Analiza matematyczna 1/Wykład 2: Funkcje elementarne - Studia Informatyczne

/**/






/**/











Analiza matematyczna 1/Wykład 2: Funkcje elementarne

From Studia Informatyczne
< Analiza matematyczna 1

Spis treści [schowaj]

1 Funkcje elementarne
2 Funkcje różnowartościowe. Funkcje monotoniczne
3 Przegląd funkcji jednej zmiennej rzeczywistej
4 Funkcja wykładnicza i logarytmiczna
5 Funkcje trygonometryczne i funkcje cyklometryczne
6 Funkcje hiperboliczne i funkcje area

if (window.showTocToggle) { var tocShowText = "pokaż"; var tocHideText = "schowaj"; showTocToggle(); }
[Edytuj]Funkcje elementarne
Przypominamy własności funkcji znanych ze szkoły (funkcja
liniowa, homograficzna, wielomianowa, wykładnicza, funkcje
trygonometryczne). Definiujemy funkcje hiperboliczne. Rozważamy
podstawowe własności funkcji odwrotnych.

[Edytuj]Funkcje różnowartościowe. Funkcje monotoniczne
Z wykładu z teorii mnogości wiemy, że funkcja
różnowartościowa jest bijekcją na swój zbiór wartości. Wiemy
także, że relacja odwrotna do bijekcji jest
funkcją i to funkcją różnowartościową określoną na o
wartościach w zbiorze .
Definicja 2.1.


Niech i niech .
Zacieśnieniem (inaczej: zawężeniem lub
restrykcją) funkcji do zbioru nazywamy funkcję

równą funkcji na zbiorze , tzn.
.


Definicja 2.2.


Niech będzie
funkcją. Mówimy, że funkcja jest funkcją odwrotną
do funkcji , jeśli dla dowolnego elementu zachodzi równość
i dla dowolnego elementu zachodzi
równość .


Funkcję odwrotną do funkcji będziemy oznaczać często symbolem ,
o ile nie prowadzi to do nieporozumienia.
Należy odróżniać pojęcie funkcji odwrotnej od odwrotności funkcji, gdzie przez odwrotność funkcji
rozumiemy funkcję
.

Uwaga 2.3.

Niech będą funkcjami jednej zmiennej. Jeśli
jest funkcją odwrotną do , to w prostokątnym układzie
współrzędnych wykres funkcji jest obrazem wykresu
funkcji w symetrii osiowej względem prostej .


Definicja 2.4.


Mówimy, że funkcja jest rosnąca (odpowiednio: ściśle rosnąca)
w przedziale , jeśli


(odpowiednio: ).


Definicja 2.5.


Mówimy, że funkcja jest malejąca
(odpowiednio: ściśle malejąca) w przedziale , jeśli


(odpowiednio: ).


Definicja 2.6.


Mówimy, że funkcja jest monotoniczna w przedziale, jeśli w tym przedziale jest rosnąca albo malejąca.


Przykład 2.7.


Funkcja rośnie w każdym z przedziałów postaci

nie jest jednak rosnąca w sumie przedziałów .
Weźmy bowiem np. argumenty ,
. Wówczas , ale .


Uwaga 2.8.

Jeśli jest funkcją
odwrotną do funkcji , to

jeśli jest rosnąca, to jest także rosnąca;
jeśli jest malejąca, to jest również malejąca.

Krótko: funkcja odwrotna do funkcji rosnącej jest rosnąca, a odwrotna do malejącej - malejąca.


[Edytuj]Przegląd funkcji jednej zmiennej rzeczywistej
Definicja 2.9.


Niech będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Funkcję nazywamy funkcją afiniczną.






Rysunek do definicji 2.9. i uwagi 2.10.



Rysunek do definicji 2.11. i uwagi 2.12.


Uwaga 2.10.

Wykresem funkcji afinicznej jest prosta.
Funkcja jest ściśle rosnąca, gdy i ściśle malejąca, gdy . Jest bijekcją zbioru na zbiór , gdy .
Funkcja odwrotna do funkcji afinicznej jest funkcją afiniczną.
Złożenie funkcji afinicznych jest funkcją afiniczną.


Definicja 2.11.


Niech będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi takimi,że . Funkcję nazywamy funkcją homograficzną lub - krótko - homografią.
Uwaga 2.12.

Funkcja afiniczna jest szczególnym przypadkiem funkcji homograficznej.
Wykresem funkcji homograficznej jest prosta (jeśli jest afiniczna) lub hiperbola (jeśli nie jest afiniczna).
Funkcja odwrotna do homografii jest homografią.
Złożenie homografii jest homografią.


