IMIR 5 Obroty I


Podstawy fizyki  sezon 1
V. Ruch obrotowy 1 (!)
Agnieszka Obłąkowska-Mucha
WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek,
D11, pok. 111
amucha@agh.edu.pl
http://home.agh.edu.pl/~amucha
Kinematyka ruchu po okręgu
% Ruch punktu P po okręgu jest złożeniem ruchu w dwóch kierunkach:
y
5e 5a = 5E cos 5
5` 5c
5 = [5_5N5Q]
5f 5a = 5E sin 5
5E
5C(5e, 5f)
% Ruch jednostajny po okręgu  w pewnym
R
s
przedziale czasu t, punkt przebywa ten sam łuk
5
(ten sam kąt)
Prędkość kątowa jest stała:
x
5Q5 1
5 =
5Q5a 5`
5e 5a = 5E cos 55a
5Q 5` 1 5Q5` 1
5f 5a = 5E sin 55a
5 = = = 5c
5Q5a 5E 5E 5Q5a 5E
5c5e 5a = -5E5 sin 55a
zależność pomiedzy prędkością
5c5f 5a = 5E 5 5P5\5` 55a
kątową a liniową
2 A.Obłąkowska-Mucha
Ruch jednostajny po okręgu
% Prędkość liniowa 5c jest wektorem, czyli prędkość
kątowa 5 też jest wektorem: 5 = 5N 5ؓ
% Parametry ruchu jednostajnego po okręgu:
25
" Okres 5G = [5`],
5
1
5؂5
" częstotliwość 5S = [5;5g]
5G
% Przyspieszenie dośrodkowe  związane ze zmianą kierunku wektora 5c
5Q5c5e
5N5e 5a = = -5E52 cos 55a = -5E 52 5e(5a)
5Q5a
5Q5c5f
Zapamietajmy- jeśli
5N5f 5a = = 5E 52 5`5V5[ 55a = - R 52 y(t)
wektor prędkości jest
5Q5a
prostopadły do
promienia  mamy do
czyli: 5؂5 = -5y 5N5 5ؓ
czynienia z ruchem
przyspieszenie dośrodkowe skierowane
obrotowym względem
jest przeciwnie do wektora r pewnego punktu
3 A.Obłąkowska-Mucha
Ruch jednostajnie zmienny po okręgu
% Punkt porusza się ruchem zmiennym, gdy w tych samych przedziałach
czasu przebywa różne odcinki (nieformalna def)
% W ruchu po okręgu oznacza to, że 5 = 5(5a) `" 5P5\5[5`5a
% Liczymy zatem przyspieszenie kątowe, jako pochodną prędkości kątowej po
czasie (def):
55N 555K
5: = =
55ؕ 55ؕ5
I korzystamy z analogii do wzorów z kinematyki ruchu prostoliniowego:
r. prostoliniowy r. po okręgu
5
5
droga
5ؙ 5ؕ = 5ؙ5 + 55 5ؕ + 5؂5ؕ5 5K 5ؕ = 5K5 + 5N5 5ؕ + 5:5ؕ5
5
5
prędkość
5 5ؕ = 55 + 5؂5ؕ 5N 5ؕ = 5N5 + 5:5ؕ
przyspieszenie
5؂ 5:
4 A.Obłąkowska-Mucha
Przyspieszenia w ruchu po okręgu
% W ruchu po okręgu określiliśmy dotychczas przyspieszenia:
" dośrodkowe (zmiana kier. prędkości 5c )
" kątowe (zmiana wartości prędkości kątowej )
% Brakuje jeszcze przyspieszenia związanego ze zmianą wartości prędkości
liniowej 5c:
y
przyspieszenie styczne:
5؂5"5ؕ
55
5؂5"5ؕ =
55ؕ
5y
5؂5"
5؂5
5
% Mamy zatem przyspieszenie
całkowite: 5؂5" = 5؂5 + 5؂5"5ؕ
x
% związek przyspieszenia stycznego z
kątowym:
5؂5"5ؕ
5: =
5y
5 A.Obłąkowska-Mucha
Przyspieszenie kątowe
% Przyspieszenie kątowe również jest wektorem& ..
5؂5"5ؕ = 5: 5ؓ
5:
% Można teraz zadać pytanie (filozoficzne):
ż skoro zródłem przyspieszenia liniowego
a jest siła, to co jest przyczyną
5؂5"5ؕ
przyspieszenia kątowego?
Siła kątowa?
