Zastosowanie matematyki w ekonomii i zarządzaniu
3. Funkcje elementarne
ZADANIA:
3.1. Rozwią\
równania:
a) x - 3 x + 2 + 4 = 0 ,
e) 92x = 3x+1,
b) x + 2 + 2x - 6 = 3 x ,
f) 32x+1 - 3�" 3x-1 + 3 = 5 ,
3
c) 129 + 8x - x2 +15 = x , g) 8x = 4-3x+2 .
33x+1
d) = 1,
9-3x-2
3.2. Oblicz:
8
d) log2 + log4 9 ,
a) log2 8 ,
3
3
e) 2log 3 - 4log2 3,
b) 3log 10 ,
1
4
c) 42 log4 8 ,
f) 3�"1000,5(log 8-log 2) .
3.3. Rozwią\
równania:
a) logx 81 = 2 ,
b) log5 x = 2 ,
c) logx 16 = -2 ,
1
d) logx = 3 ,
27
e) 2(log3 2 + log3 x) = log3 4 ,
2x +1
f) log2 = 3,
1- x
g) log3 (x +1) - log3 2x = 2 ,
h) log2 (3x + 2) + log2 (2x + 3) = 1,
i) log2 x - 4 + log2 2x - 4 +1 = log2 9 ,
j) log3 x3 = 6 ,
4
k) 4log x = 8 ,
3
l) xlog 27 = 8 ,
2
m) xlog 16 +1 = 0 ,
n) 32x-2 + 9x-1 = 27 .
3.4. Wyznacz funkcje odwrotne do danych:
x2 -1 5
a) y = 4x + 2 , b) y = 4x + 2 , c) y = , d) y = .
2 x2 + 3
3.5. Dane są funkcje odwrotne. Znajdz
funkcje wyjściowe:
5x +1 1 x - 2
-1 -1 -1 -1
a) f (x) = , b) f (x) = 9x2 - 6x + 4 , c) f (x) = , d) f (x) = .
x 4
x
3.6. Oblicz iloraz ró\
nicowy oraz określ monotoniczność funkcji dla x " x0 , x1 , mając dane:
a) y = 3x2 - 2 dla x0 = 2, x1 = 3,
2x -1
b) y = dla x0 = 2, "x = 5,
x + 3
c) y = 3x +10 dla x0 = -3, x1 = -2 .
ZASTOSOWANIA W EKONOMII:
3.7. Koszty całkowite przedsiębiorstwa dane są funkcją TC = x3 - 2x2 + 6x + 50 . Zapisz
funkcje:
a) kosztów zmiennych,
b) kosztów stałych,
c) przeciętnych kosztów całkowitych,
d) przeciętnych kosztów stałych,
e) przeciętnych kosztów zmiennych.
3.8. Krzywa mo\
liwości produkcyjnych przedsiębiorstwa dana jest funkcją y = -x + 5.
Określ monotoniczność funkcji w przedziale, w którym funkcja ta ma sens ekonomiczny.
Oblicz iloraz ró\
nicowy dla tego przedziału oraz podaj jego interpretację ekonomiczną.
3.9. Krzywa mo\
liwości produkcyjnych przedsiębiorstwa dana jest funkcją y = -2x2 +18 .
a) Określ monotoniczność funkcji w przedziale, w którym funkcja ta ma sens.
b) Oblicz iloraz ró\
nicowy dla zmiany produkcji dobra x z 2 do 3 jednostek oraz podaj jego
interpretację ekonomiczną.
c) Oblicz iloraz ró\
nicowy dla zmiany produkcji dobra y z 10 do 5,5 jednostek oraz podaj
jego interpretację ekonomiczną.
1
3.10. Krzywa mo\
liwości produkcyjnych przedsiębiorstwa dana jest funkcją y = + 0,5.
x +1
Dla x " 1,5 wykonaj następujące polecenia:
a) Określ monotoniczność funkcji w podanym przedziale.
b) Oblicz iloraz ró\
nicowy dla zmiany produkcji dobra x z 2 do 5 jednostek oraz podaj jego
interpretację ekonomiczną.
c) Oblicz iloraz ró\
nicowy dla zmiany produkcji dobra y z 0,75 do 1 jednostki oraz podaj jego
interpretację ekonomiczną.
3.11. Oblicz i zinterpretuj współczynnik elastyczności cenowej popytu dla zmiany ceny z
poziomu 10 zł do 12 zł, je\
eli funkcja popytu dana jest równaniem Q(P) = 28 - 2P .
3.12. Oblicz i zinterpretuj współczynnik elastyczności cenowej poda\
y opisanej funkcją
Q(P) = 0,5P -1 dla zmiany ceny z poziomu 5 zł do 7 zł.
3.13. Oblicz, po ilu latach kapitał wpłacony na lokatę w banku się podwoi, je\
eli wpłacono
kwotę 5000 zł, a roczne oprocentowanie lokaty wynosi 6% (przy zało\
eniu rocznej
kapitalizacji odsetek).
3.14. Oblicz, jakie jest oprocentowanie lokaty, je\
eli przy ciągłej kapitalizacji odsetek
wpłacona kwota podwoi się po 5 latach.
3.15. PKB (PPP) per capita Polski wynosi 17 tys. USD, PKB (PPP) per capita Niemiec to 34
tys. USD. Oblicz, jaka musi być stopa wzrostu gospodarczego w Polsce, aby w ciągu 20 lat
dogonić Niemcy, przy zało\
eniu, \
e w Niemczech w tym czasie będzie stałe tempo wzrostu
gospodarczego na poziomie:
a) 0% rocznie (stałe PKB),
b) 1% rocznie,
c) 2% rocznie.
3.16. PKB per capita w Polsce to 12 tys. USD. Zakładając, \
e tempo wzrostu gospodarczego
w Polsce utrzyma się na stałym poziomie 5% rocznie, oblicz, w ciągu ilu lat Polska osiągnie
średni poziom PKP per capita w Unii Europejskiej  27 tys. USD.
WZORY:
y
Logarytm: logb x = y �! b = x, gdzie b > 0,b `" 1, x > 0 .
Wybrane reguły dla logarytmów:
logb (u �" v) = logb u + logb v ,
u
logb �ł �ł = logb u - logb v ,
�ł �ł
v
�ł łł
logb uą = ą logb u ,
b
blog x = x ,
1
logb c = ,
logc b
log c
p
logb c = .
log b
p
logb u = (logb c) �" (logc u) .
y1 - y0
Iloraz ró\
nicowy u = = tgą .
x1 - x0
-
"Q P
Elastyczność cenowa popytu: Edp = �" .
-
"P
Q
-
"Q P
Elastyczność cenowa poda\
y: Esp = �" .
-
"P
Q