ã-algebrÄ… zbiorów Lebesgue a, a jej elementy zbiorami Lebes-
gue a. Jak wiadomo z Twierdzenia Caratheodory ego " zawężona do Ã-algebry L(IR) jest
miarą. Z drugiej strony z Twierdzenia 3.10 o rozszerzaniu miary wynika, że " jest rozsze-
rzeniem miary Lebesgue a  określonej na algebrze ą(C) i dlatego będziemy ją oznaczać
nadal symbolem . Ponadto z dowodu Twierdzenia 3.10 wynika, że każdy zbiór borelowski
jest zbiorem Lebesgue a tzn. mamy zawieranie B(IR) ‚" L(IR). Można wykazać, że zawie-
ranie to jest istotne. Przestrzeń z miarą (IR, L(IR), ) nazywamy przestrzenią Lebesgue a.
Z dowodu Twierdzenia 3.10 wynika również, że ((a, b]) = b - a dla a < b, a, b " IR. Stąd
({x}) = 0, bo
"
2
({x}) =  (x - 1/n, x + 1/n] = lim ((x - 1/n, x + 1/n]) = lim = 0.
n" n"
n
n=1
Zatem dla a < b, a, b " IR mamy
([a, b]) = ((a, b)) = ([a, b)) = ((a, b]) = b - a,
czyli miara Lebesgue a przedziałów ograniczonych jest równa ich długosci. Okazuje się,
że w definicji miary zewnętrznej Lebesgue a zamiast przedziałów prawostronnie domknię-
tych (ograniczonych) możemy użyć przedziałów tylko lewostronnie domkniętych lub tylko
domkniętych czy też tylko otwartych. Mianowicie mamy
Twierdzenie 3.13 Określmy miary zewnętrzne:
" "
"(E) = inf{ (bn - an) : E ‚" [an, bn) },
1
n=1 n=1
" "
"(E) = inf{ (bn - an) : E ‚" [an, bn] },
2
n=1 n=1
" "
"(E) = inf{ (bn - an) : E ‚" (an, bn) }, E ‚" IR.
3
n=1 n=1
Wtedy " = " = " = ".
1 2 3
Dowód. Zadanie domowe (ćwiczenia).
Kolejne twierdzenie podaje charakteryzację zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue a
(inaczej lebegowskich)
Marek Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 3 33
Twierdzenie 3.14 Niech A ‚" IR. NastÄ™pujÄ…ce warunki sÄ… równoważne:
(i) Zbior A jest mierzalny w sensie Lebesgue a (na IR).
(ii) Dla każdego µ > 0 istnieje zbiór otwarty G ‚" IR taki, że A ‚" G oraz "(G \ A) < µ.
(iii) Istnieje zbiór H ‚" IR typu G´ taki, że A ‚" H oraz "(H \ A) = 0.
(iv) Dla każdego µ > 0 istnieje zbiór domkniÄ™ty F ‚" IR taki, że F ‚" A oraz "(A\F ) < µ.
(v) Istnieje zbiór J ‚" IR typu FÃ taki, że J ‚" A oraz "(A \ J) = 0.
Dowód. Dawód zaczniemy od następującego spostrzeżenia. Niech A " L(IR). Wtedy
A = A )" (k, k + 1] = Ak.
k"Z k"Z
Z Z
Zauważmy, że An )" Am = " dla n = m oraz Ak " L(IR) , (Ak) < ". Zatem dowolny

zbiór A mierzalny w sensie Lebesgue a możemy przedstawić jako rozłączną, przeliczalną
sumę zbiorów Ak mierzalnych w sensie Lebesgue a i takich, że (Ak) < ".
(i)Ò! (ii). OkreÅ›lmy
" "
(3.15) "(E) = inf{ (bn - an) : E ‚" (an, bn) }, E ‚" IR.
n=1 n=1
Załóżmy, że A " L(IR). Z rozumowania powyżej możemy A przedstawić jako sumę A =
"
Ak, gdzie Ak )"An = " dla n = k, Ak " L(IR) oraz (Ak) < ", k e" 1. Ustalmy µ > 0.

