Ruch obrotowy
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Ruch jednostajny po okręgu
y
rð
v
W ruchu jednostajnym po okręgu prędkość punktu materialnego jest stała co do wartości,
R
ale zmienia się jej kierunek. Kierunek prędkości jest zawsze styczny do okręgu będącego
torem. Wartość prędkości jest stosunkiem drogi do czasu potrzebnego na pokonanie tej
jð
drogi. PoÅ‚ożenie punktu wygodnie jest okreÅ›lać poprzez zakreÅ›lony przez niego kÄ…t jð.
x
Dðjð
wð =ð
Wprowadza siÄ™ też pojÄ™cie prÄ™dkoÅ›ci kÄ…towej wð jako stosunek kÄ…ta zakreÅ›lonego w
czasie t do tego czasu. Prędkość kątowa jest więc kątem zakreślonym w jednostce
Dðt
czasu. Jednostką prędkości kątowej jest radian na sekundę.
2pð
wð =ð
T
Gdy prędkość kątowa jest stała to można wyrazić ją poprzez tzw. okres obrotu T, czyli
czas potrzebny na wykonanie peÅ‚nego obrotu, któremu odpowiada droga 2pðr.
1
=ð
Liczbę obrotów wykonanych w ciągu jednostki czasu nazywamy częstotliwością. Jest
T
ona odwrotnością okresu T. Jednostką częstotliwości jest herc czyli odwrotność sekundy.
wð =ð 2pð
Bryła sztywna
Opis ruchu ciała jako ruchu punktu materialnego, w którym pomija się rozmiary ciał, może być zbytnim
uproszczeniem. Przykładem jest ruch obrotowy Ziemi, bądz
odkształcenie ciała wykonanego z elastycznego
materiału. Ziemię w ruchu dookoła Słońca można w przybliżeniu traktować jak punkt materialny, ale gdy
rozważamy obrót Ziemi dookoła jej osi, takie podejście traci sens. Wprowadza się pojęcie bryły sztywnej.
Bryłą sztywną nazywamy takie ciało, którego części pozostają w niezmiennej wzajemnej odległości,
niezależnie od sił działających na to ciało.
Jest to wciąż uproszczenie, ale stosowane gdy, można zaniedbać odkształcenia ciała. Bryła sztywna nie
odkształca się, ale może się obracać.
Równowaga bryły sztywnej
Warunkiem równowagi punktu materialnego jest równoważenie się sił działających na niego.
rð
SðFi =ð 0
W przypadku bryły sztywnej jest to warunek niewystarczający. Dwie równe i przeciwnie skierowane siły działające na
bryłę sztywną równoważą się. Ale gdy zaczepione są w różnych punktach ciała to może się ono pod ich wpływem
obracać.
F
-F
Wprowadza się więc dodatkowe pojęcie: moment siły.
Moment siły
Momentem sił nazywamy iloczyn wektorowy ramienia i wektora siły.
F
r
M
Äð
def
rð rð
rð
M =ð r ´ðF
moment siły:
Moment siły określa się względem wybranego punktu. Ramieniem siły względem określonego punktu
nazywamy wektor o początku w tym punkcie i końcu w punkcie przyłożenia siły.
Wymiarem momentu siły jest Nm (niuton razy metr).
W szczególnym przypadku gdy siła jest prostopadła do ramienia to:
M =ð rF
Moment siły jest wektorem o kierunku prostopadłym do kierunku siły i promienia wodzącego.
Jeśli na bryłę działa więcej niż jeden moment siły to wypadkowy moment jest
F
r1
wektorową sumą momentów składowych. Warunkiem równowagi bryły
sztywnej jest równoważenie się sił oraz momentów sił.
M
Äð
-F
r2
W pokazanym przykładzie (tzw. para sił) siły odejmują się mając przeciwne
kierunki i ciało nie przemieszcza się w przestrzeni. Ale odpowiadające im
momenty sił dodają się powodując obrót ciała.