Definicja 2.13.


Niech będzie stałą, niech będzie liczbą

całkowitą nieujemną, a - zmienną. Wyrażenie algebraiczne nazywamy jednomianem zmiennej . Jeśli ,to liczbę nazywamy stopniem jednomianu . Sumę skończonej liczby jednomianów zmiennej nazywamy wielomianem zmiennej . Największy ze stopni tych jednomianów, nazywamy stopniem wielomianu.




Rysunek do definicji 2.13.



Rysunek do definicji 2.13.


Definicja 2.14.


Funkcję nazywamy
funkcją wielomianową lub - krótko - wielomianem.


Uwaga 2.15.

Suma oraz iloczyn wielomianów jest wielomianem.
Złożenie funkcji wielomianowych jest funkcją wielomianową.


Wykażmy użyteczne oszacowanie z dołu wielomianu za pomocą funkcji afinicznej
.

Jakob Bernoulli (1654-1705)Zobacz biografię
Uwaga 2.16. [nierówność Bernoullego]

Dla dowolnej liczby całkowitej nieujemnej i dowolnej liczby rzeczywistej
zachodzi nierówność




przy czym dla równość w powyższej nierówności zachodzi wyłącznie dla .
Dowód 2.16.


Zauważmy, że nierówność zachodzi dla i . Wykażemy, że dla dowolnej liczby naturalnej
prawdziwa jest implikacja



Mamy bowiem:



Na mocy zasady indukcji matematycznej nierówność zachodzi więc dla każdej liczby całkowitej nieujemnej
. Zauważmy, że składnik
dla zeruje się wyłącznie w punkcie , stąd
nierówność Bernoullego jest ostra poza tym punktem, a jedynie dla zachodzi równość w tej nierówności.













Definicja 2.17.


Niech będzie liczbą naturalną większą od jedności. Liczbę nieujemną nazywamy pierwiastkiem arytmetycznym stopnia z liczby nieujemnej , jeśli Pierwiastek stopnia z liczby oznaczamy symbolem .
Uwaga 2.18.

Funkcja jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą nieparzystą.
Jeśli jest parzystą liczbą naturalną, to zacieśnienie funkcji do przedziału jest funkcją różnowartościową. Funkcją odwrotną do niej jest funkcja pierwiastek stopnia określona na przedziale o wartościach w .
Jeśli jest nieparzystą liczbą naturalną, to funkcja jest różnowartościowa na przedziale . Funkcją odwrotną do niej jest funkcja






Uwaga 2.19.

Jeśli jest liczbą naturalną nieparzystą,często używa się symbolu pierwiastka arytmetycznego do oznaczenia
funkcji odwrotnej do funkcji i oznacza się ją krótko ,
przy czym sens tego symbolu dla liczb rzeczywistych ujemnych określa się jak powyżej.


[Edytuj]Funkcja wykładnicza i logarytmiczna
Definicja 2.20


Niech będzie dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą. Funkcję określoną na zbiorze liczb rzeczywistych nazywamy funkcją wykładniczą o podstawie .
Uwaga 2.21.

Jeśli , funkcja wykładnicza jest bijekcją zbioru na przedział . Nie zeruje się w żadnym punkcie swojej dziedziny.
Jeśli , funkcja jest ściśle rosnąca, jeśli zaś , jest ściśle malejąca.

Jeśli , funkcja jest stała.












Definicja 2.22.


Niech będzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią, różną od jedności. Funkcję odwrotną do funkcji nazywamy funkcją logarytmiczną o podstawie i oznaczamy .


Na ogół pomija się indeks w oznaczeniu logarytmu liczby
i pisze się krótko . Zwróćmy jednak uwagę na fakt, że
w zależności od dziedziny nauki czy techniki, symbol ten może
oznaczać logarytmy o różnych podstawach. I tak informatycy na ogół
posługują się tym symbolem, mając na myśli logarytm o podstawie 2,
tzn. . Z kolei w naukach technicznych symbol
oznacza przeważnie logarytm dziesiętny.
Natomiast matematycy posługują się najczęściej logarytmem o
podstawie (do definicji i własności tej
ważnej stałej powrócimy w następnych modułach). Stąd często w
pracach matematycznych symbol oznacza właśnie
logarytm o podstawie . My jednak, aby uniknąć nieporozumień,
logarytm o podstawie będziemy oznaczać osobnym symbolem .
Definicja 2.23.


Symbolem będziemy oznaczać potęgę .




Definicja 2.24.