k=1
Z definicji " (3.15) dla każdego k " IN istnieje rodzina otwartych przedziałów {Bki}ie"1
taka, że
" " " "
µ
Ak ‚" Bki oraz  Bki d" (Bki) = |Bki| < (Ak) + ,
2k
i=1 i=1 i=1 i=1
"
µ
gdzie |Bki| oznacza długość otwartego przedziału Bki. Stąd  Bki \ Ak < dla
i=1
2k
" " "
k e" 1. OkreÅ›lmy teraz G = Bki. Wtedy A = Ak ‚" G oraz
k=1 i=1 k=1
" " " " " "
µ
"(G \ A) = (G \ A) =  Bki \ Ak d"  Bki \ Ak < = µ,
2k
k=1 i=1 k=1 k=1 i=1 k=1
bo
" " "
Dk \ Fk ‚" (Dk \ Fk).
k=1 k=1 k=1
(ii)Ò! (iii). Na mocy (ii)
1
A ‚" Gk, Gk otwarty, "(Gk \ A) < .
k
ke"1 Gk
Marek Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 3 34
"
OkreÅ›lmy H = Gk. Zauważmy, że A ‚" H oraz H jest z definicji zbiorem typu G´.
k=1
Dalej mamy
"
1
"(H \ A) = " Gk \ A d" "(Gk \ A) < , k e" 1.
k
k=1
BiorÄ…c k " dostajemy "(H \ A) = 0.
(iii)Ò! (i). Niech H bÄ™dzie zbiorem typu G´ takim, że A ‚" H oraz "(H \ A) = 0. Wtedy
z Twierdzenia 3.6 mamy H \ A " A(") = L(IR). StÄ…d i z przedstawienia A = H \ (H \ A)
dostajemy, że A " L(IR).
(i)Ò! (iv) Niech A " L(IR) oraz niech µ > 0. Wtedy A " L(IR) oraz z udowdnionej już
częsci twierdznia wynika, że
A ‚" G, G otwarty, "(G \ A ) < µ.
G
Oznaczmy F = G . Wtedy F = G ‚" A oraz
"(A \ F ) = "(A \ G ) = "(A )" G) = "(G \ A ) < µ.
(iv)Ò! (v). Na mocy (iv)
1
Fk ‚" A, Fk domkniÄ™ty, "(A \ Fk) < .
k
ke"1 Fk
"
OkreÅ›lmy J = Fk. Zauważmy, że J ‚" A oraz J jest z definicji zbiorem typu FÃ.
k=1
Dalej mamy
"
1
"(A \ J) = " A \ Fk d" "(A \ Fk) < , k e" 1.
k
k=1
BiorÄ…c k " dostajemy "(A \ J) = 0.
(v)Ò! (i). Niech J bÄ™dzie zbiorem typu Fà takim, że J ‚" A oraz "(A \ J) = 0. Podobnie
jak powyżej z Twierdzenia 3.6 dostajemy A \ J " L(IR). Korzystając z przedstawienia
A = J *" (A \ J) dostajemy A " L(IR), bo J " L(IR) (jest zbiorem borelowskim).
Twierdzenie 3.15 Niech T : IR IR będzie funkcją liniową tj. T (x) = ax + b, gdzie
a, b " IR. Wtedy dla dowolnego A ‚" IR mamy "(T (A)) = |a| "(A). Ponadto jeÅ›li
A " L(IR) to T (A) " L(IR) oraz (T (A)) = |a| (A).
Dowód. Zauważmy, że jeśli a = 0 to teza twierdzenia jest prawdziwa. Załóżmy więc, że
a = 0. Niech (x, y), x < y, x, y " IR będzie otwartym przedziałem. Wtedy jego obraz

Marek Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 3 35
T ((x, y)) jest otwartym przedziałem, dokładniej
T ((x, y)) = (T (x), T (y)), gdy a > 0,
T ((x, y)) = (T (y), T (x)), gdy a < 0.
Jego długość wynosi
|T ((x, y))| = |(T (x), T (y))| = T (y) - T (x) = a(y - x), gdy a > 0,
|T ((x, y))| = |(T (y), T (x))| = T (x) - T (y) = -a(y - x), gdy a < 0.
Zatem
(3.16) |T ((x, y))| = |a||(x, y)|.