No& prawie. Ciało porusza się z przyspieszeniem kątowym, gdy działa
MOMENT SIAY
Moment siły jest jednym z naważniejszych pojęć dla każdego młodego mechanika
6 A.Obłąkowska-Mucha
Moment siły
% Moment siły (moment obrotowy) informuje, jaką siłę i jakim miejscu należy
przyłożyć, aby spowodować obrót ciała
5t = 5ؓ 5m
Moment siły 5m przyłożonej w punkcie A, określony
względem punktu O, jest iloczynem wektorowym
promienia wodzącego 5ؓ mającego początek w
punkcie O i siły 5m
Wartość momentu siły 5m obliczymy z zależności:
5t = 5ؓ (5m 5,5"5' 56) = 5ؓ 5m
Ą"
7 A.Obłąkowska-Mucha
http://www.if.pw.edu.pl/~wosinska/am2/w4/segment2/main.htm
Prawa dynamiki w języku zmiennych kątowych
% Formułowaliśmy już zasady dynamiki dla:
" punktu materialnego,
" ciała, ale tylko dla środka masy tego ciała
% Proszę teraz samodzilelnie przedstawić I II zas. dynamiki Newtona dla
obracającego się ciała:
Jeżeli na ciało nie działa moment siły lub momenty sił się równoważą,
ciało pozostaje w spoczynku lub obraca się ze stałą prędkością kątową.
Jeżeli na ciało działa niezerowy wypadkowy moment siły, to porusza się
ono z przyspieszeniem kątowym 5 proporcjonalnym do tego momentu
siły, a odwrotnie proporcjonalnym do & .. (za chwilę dokończymy)
5t " 5:
8 A.Obłąkowska-Mucha
II zasada dynamiki
5Q5c 5Q5]
% Dla ruchu postępowego było: 59 = 5Z 5N = 5Z =
5Q5a 5Q5a
siła powoduje zmianę pędu
% A jak zmienić MOMENT PDU 5s?
5s = 5ؓ 5ę
5Q5? 5Q 5Q5_ 5Q5ę
= 5ؓ 5ę = 5ę + 5ؓ
5Q5a 5Q5a 5Q5a 5Q5a
M
5Q5_
= 0, 5O5\ = 5c %" 5] 5@ = 5_ 59
5Q5a
9 A.Obłąkowska-Mucha
http://pl.wikipedia.org/wiki/Moment_p%C4%99du
Zasada zachowania momentu pędu
Wypadkowy moment siły powoduje zmianę MOMENTU PDU 5s
55s
5t =
55ؕ
% Moment pędu układu jest zachowany, jeżeli wektorowa suma momentów sił
działających na ten układ wynosi zero.
5t5؊ = 5 ś' 5s = 5"5ؐ5Ź5"5ؕ
10 A.Obłąkowska-Mucha
Siły, pędy i momenty
II zas.
Zasada zachowania
dynamiki
pęd
5ę = 5؎ 5
5m5؊ = 5 !
55ę
5m =
55ؕ
5w = 5"5ؐ5Ź5"5ؕ
siła
5m = 5؎ 5؂
moment
5s = 5ؓ 5ę
5t5؊ = 5 ś'
pędu
55s
5t =
55ؕ
5s = 5"5ؐ5Ź5"5ؕ
moment siły
5t = 5ؓ 5m
11 A.Obłąkowska-Mucha
Moment bezwładności
% Opisywaliśmy do tej pory ruch punktu materialnego. Do opisu układu wielu
punktów lub ciał potrzeba parametru opisującego, jak masa rozłożona jest
względem pewnego punktu (np. środka masy lub wybranego punktu obrotu).
% Ograniczymy się do brył sztywnych, tzn ciał, w których odległość pomiędzy
dwoma dowolnymi punktami nie zmienia się podczas ruchu.
MOMENT BEZWAADNOŚCI:
5p = 5؎5؊5ؓ5؊ 5
r
5p = 5ؓ5 55؎
r
dm
dm
r
m
dm
r
12 A.Obłąkowska-Mucha
Dynamika bryły sztywnej
% Obrót bryły sztywnej wokół nieruchomej osi obrotu jest równoznaczny z
ruchem po okręgu każdego punktu 5Q5Z z prędkością obrotową 5 i
prędkością liniową 5c
5
% Energia kinetyczna obracającej się bryły:
5 5 5
5l5Ś =
5؎5؊55؊ 5 = 5؎5؊5ؓ5 5N5 = 5N5 5؎5؊5ؓ5؊5
5؊
5 5 5
5 dm
r
55$ = 5 5N5
5
= 5p
% Energia kinetyczna obracającego się ciała zależy od
rozkładu masy względem osi obrotu i wyboru osi
obrotu
Uwaga na moment
% Analogicznie moment pędu:
bezwładności - TENSOR
5s = 5p 5N
13 A.Obłąkowska-Mucha
Moment bezwładności
Przykłady obliczeń:
moment bezwładności można obliczyć tylko dla prostych geometrycznie układów:
m pręt względem osi przechodzacej przez środek
d
5p = 5؎5؊ 5ؓ5؊5 = 5 5؎55
5Q5Z 5@
5< = 5e2 5Q5Z
=
5Q5e 5Q
5
kula
5p = 5t5y5
5Q/2
5@ 5@ 5Q/2 5t55
5Ó
5< = 5e2 5Q5e = 5e3 =
5Q 3 5Q -5Q/2 55
-5Q/2
5
5p = 5t5y5
walec
5
14 A.Obłąkowska-Mucha
Moment bezwładności - spostrzeżenia
5pś5ؓ5؎
5p
Twierdzenie Steinera:
d
Jeśli znamy moment bezwładności względem osi obrotu
przechodzącej przez środek masy, to moment bezwłądności
względem dowolnej osi równoległej do niej wynosi:
5p = 5pś5ؓ5؎ + 5t55
% Moment bezwładności jest miarą oporu jaki
stwarza ciało przy próbie wprowadzenia go w
5p5 5p5
ruch obrotowy.