Przykład  dz
wignia dwustronna
F
r1
r2
F  siła podparcia; nie wpływa na
obrót dz
wigni
F2
F1
Warunek równowagi ze względu na obrót względem punktu
podparcia dz
wigni dwustronnej:
r1F1 =ð r2F2
rð
A ogólnie:
SðMi =ð 0
Ruch bryły sztywnej
postępowy
(translacja)
ruch
obrotowy
(rotacja)
Przykład: toczenie bez poślizgu
Prędkości liniowe punktów
0
Warunek na toczenie bez poślizgu: prędkość liniowa punktu styczności z podłożem O jest równa zeru.
Opis ruchu bryły sztywnej
Ruch bryły sztywnej względem dowolnego układu odniesienia może być;
a. ruchem postępowym (bez obrotu)
b. ruchem obrotowym względem ustalonej osi obrotu
c. w ogólności ruch może być złożeniem ruchu postępowego i obrotowego, a oś obrotu może w trakcie ruchu zmieniać się.
Ruch postępowy opisujemy wykorzystując pojęcia: wektora wodzącego, prędkości chwilowej i przyspieszenia.
Natomiast ruch obrotowy opisujemy za pomocÄ… pojęć: kÄ…ta obrotu jð i prÄ™dkoÅ›ci kÄ…towej wð.
rð
wð
Zachodzi zwiÄ…zek:
rð rð
rð
R
rð rð
rð
v =ð wð ´ðr
v =ð wð ´ðr
rð
r
0
Przykład
Opis ruchu nie jest jednoznaczny, zależy od układu odniesienia względem którego go opisujemy. Również
rozłożenie ruchu bryły sztywnej na ruch postępowy i obrotowy może być różne. Przykładowo toczenie się walca po
powierzchni bez poślizgu można rozpatrzeć na trzy sposoby:
y
a. W układzie związanym z osią obrotu mamy do czynienia z jednostajnym
(wð = const) ruchem obrotowym.
x
y
b. W układzie związanym z podłożem mamy do czynienia z jednostajnym
(wð = const) ruchem obrotowym oraz przemieszczaniem siÄ™ osi obrotu
równolegle do podłoża z prędkością
v = wðR (R  promieÅ„ walca)
x
c. Względem układu związanego z podłożem można opisać powyższy ruch
y
również jako wyłącznie obrotowy. Mamy wówczas obrót dookoła chwilowej
osi obrotu pokrywającej się z aktualnym odcinkiem styczności walca z
podłożem:
x
II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
Punkt materialny porusza się po okręgu pod wpływem siły F w każdej chwili stycznej do toru. Taki ruch możemy
opisać jako ruch postępowy albo jako ruch obrotowy.
F =ð m ×ða
Druga zasada dynamiki dla ruchu postępowego: (1)
Pod wpływem siły ciało porusza się z przyspieszeniem liniowym a. Związek między przyspieszeniem liniowym i kątowym:
F
a =ð eð ×ðr
v
Po wstawieniu do wzoru (1) i pomnożeniu obu stron równania przez r otrzymujemy:
r
2
(2)
Fr =ð mr ×ðeð
przyspieszenie kÄ…towe
moment siły
moment bezwładności
Otrzymaliśmy zapis drugiej zasady ruchu obrotowego: przyspieszenie kątowe jest wprost proporcjonalne do momentu siły.
Miarą bezwładności w ruchu obrotowym jest moment bezwładności.
2
Moment bezwładności dla punku materialnego , gdzie r jest odległością od osi obrotu.
I =ð mr
Moment bezwładności bryły sztywnej jest sumą momentów bezwładności poszczególnych punktów materialnych, z jakich
składa się bryła.
II zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego bryły sztywnej możemy zapisać:
rð
rð
M =ð I ×ðeð
Moment bezwładności
Tak jak w ruchu postępowym bezwładność bryły można scharakteryzować masą, tak w ruchu obrotowym
względem określonej osi bryłę charakteryzuje się wielkością zwaną momentem bezwładności (względem
określonej osi obrotu) .
oÅ› obrotu
Dðmi
Bryłę dzielimy na małe części o masie (tak małe, że
ri
można je uważać za punkty materialne).