Niech " będzie zewnętrzą miarą Lebesgue a (patrz (3.15)) i niech {(xi, yi)}ie"1, xi < yi,
"
i e" 1 bÄ™dzie dowolnym pokryciem zbioru A ‚" IR tj. A ‚" (xi, yi). Wtedy T (A) ‚"
i=1
"
T ((xi, yi)). StÄ…d i z (3.16) dostajemy
i=1
" "
"(T (A)) d" |T (xi, yi)| = |a| |(xi, yi)|.
i=1 i=1
Czyli
"
1
"(T (A)) d" |(xi, yi)|.
|a|
i=1
Z definicji miary zewnętrznej i z dowolności pokrycia {(xi, yi)}ie"1 zbioru A wynika, że
1
"(T (A)) d" "(A) czyli "(T (A)) d" |a| "(A).
|a|
W druga stronÄ™. Niech {(Ä…i, ²i)}ie"1, Ä…i < ²i, i e" 1 bÄ™dzie dowolnym pokryciem zbioru
"
T (A) tj. T (A) ‚" (Ä…i, ²i). Ponieważ odwrotne dowzorowanie do funkcji liniowej jest
i=1
" -1
też funkcjÄ… liniowÄ… (ze współczynnikiem kierunkowym 1/a), wiÄ™c A ‚" T ((Ä…i, ²i))
i=1
oraz
" "
1
-1
"(A) d" |T ((Ä…i, ²i))| = |(Ä…i, ²i)|.
|a|
i=1 i=1
StÄ…d
"
|a| "(A) d" |(Ä…i, ²i)|.
i=1
Z dowolności pokrycia i z definicji miary zewnętrznej mamy więc
|a| "(A) d" "(T (A))
Marek Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 3 36
co koÅ„czy dowód pierwszej części twierdzenia. Załóżmy teraz, że A " L(IR) i niech E ‚" IR
-1
będzie dowolnym podzbiorem. Oznaczmy E = T (E). Mamy
"(E )" T (A)) + "(E )" (T (A)) ) = "(T (E) )" T (A)) + "(T (E) )" T (A )) =
"(T (E )" A)) + "(T (E )" A )) = |a| "(E )" A) + |a| "(E )" A ) =
|a| "(E) = "(T (E)) = "(E).
Z definicji zbiorów "-mierzalnych wynika, że T (A) " A(") = L(IR). Teraz równość
(T (A)) = |a| (A) wynika z udowodnionej już równości "(T (A)) = |a| "(A).
Oczywistym jest zawieranie L(IR) ‚" 2R. Można postawić pytanie: Czy dowolny podzbiór
IR jest zbiorem lebegowskim. Okazuje się, że tak nie jest. Przykład podzbioru IR, który
nie jest zbiorem lebegowskim podał już 1905 roku Vitali. Zapoznamy sie teraz z tym
przykładem. Wprowadz
my w IR relacje równoważności
x <" y Ð!Ò! x - y " Q.
Przez [x], x " IR oznaczmy klasy abstrakcji tej relacji. Rozważmy teraz rodzinę zbiorów
{[x] )" (0, 1)}x"R. Składa sie ona z rozłącznych i niepustych podzbiorów (0, 1). Rzeczywi-
ście, rozłączność jest oczywista i są one niepuste, bo
1
x " Z Ò! " [x] )" (0, 1),
Z
2
x " Z Ò! x - E(x) " [x] )" (0, 1),
Z
gdzie E(x) oznacza część caÅ‚kowitÄ… liczby x. Z pewnika wyboru istnieje zbiór F ‚" (0, 1)
taki, że # F )" ([x] )" (0, 1)) = 1. Załóżmy, że F " L(IR). Niech {rn}ne"1 będzie ciągiem
wszystkich liczb wymiernych z przedziału (-1, 1). Oznaczmy Fn = F + rn, n " IN. Z
Twierdzenia 3.15 wynika, że Fn " L(IR) dla n " IN. Wykażemy teraz następujące własności
zbiorów Fn.
(i) Dla n = m, n, m " IN mamy Fn )" Fm = ".

"
(ii) Fn ‚" (-1, 2).
n=1
"
(iii) (0, 1) ‚" Fn.
n=1
Ad. (i) Niech x " Fn )" Fm dla n = m, n, m " IN. Wtedy x = rn + en = rm + em,

gdzie en, em " F . Stąd en - em = rm - rn " Q. Zatem en i em należą do tej samej klasy
abstrakcji. Ale F miał wspólny tylko jeden element z każdą klasą abstrakcji, więc en = em.
Stąd rn = rm czyli n = m, co daje sprzeczność.
"
Ad. (ii) Niech x " Fn. Wtedy istnieje n " IN takie, że x " Fn, czyli x = rn + en,
n=1
gdzie en " F . StÄ…d x " (-1, 2).