Logarytmem naturalnym z liczby dodatniej nazywamy liczbę .
Uwaga 2.25.

Jeśli , funkcja logarytmiczna jest bijekcją przedziału na zbiór .
Jeśli , funkcja jest ściśle rosnąca, jeśli zaś , jest ściśle malejąca.

Jedynym miejscem zerowym funkcji logarytmicznej jest punkt .

Jeśli , to logarytm jest dodatni w przedziale i jest ujemny w przedziale . Jeśli zaś , to logarytm jest ujemny w przedziale i jest dodatni w przedziale .


Przypomnijmy jeszcze parę tożsamości, z których często będziemy korzystać.

Uwaga 2.26.

Dla , zachodzą równości


oraz


Dla dodatnich liczb , , prawdziwy jest wzór na zmianę podstawy logarytmu




w szczególności, gdy , mamy równość




Dla dowolnej liczby i dodatnich , zachodzi równość





która w szczególnym przypadku, gdy , ma postać



[Edytuj]Funkcje trygonometryczne i funkcje cyklometryczne
Przypomnijmy kilka własności funkcji trygonometrycznych sinus, cosinus, tangens i cotangens. Żadna z nich nie jest
różnowartościowa w swojej dziedzinie.





Zacieśnienie funkcji do przedziału



Zacieśnienie funkcji do przedziału


Uwaga 2.27.

Funkcja zacieśniona do przedziału jest różnowartościowa, ściśle rosnąca.
Funkcja zacieśniona do przedziału jest różnowartościowa, ściśle malejąca.

Funkcja zacieśniona do przedziału jest różnowartościowa, ściśle rosnąca.

Funkcja zacieśniona do przedziału jest różnowartościowa, ściśle malejąca.






Zacieśnienie funkcji do przedziału



Zacieśnienie funkcji do przedziału

Pamiętamy również, że zachodzi


Twierdzenie 2.28. [jedynka trygonometryczna]


Dla dowolnej liczby rzeczywistej suma kwadratów cosinusa i sinusa jest równa jedności, tzn. .



Definicja 2.29.


Funkcję określoną na przedziale o wartościach w przedziale
,
odwrotną do zacieśnienia funkcji sinus do przedziału
,nazywamy arcusem sinusem
i oznaczamy symbolem .






Rysunek do definicji 2.29.



Rysunek do definicji 2.30.


Definicja 2.30


Funkcję określoną na przedziale o wartościach w przedziale , odwrotną do zacieśnienia funkcji cosinus do przedziału , nazywamy arcusem cosinusem i oznaczamy symbolem .
Definicja 2.31.


Funkcję określoną na przedziale o wartościach w przedziale , odwrotną do zacieśnienia funkcji tangens do przedziału , nazywamy arcusem tangensem i oznaczamy symbolem .
Definicja 2.32.


Funkcję określoną na przedziale o wartościach w przedziale , odwrotną do zacieśnienia funkcji cotangens do przedziału , nazywamy arcusem cotangensem i oznaczamy symbolem .






Rysunek do definicji 2.31.



Rysunek do definicji 2.32.


Funkcje: arcus sinus, arcus cosinus, arcus tangens i arcus cotangens nazywamy funkcjami cyklometrycznymi.

Uwaga 2.33.

Funkcje arcus sinus i arcus tangens są ściśle rosnące.
Funkcje arcus cosinus i arcus cotangens -- ściśle malejące.


Ze wzorów redukcyjnych:
oraz
wynika, że

Uwaga 2.34.

Dla dowolnej liczby zachodzi równość
Dla dowolnej liczby zachodzi równość


[Edytuj]Funkcje hiperboliczne i funkcje area
Określimy teraz cztery funkcje, których nazwy są nieprzypadkowo zbieżne z nazwami funkcji trygonometrycznych.





Sinus hiperboliczny



Cosinus hiperboliczny


Definicja 2.35.


Niech .

Sinusem hiperbolicznym nazywamy funkcję .

Cosinusem hiperbolicznym nazywamy funkcję .

Tangensem hiperbolicznym nazywamy funkcję .

Cotangensem hiperbolicznym nazywamy funkcję .






Tangens hiperboliczny



Cotangens hiperboliczny


Wykażmy wpierw tożsamość, którą przez analogię do znanej tożsamości trygonometrycznej wiążącej wartości funkcji sinus i
cosinus, nazwiemy jedynką hiperboliczną.


Twierdzenie 2.36. [jedynka hiperboliczna]


Dla dowolnej liczby rzeczywistej różnica kwadratów funkcji hiperbolicznych cosinus i sinus jest równa jedności, tzn. zachodzi
równość




Dowód 2.36.