Dðmi
def
I =ð ri 2
gdzie ri to odlegÅ‚ość Dðmi od osi obrotu.
Moment bezwładności :
åðDðmi
i
Im większy moment bezwładności tym trudniej zmienić ruch obrotowy bryły (zmienić jej prędkość kątową).
Moment bezwładności jest tym większy, im dalej od osi jest rozłożona masa ciała.
Dane ciało ma jedną masę, ale może mieć wiele momentów bezwładności  moment bezwładności zależy od
położenia osi obrotu, względem której ciało się obraca.
Momenty bezwładności
2mR2
I =ð
kula:
5
mR2
tarcza:
I =ð
2
mR2
tarcza:
I =ð
4
ml2
pręt:
I =ð
12
Twierdzenie Steinera
I =ð Ic +ð mR2
Jeżeli znany jest moment bezwładności Ic względem osi przechodzącej przez środek masy bryły sztywnej to
można znalez
ć moment bezwładności tej bryły względem dowolnej, równoległej osi leżącej w odległości R.
O
A
R
środek masy
O
A
Ic to moment bezwładności względem osi OO przechodzącej przez środek masy,
I - moment bezwładności względem osi AA
Energia kinetyczna ciała sztywnego
W ruchu postępowym bryły energia kinetyczna wyraża się podobnie jak energia kinetyczna punktu materialnego.
2
1
Ek =ð mvc
2
Gdzie m to masa bryły a vc to prędkość ruchu postępowego (prędkość środka masy).
W przypadku ruchu obrotowego różne punkty bryły poruszają się z różnymi prędkościami liniowymi. Energię
kinetyczną należy więc wyrazić przez prędkość kątową jednakową dla wszystkich punktów:
1
Ek =ð Iwð2
2
W ogólności energia kinetyczna bryły jest sumą energii związanej z ruchem postępowym i ruchem
obrotowym,
2
1 1
Ek =ð Icwð2 +ð mvc
2 2
vc to prędkość środka masy a Ic to moment bezwładności względem osi obrotu.
Moment pędu
W dynamice punktu materialnego ważną rolę odgrywa zasada zachowania pędu. W opisie ruchu obrotowego można
zdefiniować podobną wielkość zwaną momentem pędu, która wiążę się z równie ważną zasadą zachowania.
Momentem pędu punktu materialnego względem określonego punktu w przestrzeni nazywamy wektor:
rðdef
rð rð
J =ð r ´ð p
Momentem pędu bryły sztywnej nazwiemy sumę momentów pędu poszczególnych
punktów składających się na bryłę.
Zasada zachowania momentu pędu:
jeśli na ciało nie działają z zewnątrz żadne momenty sił, lub gdy się one równoważą,
to moment pędu ciała jest niezmienny w czasie.
rð rð rð
zewn
M =ð =ð 0 ®ð J =ð const
åðM
i
i
przykłady
Moment pędu punktu materialnego poruszającego Moment pędu punktu materialnego poruszającego
się ruchem prostoliniowym względem osi O się po okręgu.
prostopadłej do ekranu.
d
OÄð
rð
rð rð
J =ð r ´ð p J
J
p
Äð r
J =ð mvr sin að
r
=ð mvd
R
að
p
J = mvR
Moment pędu jest prostopadły do pędu i promienia wodzącego punktu.
Kierunek momentu pędu jest zgodny z kierunkiem osi obrotu.
Moment pędu
Jeżeli mamy do czynienia z obrotem dookoła ustalonej osi to moment pędu bryły wyraża się:
rð
rð
J =ð Iwð
Wynika to z tego, że mimo, że choć różne punkty bryły sztywnej mają różną prędkością to wszystkie one
charakteryzują się tą samą prędkością kątową. Zasadę zachowania momentu pędu można więc wyrazić jako:
rð
Iwð =ð const
Przykładowo jeśli zmniejszy się moment bezwładności obiektu to musi on obracać
się z większą prędkością kątową. Ponieważ jest to prawo wektorowe, to jeśli suma
momentów sił jest równa zero, oś obrotu ma niezmienną orientację w przestrzeni.