Marek Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 3 37
Ad. (iii) Niech x " (0, 1) i niech [x] )" F = {e}. StÄ…d x - e " Q oraz x - e " (-1, 1). StÄ…d
"
istnieje n " IN takie, że x - e = rn, więc x = rn + e " Fn. Zatem x " Fn.
n=1
Korzystając z udowodnionych własności i Twierdzenia 3.15 wykażemy, że założenie F "
L(IR) prowadzi do sprzeczności. Załóżmy, że (F ) = 0. Wtedy
" " "
1 = ((0, 1)) d"  Fn = (Fn) = (F ) = 0
n=1 n=1 n=1
co daje sprzeczność. Niech więc (F ) > 0. Wtedy
" " "
3 = ((-1, 2)) e"  Fn = (Fn) = (F ) = "
n=1 n=1 n=1
i też otrzymujemy sprzeczność. Zatem F " L(IR).
Uwaga W podobny sposób jak na prostej IR możemy wprowadzić zbiory lebegowskie i
miarę Lebesgue a w przestrzeni euklidesowej IRd, gdzie d " IN. Przedziały ograniczone w
IRd określamy nastepująco: Niech a = (a1, . . . , ad) " IRd, b = (b1, . . . , bd) " IRd bedą takie,
że ai < bi dla i = 1, . . . , d. Wtedy
(a, b) = {(x1, . . . , xd) " IRd : ai < xi < bi, 1 d" i d" d },
[a, b] = {(x1, . . . , xd) " IRd : ai d" xi d" bi, 1 d" i d" d },
(a, b] = {(x1, . . . , xd) " IRd : ai < xi d" bi, 1 d" i d" d },
[a, b) = {(x1, . . . , xd) " IRd : ai d" xi < bi, 1 d" i d" d },
Objetość (d-wymiarową) takich przedziałów określa się wzorem
d
|(a, b)| = |[a, b]| = |(a, b]| = |[a, b)| = (bi - ai).
i=1
Możemy teraz w analogiczny sposób jak na prostej IR określić zewnętrzną miarę Lebesgue a
miarÄ™ na IRd. KorzystajÄ…c z konstrukcji Caratheodory ego otrzymamy Ã-algebrÄ™ zbiorów
lebegowskich na IRd oznaczanÄ… symbolem L(IRd) oraz miarÄ™ Lebesgue a d na niej. Podane
tu twierdzenia dla miary Lebesgue a na prostej IR zachodzą również dla miary Lebesgue a
na IRd. W wersji na IRd Twierdznia 3.15 równość (T (A)) = |a| (A) przybiera postać
(T (A)) = |det(T )| (A) dla A " L(IRd), podobnie dla miary zewnętrznej. Na zakończenie
tych uwag warto zauważyć, że jeÅ›li B ‚" IRd-1 to d(B) = 0, bo d-wymiarowa zewnÄ™trzna
miara Lebesgue a zbioru B jest równa zero. Szczegóły konstrukcji d-wymiarowej miary Le-
besgue a oraz d-wymiarowych zbiorów lebegowskich można znalez
ć w podanej literaturze.
Marek Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 3 38
3.3 Uzupełnianie miary
Zaczniemy od definicji:
Definicja 3.16 Niech (X, A, µ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… z miarÄ…. MiarÄ™ µ nazywamy miarÄ…
zupełną jeśli dowolny podzbiór zbioru miary zero jest mierzalny tzn.
A " A '" µ(A) = 0 Ò! B " A.
B‚"A
Wtedy (X, A, µ) nazywamy przestrzeniÄ… z miarÄ… miarÄ… zupeÅ‚nÄ… lub krótko przestrzeniÄ… zu-
pełną.
Wniosek 3.17 Z definicji miary Lebesgue a oraz z Twierdzenia 3.6 wynika, że przestrzeń
(IR, L(IR), ) jest przestrzenią z miarą zupełną.
Jest oczywiste, że nie każda przestrzeń z miarą jest przestrzenią zupełną. Okazuje się
jednak, że gdy tak nie jest to możemy w pewnym sensie rozszerzyć (X, A, µ) do przestrzeni
zupeÅ‚nej. Załóżmy, wiÄ™c że (X, A, µ) nie jest zupeÅ‚na i oznaczmy
N (µ) = { A ‚" X : µ"(A) = 0 }
(definicja µ" podana jest w Twierdzeniu 3.12). Z Twierdzenia 3.12 wynika, że A " N (µ)
wtedy i tylko wtedy, gdy A zawarte jest w pewnym zbiorze µ - miary zero. Wprowadz
my
jeszcze oznaczenia
A1 = Ã(A, N (µ)) oraz Aµ = { A ‚" X : A B " N (µ) }.