Z definicji funkcji i mamy:


stąd


W podobny sposób - wprost z definicji - można wykazać, że zachodzą następujące tożsamości analogiczne do znanych tożsamości
trygonometrycznych:







Twierdzenie 2.37.


Niech będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Wówczas:







Tożsamości te wykażemy w ramach ćwiczeń do tego modułu.

Uwaga 2.38.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej mamy:



Warto porównać otrzymane wzory z poznanymi w szkole analogicznymi wzorami dla funkcji trygonometrycznych:


Podkreślmy kilka własności funkcji hiperbolicznych.

Uwaga 2.39

Funkcja sinus hiperboliczny jest bijekcją na . Jest nieparzysta, ściśle rosnąca.
Funkcja cosinus hiperboliczny jest określona na i przyjmuje wartości w przedziale . Jest funkcją parzystą. Nie jest różnowartościowa. Jej zacieśnienie do przedziału jest funkcją ściśle rosnącą.
Funkcja tangens hiperboliczny jest bijekcją na przedział . Jest nieparzysta, ściśle rosnąca.
Funkcja cotangens hiperboliczny jest bijekcją zbioru na zbiór . Jest nieparzysta, ściśle malejąca w przedziale i w przedziale .


Określmy funkcje odwrotne do funkcji hiperbolicznych. Nazywamy je funkcjami area.





Rysunek do definicji 2.40.



Rysunek do definicji 2.40.


Definicja 2.40.


Funkcję odwrotną do funkcji sinus hiperboliczny nazywamy area sinusem hiperbolicznym i oznaczamy .

Funkcję odwrotną do zacieśnienia funkcji cosinus hiperboliczny do przedziału nazywamy area cosinusem hiperbolicznym i oznaczamy .

Funkcję odwrotną do funkcji tangens hiperboliczny nazywamy area tangensem hiperbolicznym i oznaczamy .

Funkcję odwrotną do funkcji cotangens hiperboliczny nazywamy area cotangensem hiperbolicznym i oznaczamy .






Rysunek do definicji 2.40.



Rysunek do definicji 2.40.


Zwróćmy uwagę na tożsamości (kilka podobnych wykażemy w ramach ćwiczeń):

Uwaga 2.41.

Prawdziwe są następujące równości:
a) dla
b) dla


Dowód 2.41.


a) Niech . Wówczas dla mamy
, czyli . Z jedynki trygonometrycznej wynika,że


b) Należy powtórzyć powyższe rozumowanie stosując jedynkę hiperboliczną zamiast jedynki trygonometrycznej.


Funkcje area można wyrazić także za pomocą logarytmu naturalnego.


Twierdzenie 2.42


Zachodzą następujące tożsamości:
a) dla
b) dla
c) dla
d) dla



Dowód 2.42.


a) Wyznaczamy zmienną z równania: .Mamy


Stąd , czyli dla
wszystkich

b) Podobnie jak w punkcie a) wyznaczamy zmienną z równania i otrzymujemy , czyli , dla .

c) Z równania dostajemy , czyli


dla .

d) Pamiętając, że , podstawiamy w poprzedniej tożsamości w miejsce zmiennej i otrzymujemy:


dla


W ramach ćwiczeń wykażemy zaskakującą - na pierwszy rzut oka - uwagę.



Wielomian Czebyszewa

Uwaga 2.43.

Dla dowolnej liczby funkcja


jest wielomianem zmiennej .

Dla dowolnej liczby funkcja


jest wielomianem zmiennej .

Dla dowolnej liczby funkcje oraz są zacieśnieniami -- odpowiednio do przedziałów oraz tego samego wielomianu zmiennej , to znaczy dla dowolnej liczby istnieje funkcja wielomianowa

taka, że zachodzą równości


Definicja 2.44.


Wielomian , o którym mowa w powyższej uwadze, którego zacieśnieniem do przedziału jest funkcja
, nazywamy wielomianem Czebyszewa stopnia , .





Źródło: "http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_1/Wyk%C5%82ad_2:_Funkcje_elementarne"







if (window.isMSIE55) fixalpha();

Nawigacja


Strona główna
Przedmioty
Uczelnie
O nas
MIMINF
MIMMAT





Szukaj



 



Napisz do nas

[e-mail]






Tę stronę ostatnio zmodyfikowano o 14:07, 18 wrz 2006; Tę stronę obejrzano 23692 razy; O Wikipedii Disclaimers





_uacct = "UA-321791-4";
urchinTracker();