Porównanie pojęć opisujących ruch postępowy i obrotowy.
Ruch postępowy Ruch obrotowy
I =ð ri 2
Masa m Moment bezwładności
åðDðmi
i
rð rð rð
rð
F M =ð r ´ðF
Siła Moment siły
Dðjð
DðS
Prędkość kątowa
PrÄ™dkość liniowa wð =ð , Dðt ®ð 0
v =ð , Dðt ®ð 0
Dðt
rð rð
rð
Dðt
v =ð wð ´ðr
Dðv
Dðwð
Przyspieszenie liniowe Przyspieszenie kÄ…towe
a =ð , Dðt ®ð 0
eð =ð , Dðt ®ð 0
Dðt
Dðt
rð
rð
rð rð
p
PÄ™d Moment pÄ™du J =ð r ´ð p
II zasada dynamiki
rð rð
rð
rð
F =ð m ×ða M =ð I ×ðeð
Zasada zachowania momentu pędu:
Zasada zachowania pędu:
rð rðzewn rð rð rð
rð
zewn
F =ð M =ð
åðF =ð 0 ®ð p =ð const åðM =ð 0 ®ð J =ð const
i i
i i
Energia kinetyczna
1
1
Ek =ð Iwð2
Ek =ð mv2
2 2
Zadanie 1.
Przekładnia rowerowa połączona jest z trybem tylnego koła za pomocą łańcucha. Koło zębate przekładni ma 54
zęby a koło trybu tylnego koła 9 zębów. Promień koła wynosi r = 36 cm a przekładnia obraca się z częstotliwością
= 5 1/s. Z jaką prędkością jedzie rower.
ìðr =ð 36 cm
ïð
ïð =ð 0,5 1
ïð
Dane:
s
íð
ïðn1 =ð 54
ïð
ïðn2 =ð 18
îð
Szukane: v = ?
RozwiÄ…zanie:
n1
óð
CzÄ™stotliwość obrotu trybu tylnego koÅ‚a wynosi: =ð
n2
1
T =ð
Okres obrotu trybu wraz z tylnym kołem wynosi :
óð

2pðr 2pðrn1
óð
PrÄ™dkość roweru jest równa prÄ™dkoÅ›ci liniowej punktu na obwodzie koÅ‚a: v =ð =ð 2pðr =ð
(warunek na ruch bez poślizgu) T n2
Odpowiedz
: v = 3,4 m/s = 12,2 km/h
Zadanie 2
Oblicz przyspieszenie, z jakim stacza siÄ™ po równi pochyÅ‚ej o kÄ…cie nachylenia að pierÅ›cieÅ„ o promieniu r i masie m.
Przyjmij, że grubość pierścienia jest mała w porównaniu z r. Przyjmij też, że nie ma poślizgu ani rozpraszania energii.
RozwiÄ…zanie
Z zasady zachowania energii poczÄ…tkowa energia potencjalna mgh zamienia siÄ™ podczas staczania na energiÄ™
kinetyczną ruchu postępowego oraz energię kinetyczną ruchu obrotowego wokół osi przechodzącej przez środek
masy.
2
mv Iwð2
mgh =ð +ð
2 2
Moment bezwładności pierścienia względem osi przechodzącej przez środek i prostopadłej do płaszczyzny
pierścienia wynosi:
I =ð mr2
wðr =ðv
Mamy też związki:
h =ð l sin að
2
gl sin að =ðv
StÄ…d:
v =ð at
2
at
s =ð
g sin að
2
W ruchu jednostajnie przyspieszonym:
a =ð
Ostatecznie:
2
2
v =ð 2as
Jest to dwa razy mniej niż w przypadku ześlizgiwania się bez tarcia. Wówczas zeruje się bowiem energia
kinetyczna ruchu obrotowego.