B"A
Twierdzenie 3.18 Przy powyższych założeniach i oznaczeniach zachodzi równość
A1 = Aµ.
Dowód. Wykażemy najpierw, że Aµ ‚" A1. Niech A " Aµ. Wtedy z definicji Aµ wynika,
że istnieje B " A takie, że µ"(A B) = 0. StÄ…d µ"(A \ B) = µ"(B \ A) = 0. Zatem A \ B,
B \ A " N (µ). A stÄ…d
A = (B *" (A \ B)) \ (B \ A) " A1.
W drugÄ… stronÄ™. Ponieważ N (µ), A ‚" Aµ wystarczy wykazać wiÄ™c, że Aµ jest Ã-algebrÄ….
(i) " " Aµ co jest oczywiste;
(ii) Niech A " Aµ. Z definicji Aµ wynika, że istnieje B " A takie, że µ"(A B) = 0.
Ale A B = A B . Zatem µ"(A B ) = 0, a ponieważ B " A wiÄ™c A " Aµ.
Marek Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 3 39
(iii) Niech Ai " Aµ dla i e" 1. Dla każdego i e" 1 istnieje Bi " A taki, że µ"(Ai Bi) = 0.
Ponieważ
" " "
(3.17) Ai Bi ‚" (Ai Bi)
i=1 i=1 i=1
więc
" " " "
(3.18) µ" Ai Bi d" µ" (Ai Bi) d" µ"(Ai Bi) = 0.
i=1 i=1 i=1 i=1
" "
StÄ…d majÄ…c na uwadze, że Bi " A dostajemy Ai " Aµ.
i=1 i=1
JeÅ›li przestrzeÅ„ z miarÄ… (X, A, µ) nie jest zupeÅ‚na to możemy rozszerzyć miarÄ™ µ do miary
zupeÅ‚nej µ na Aµ. W ten sposób otrzymujemy przestrzeÅ„ zupeÅ‚nÄ… (X, Aµ, µ). Zobaczmy
jak przebiega ta konstrukcja. MiarÄ™ µ na Aµ definiuje siÄ™ nastÄ™pujaco:
µ(A) = µ(B), A " Aµ gdzie B " A oraz µ"(A B) = 0.
Zauważmy, że µ jest dobrze okreÅ›lona na Aµ. RzeczywiÅ›cie, niech A " Aµ oraz niech
µ(A) = µ(B1) i µ"(A B1) = 0, B1 " A,
µ(A) = µ(B2) i µ"(A B2) = 0, B2 " A.
Wtedy korzystajÄ…c z zawierania
(3.19) B1 B2 ‚" (B1 A) *" (A B2)
dostajemy
µ(B1 B2) = µ"(B1 B2) d" µ"(B1 A) + µ"(A B2) = 0.
A stÄ…d już wynika równość µ(B1) = µ(B2) co dowodzi poprawnoÅ›ci okreÅ›lenia µ. Wykażemy
teraz, że µ jest miarÄ… na Aµ.
(i) µ(") = 0, co jest oczywiste.
(ii) Niech Ai " Aµ dla i e" 1 oraz Ai )" Aj = " dla i = j. StÄ…d dla każdego i e" 1 istnieje

Bi " A taki, że µ"(Ai Bi) = 0 oraz µ(Ai) = µ(Bi). KorzystajÄ…c teraz z tego, że
Ai )" Aj = " Ò! Bi )" Bj ‚" (Ai Bi) *" (Aj Bj)
Marek Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 3 40
dostajemy
µ(Bi )" Bj) = µ"(Bi )" Bj) d" µ"(Ai Bi) + µ"(Aj Bj) = 0
StÄ…d, z (3.17) i (3.18) oraz z definicji µ mamy
" " " "
µ Ai = µ Bi = µ(Bi) = µ(Ai).
i=1 i=1 i=1 i=1
Zatem µ jest miarÄ… na Aµ. Wykażemy teraz zupeÅ‚ność miary µ na Aµ. Niech A " Aµ
bÄ™dzie takie, że µ(A) = 0 oraz niech F ‚" A. Trzeba pokazać, że F " Aµ. Z zaÅ‚ożenia i z
definicji µ istnieje B " A takie, że
0 = µ(A) = µ(B) '" µ"(A B) = 0.