5<1 > 5<2
% Zależy od wyboru osi obrotu i rozkładu masy
względem osi obrotu.
" do uzyskania tej samej prędkości kątowej, w
przypadku I2 potrzeba mniejszej siły,
r2
r1
" ale drzwi lepiej otwierać przykładając siłę
najdalej od zawiasów, bo wtedy jest nawiększy
592
moment siły:
591
5@ = 5_1 591 = 5_2 592
15 A.Obłąkowska-Mucha
Dynamika bryły sztywnej
% Do bryły sztywnej przykładamy siłę 59 .
Bryła może obracać się wokół nieruchomej osi prostopadłej do ciała, w punkcie  O .
% Na ciało działa moment siły:
5t = 5ؓ 5m
% Ciało obraca się zgodnie z II zas. dyn. Newtona:
55s
5t = 5p 5:
5t =
55ؕ
% Ciało obracając się o kąt 5 wykonuje pracę:
5K5
5~ = 5t 55K
5K5
% Moc w ruchu obrotowym:
zad: dopisać analogiczne
wzory dla ruchu
5w = 5t 5N prostoliniowego&
16 A.Obłąkowska-Mucha
Zasady zachowania w ruchu bryły sztywnej - przykłady
Zasada zachowania energii: Zasada zachowania momentu pędu:
v2
"585> + "585] = 0
v1
1
5@5T! + 0 = 0 + 5<52
h
2
5?1 = 5<1 51 5?2 = 5<2 52
Tw. o pracy i energii:
5?1 = 5?2 , 5<1 > 5<2
Zmiana en. kinetycznej
! 5N5 < 5N5
krążka jest równa pracy
R
helikopter  wirnik spycha powietrze
wykonanej przez ciężarek
w dół i wytwarza siłę unoszacą
N
" 585X = 5J
1
Równania ruchu:
5<"52 = 5D!
2
zad: sformułować
h
M 5A 5E = 5< 5
ww zasady
5@5N = 5D - 5A
(założenie-teza)
Q
5N = 5 5E
17 A.Obłąkowska-Mucha
Toczenie (na dwa sposoby)
% Toczenie (bez poślizgu) ruch postępowo-obrotowy
I. Złożenie ruchu postępowego środka masy (a) i ruchu obrotowego względem
środka masy (b)
a) c)
b)
5 5
5l5Ś = 5t55 + 5p5N5
5 5
A
A
A
5
gdy koło się nie ślizga:
5N =
5y
LUB:
18 A.Obłąkowska-Mucha
Z.Kąkol
Toczenie II
II. Ruch obrotowy względem chwilowej osi obrotu:
" punkt A spoczywa  porównaj z poprzednim rys.
" każdy inny punkt porusza się dookoła ptu A z prędkością 55" , która jest
złożeniem prędkości liniowej ruchu postępowego i obrotowego względem
środka masy 55ؐ5؃ . Jeżeli nie ma poślizgu, te prędkości mają równe
długości.
" wektory prędkości 55" są Ą" promienia  ruch obrotowy względem
pewnego punktu (p.slajd 4.)
55ؐ5؃
5
55"
5l5Ś = 5p5h5N5
5
II
55ę
5p5h = 5p + 5t5y5
moment bezwłądności
wzgl.ptu A (z tw. Steinera)
II
I
19 A.Obłąkowska-Mucha
to samo?
Podsumowanie
% Kinematyka ruchu obrotowego (prędkość kątowa, przyspieszenie
dośrodkowe, styczne, kątowe).
% Dynamika ruchu obrotowego (moment siły, moment pędu)
% Moment bezwładności (bryły dyskretne i ciągłe)
% Zasady zachowania w ruchu obrotowym
% Toczenie jako złożenie ruchu postępowego i obrotowego
Pokazy doświadczeń
% Moment bezwładności i moment siły
% Ruch szpulki z nawiniętą nitką (nieposłuszna szpulka).
% Stolik obrotowy  człowiek z hantlami, obracający się dysk
20 A.Obłąkowska-Mucha


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
IMIR 6 Obroty II
IMiR NM2 Introduction to MATLAB
IMIR zestaw16
IMIR zestaw17
IMIR Sprawozdanie Badania Nienieszczace
IMIR 7 Drgania
Pochodne I IMiR
IMIR zestaw18
Analiza stanu naprezenia i odksztalcenia (IMiR)
IMIR?le materii
korozja IMiR
Obroty
Pierwsze? dni Sprawdzone strategie ulatwiajace liderom wejscie na najwyzsze obroty szybciej i madrze

więcej podobnych podstron