Zadanie 3
Jaki musi być współczynnik tarcia, aby sześcienny klocek o boku a pod działaniem siły przyłożonej do górnej
krawędzi mógł się przesuwać bez przewracania?
F
Aby ruch mógł się rozpocząć siła F musi być większa od siły tarcia T.
a
Maksymalna wartość współczynnika tarcia spełnia warunek:
F
F =ð fmaxQ Þð fmax =ð
(1)
Q
a
Rozważmy teraz momenty sił względem osi O przechodzącej przez
dolną krawędz
sześcianu. Moment siły tarcia równy jest zeru. Q
T
Moment siły F próbuje przewrócić sześcian, moment siły ciężkości
Q przeciwdziała temu.
O
a
MQ =ð Q
MF =ð Fa Moment siÅ‚y Q:
Moment siły F:
2
Aby szeÅ›cian nie przewróciÅ‚ siÄ™ musi zachodzić nierówność: MF <ð MQ
Qa Q
Fa <ð Þð F <ð
2 2
Do nierówności wstawiamy wzór (1) na siłę F i otrzymujemy:
Q 1
fmaxQ <ð Þð fmax <ð
2 2
Odp.: współczynnik tarcia musi być mniejszy od ½.
Zadanie 4
Tarcza obracajÄ…ca siÄ™ swobodnie wokół pionowej osi ma moment bezwÅ‚adnoÅ›ci I = 2 kg·m2. Na brzeg tarczy
wskakuje żaba o masie m = 100 g. Powoduje to zmniejszenie prędkości kątowej n = 1,2 raza. Jaki jest promień
tarczy? Rozmiary żaby można pominąć.
Z zasady zachowania momentu pędu wynika, że początkowy moment pędu układu jest równy końcowemu
momentowi pędu układu:
rð rð
(1)
J0 =ð Jk
rð
rð
J0 =ð Iwð0
Początkowy moment pędu tarczy jest równy:
rð
rð
KoÅ„cowy moment pÄ™du tarczy z żabÄ… jest równy: Jk =ð (ðI +ðIż )ðwðk
Iż =ð mR2
Moment bezwładności żaby na brzegu tarczy: R  szukany promień
wð0 =ð nwðk
Zależność między prędkością kątową początkową i końcową:
nIwðk =ð (ðI +ð mR2)ðwðk
Do równania (1) wstawiamy powyższe równości:
Po przekształceniu otrzymujemy wzór na promień tarczy:
I (ðn -ð1)ð 2(1,2 -ð1)
×ð
R =ð =ð =ð 2[ðm]ð
m 0,1
Odp.: Promień tarczy jest równy 2 m.
Zadanie 5
Na stok o poziomym wierzchołku wtacza się bez poślizgu kula, która następnie spada na ziemię. Wysokość stoku
wynosi h a prędkość początkowa kuli v. Oblicz z jaką prędkością liniową kula spada na ziemię.
Energia kinetyczna poczÄ…tkowa kuli:
2
mv Iwð2
rð
E =ð +ð
v h
0
v'
2 2
rð
rð
2
v
h v
Moment bezwładności kuli:
k
I =ð mr2
5
v
PrÄ™dkość kÄ…towa w ruchu bez poÅ›lizgu: wð =ð
r
2 2 2
mv 2 mr v 7
Czyli:
E =ð +ð =ð mv2
Energia potencjalna:
0
2
2 5 2r 10
7 7 10
2 2 2 2
Na szczycie stoku energia kinetyczna kuli bÄ™dzie wynosić: mv -ð mgh =ð mv' Þð v' =ðv -ð gh
10 10 7
v  prędkość pozioma kuli, która nie ulegnie zmianie w czasie spadania na ziemię
W czasie lotu prędkość kątowa kuli jest niezależna od prędkości liniowej środka masy. Prędkość kątowa nie ulega
zmianie, a prędkość liniowa rośnie.
v =ð 2gh
Pionowa składowa prędkości końcowej w rzucie poziomym wynosi:
h
Prędkość końcowa jest sumą wektorów prędkości poziomej i prędkości pionowej:
10 4
2 2
v =ð v -ð gh +ð 2gh =ð v +ð gh
k
7 7
Zadanie 6
Dwa ciężarki o masach m = 1 kg i M = 4 kg połączone są nicią przerzuconą przez bloczek w kształcie walca. Masa
walca wynosi M = 2 kg. Zakładamy, ze nić nie ślizga się po powierzchni walca, opory w osi walca pomijamy.