korzystajÄ…c teraz m.in z zawierania postaci (3.19), wÅ‚asnoÅ›ci µ" oraz z zaÅ‚ożeÅ„ dostajemy
F ‚"A
µ"(F B) d" µ"(F A) + µ"(A B) = µ"(F A) = µ"(A \ F ) d" µ"(A)
d" µ"(A *" B) d" µ"(A \ B) + µ"(B) = µ"(B) = µ(B) = 0.
StÄ…d F " Aµ. Zauważmy również, że µ jest jednoznacznym rozszerzeniem miary µ na Aµ.
RzeczywiÅ›cie, załóżmy, że mamy drugÄ… miarÄ™ µ na Aµ takÄ…, że
µ A = µ A = µ.
Wykażmy równość µ = µ na Aµ. Niech wiÄ™c A " Aµ. Wtedy istnieje B " A taki, że
µ"(A B) = 0 oraz µ(A) = µ(B). Z Twierdzenia 3.12 istnieje F " A taki, że A B ‚" F
oraz µ"(A B) = µ(F ). StÄ…d i z tego, że A B " Aµ mamy
0 = µ"(A B) = µ(F ) = µ(F ). Zatem µ(A B) = 0, bo A B ‚" F.
StÄ…d µ(A \ B) = 0 i µ(B \ A) = 0. Mamy, wiÄ™c
µ(A) = µ(A) + µ(B \ A) = µ(A *" B) = µ(B) + µ(A \ B) = µ(B) = µ(B) = µ(A).
Zachodzi pytanie jak siÄ™ majÄ… do siebie Ã-algebry Aµ oraz A(µ") bÄ™dÄ…ce rozszerzeniami
wyjÅ›ciowej Ã-algebry A. Odpowiedz
na to pytanie daje
Twierdzenie 3.19 Niech (X, A, µ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… z miarÄ… Ã-skoÅ„czonÄ… µ. Wtedy
Aµ = A(µ").
Marek Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 3 41
Dowód. Ponieważ Aµ = Ã(A, N (µ)) oraz A ‚" A(µ") i N (µ) ‚" A(µ") (z Twierdzenia
3.6), wiÄ™c Aµ ‚" A(µ"). W drugÄ… stronÄ™. Niech A " A(µ"). Ponieważ miara µ jest Ã-
"
skoÅ„czona to istnieje rodzina {En}ne"1 ‚" A taka, że X = En oraz µ(En) < " dla
n=1
n e" 1. mamy
" "
(3.20) A = A )" X = A )" En = A )" En.
n=1 n=1
Na mocy (3.20) wystarczy wykazać A )" En " Aµ, n e" 1. Zauważmy oszacowanie
µ"(A )" En) d" µ"(En) = µ(En) < ", n e" 1.
Z Twierdzenia 3.12 dla każdego n e" 1 istnieje Bn " A taki, że A )" En ‚" Bn oraz
µ"(A )" En) = µ(Bn).
StÄ…d dla n e" 1 mamy
µ"(A )" En) = µ(Bn) = µ"(Bn) = µ"(Bn )" A )" En) + µ"(Bn )" (A )" En) ) =
µ"(A )" En) + µ"(Bn \ (A )" En)).
Ponieważ µ"(A )" En) < " dla n e" 1, wiÄ™c z powyższej równoÅ›ci dostajemy
µ"(Bn \ (A )" En)) = 0 tzn. Bn \ (A )" En) " Aµ.
Zatem A )" En = Bn \ (Bn \ (A )" En)) " Aµ, dla n e" 1, bo Bn " A ‚" Aµ, n e" 1, co z
(3.20) daje A " Aµ.
Uwaga. Zauważmy, że zaÅ‚ożenie o Ã-skoÅ„czonoÅ›ci miary µ jest istotne. Rzeczywiscie,
niech A = {", X} oraz µ(") = 0 i µ(X) = ". Zauważmy, że µ"(E) = " dla każdego
niepustego podzbioru E ‚" X. StÄ…d A(µ") = 2X. Z drugiej strony natychmiast widzimy,
że Aµ = {", X}. Zatem Aµ = A(µ"), gdy X ma przynajmniej dwa elementy.