Oblicz przyspieszenie ciężarków i siłę naciągu nici, na których wiszą ciężarki: F1 i F2.
Mw
Na każdy z ciężarków działają dwie siły: ciężkości i naciągu nici.
F1 F2
Z drugiej zasady dynamiki :
(1)
ma =ð F1 -ð mg
F2
F1
(2) M
Ma =ð Mg -ðF2
m
gdzie a to przyspieszenie ciężarków (założyliśmy, że ciężarek M porusza się w dół).
Na bloczek działają dwie siły F1 i F2.
mg
(3)
Z drugiej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego mamy:
F2R -ðF1R =ð I ×ðeð
Mg
1
2
gdzie eð to przyspieszenie kÄ…towe bloczka, a to moment bezwÅ‚adnoÅ›ci
I =ð MwR
2
walca.
a
eð =ð
Jeśli nić nie ślizga się po powierzchni walca, to:
R
Wstawiając tę wartość do równania (3) otrzymujemy układ trzech równań z trzema
niewiadomymi: a, F1 i F2.
F1 =ð ma +ð mg
WyznaczajÄ…c z (1) i (2) F1 i F2:
F2 =ð Mg -ðMa
1
i wstawiajÄ…c do (3) otrzymujemy:
MgR -ð maR -ð maR -ð mgR =ð MwRa
2
StÄ…d:
)ð
2g(ðM -ð m ) m
a =ð =ð 5
2
Mw +ð 2M +ð 2m s
mg +ð 4M ) Mg +ð 4m )
(Mw (Mw
F1 =ð =ð 15N F2 =ð =ð 20N
Mw +ð 2M +ð 2m Mw +ð 2M +ð 2m
Zadanie 7
Na szpulkę zbudowaną z trzech walców o masach m oraz promieniach r i R nawinięto nitkę. Za koniec nitki ciągnie
pozioma siła F. Jakie jest przyśpieszenie liniowe środka masy szpulki, która toczy się bez poślizgu?
m m F
m
r
R
M
Z II zasady dynamiki: M =ð eðI Þð eð =ð
I
M
Przyspieszenie liniowe środka masy:
a =ð eðR =ð R
I
Na szpulkę działa moment siły względem chwilowej osi obrotu, która znajduje się w punkcie styku szpulki z
podłożem:
M =ð F +ð r )
(R
Moment bezwładności I to moment bezwładności względem chwilowej osi obrotu (czerwona linia przerywana).
Najpierw obliczamy moment bezwładności szpulki względem osi symetrii:
2 2
1 m(ð2R +ð r )ð
2
I' =ð (ðmR2 +ð mr +ð mR2)ð=ð
2 2
Korzystając z twierdzenia Steinera obliczamy moment bezwładności I:
2 2
m(ð2R +ð r )ð+ð 3mR2 =ð m
2 2
I =ð (ð8R +ð r )ð
2 2
Ostatecznie przyspieszenie liniowe środka masy:
2FR +ð r )
(R
a =ð
2 2
m(ð8R +ð r )ð
Zadania do samodzielnego rozwiÄ…zania
1. PrzyjmujÄ…c, że orbitÄ… Ziemi w jej ruchu dookoÅ‚a SÅ‚oÅ„ca jest okrÄ…g o promieniu R = 1,5 ×ð 1011 m oblicz liniowÄ…
prędkość Ziemi.
Odp. prędkość Ziemi wynosi 30 km/s
2. Oblicz prędkość liniową punktu na równiku ziemskim podczas dobowego ruchu obrotowego wokół własnej osi.
Promień Ziemi przyjmij jako R = 6370 km.
Odp. prędkość punktu na równiku wynosi 463 m/s
2. Oblicz moment bezwładności hantli składającej się z cienkiego, nieważkiego pręta o długości d i z dwóch kul o
masach m i promieniach r względem obu osi symetrii układu.
4 14 1
2 2 2
I1 =ð mr I2 =ð mr +ð md +ð 2mdr
Odp.
5 5 2
2. Jednorodna kula o masie m i momencie bezwładności I toczy się bez poślizgu z prędkością v. Oblicz moment
pędu kuli względem jej środka.
2mv 5I
Odp.
L =ð
5 2m
5. Dwa krążki o momentach bezwładności I1 i I2 obracają się wokół wspólnej, pionowej osi z prędkościami kątowymi
wð1 i wð2. W pewnej chwili górny krążek spada na dolny i przylepia siÄ™ do niego. Z jakÄ… prÄ™dkoÅ›ciÄ… kÄ…towÄ… obraca
się powstały układ? O ile zmalała energia kinetyczna układu?
2 2 2
I1wð1 +ð I2wð2 I1wð1 I2wð2 (ðI1wð1 +ð I2wð2)ð
Odp.
wð =ð DðEk =ð +ð -ð
I1 +ð I2 2 2 2(ðI1 +ð I2)ð
6. Jednorodny pręt o długości a i masie m zawieszono za końce poziomo na dwóch pionowych sznurkach. Do pręta
przyczepiono ciężar 2m w jednej czwartej długości pręta. Znalez
ć siłę naciągu każdego ze sznurków.
Odp.: F1 = 2mg, F2 = mg
7. Oblicz czas staczania siÄ™ kuli i walca z równi pochyÅ‚ej o dÅ‚ugoÅ›ci l i kÄ…cie nachylenia að, jeÅ›li oba ciaÅ‚a puszczono
z równi z zerową prędkością początkową.
2 3l
10l
twalca =ð
Odp.: tkuli =ð
3 g sin að
7g sin að
8. Na bloczku w kształcie pierścienia o masie MW = 2 kg zawieszono nić obciążoną na końcach ciężarkami o
masach m = 3 kg i M = 5 kg. Oblicz przyspieszanie klocków. Przyjmij, że ruch odbywa się bez oporów, a nić nie
ślizga się po pierścieniu. Odp. Przyspieszenie wynosi 2km/s2.
9. Z równi pochyłej o wysokości h = 7 m stacza się bez poślizgu kula o promieniu r = 10 cm. W chwili początkowej
prędkość kuli była równa 0. Oblicz prędkość liniową środka masy kuli oraz prędkość kątową na dole równi.
Odp. v = 10 m/s; É = 100 rad/s.
10.Tarcza obracajÄ…ca siÄ™ swobodnie wokół pionowej osi ma moment bezwÅ‚adnoÅ›ci I = 2520 kg·m2. CzÅ‚owiek o
masie m = 70 kg przeszedł ze środka tarczy do jej brzegu. Powoduje to zmniejszenie prędkości kątowej n = 2
razy. Jaki jest promień tarczy? Rozmiary człowieka można pominąć.
Odp. Promień tarczy wynosi 6 m.
11.Na szpulę w kształcie walca o promieniu R i masie m nawinięta jest nić. Szpula może się obrać wokół osi, jak
pokazano na rysunku. Do nici przyłożono siłę F. Oblicz przyspieszenie kątowe walca.
2F
Odp.: eð =ð
mR
F
12.W jednorodną tarczę o momencie bezwładności I, mogącą obracać się wokół pionowej osi przechodzącej przez
jej środek, wbija się kula o masie m w odległości x od osi obrotu. Tor lotu kuli jest prostopadły do powierzchni
tarczy, a prędkość kuli wynosi v. z jaką prędkością zacznie wirować tarcza?
mxv
Odp.: wð =ð
I +ð mx2
v
m
x