Podstawy fizyki  sezon 1
VI. Ruch obrotowy 2 (!)
Agnieszka Obłąkowska-Mucha
WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek,
D11, pok. 111
[e-mail]
http://home.agh.edu.pl/~amucha
Tarcie toczne
¸% Tarcie toczne jest to siÅ‚a oporu dziaÅ‚ajÄ…ca, gdy jedno ciaÅ‚o toczy siÄ™ po
drugim (opona na drodze, kula na równi, łożyska)
¸% Tarcie toczne jest zazwyczaj dużo mniejsze od kinetycznego (poÅ›lizgowego)-
szerokie zastosowanie w technice.
¸% Toczenie jest ZAWSZE zwiÄ…zane z odksztaÅ‚ceniem
5ØuÜ2
powierzchni (nawet b.małym).
¸% Tarcie toczne zależy od promienia toczÄ…cego siÄ™
5Ø“Ü
ciała.
.
gdy ciało spoczywa:
siła reakcji podłoża leży na tej samej
prostej co siÅ‚a nacisku na podÅ‚oże 5ØuÜ
2 A.Obłąkowska-Mucha
Tarcie toczne - dynamika
Gdy ciaÅ‚o porusza siÄ™ (toczy) pod wpÅ‚ywem siÅ‚y 5ØmÜ :
" Walec (kula) styka się z podstawą wzdłuż powierzchni AB.
" 5ØmÜ - siÅ‚a przyÅ‚ożona do walca, 5Ø{Ü - siÅ‚a tarcia, 5Ø9Ü = 5ØGÜ (przy staÅ‚ej
5ØuÜ2
5ØAß5Ø•Ü
prędkości)
" 5ØuÜ - siÅ‚a normalna 5ØAÜ = 5ØZÜ5ØTÜ, 5ØuÜ2 - siÅ‚a reakcji podÅ‚oża, 5ØAÜ = 5ØAÜ2
5Ø“Ü
5ØmÜ
" Pod wpÅ‚ywem siÅ‚y 5ØmÜ , nacisk w pt B roÅ›nie, w A maleje.
.
punkt przyÅ‚ożenia siÅ‚y 5ØAÜ przesuwa siÄ™ w stronÄ™ 5ØmÜ .
5Ø{Ü
" W miarÄ™ wzrostu 5ØmÜ przesuniÄ™cie roÅ›nie, aż do
A
osiÄ…gniÄ™cia wartoÅ›ci granicznej 5ØAß5Ø•Ü
B
" W tym momencie działają przeciwne do siebie momenty:
5ØuÜ
5Øß5ØaÜ × 5ØuÜ2 i 5Ø“Ü × 5Ø{Ü
wynika z tego również, że
toczenie jest możliwe, gdy
" Warunek równowagii: 5Øß5ØaÜ × 5ØuÜ2 = 5Ø“Ü × 5Ø{Ü,
siła F przekroczy pewną
5Ø{Ü5Ø“Ü
watośc graniczną  poślizg
stÄ…d współ. tarcia tocznego: 5ØAß5Ø•Ü = [m]
5ØuÜ
(dyskusja)
3 A.Obłąkowska-Mucha
Tarcie toczne w życiu
5ØAß5Ø•Ü
¸% Współczynnik tarcia tocznego jest zwykle bardzo maÅ‚y, stosunek: można
5Ø“Ü
porównać do współ, tarcia poślizgowego,np. koło o promieniu 50cm po stali :
5ØAß5Ø•Ü
=0.0001, 5ØAß5ØrÜ = 0.09
5Ø“Ü
¸% Współczynnik tarcia tocznego ma wymiar dÅ‚ugoÅ›ci! Odpowiada formalnie
promieniowi kuli, przy toczeniu której siła tarcia byłaby równa sile nacisku
¸% Tarcie toczne toczÄ…cej siÄ™ opony  ciekawe uwagi:
" Rozmiar opony - opór toczenia odpowiada ugięciu ścian opony oraz powierzchni
kontaktu z podłożem.
" Przy tym samym ciśnieniu szersze opony rowerowe mają mniejsze ugięcie i z
tego powodu mniejszy opór toczenia (aczkolwiek większy opór powietrza).
" Stopień napompowania - mniejsze ciśnienie w oponach skutkuje większym
ugięciem ścian opony a co za tym idzie większym tarciem tocznym.
" Rzez
ba bieżnika opony ma duży wpływ na opór toczenia. Im "grubszy" wzór
bieżnika, tym większy opór toczenia. Dlatego też "szybkie" opony rowerowe mają
drobny bieżnik, a ciężarówki zużywają mniej paliwa, kiedy bieżnik jest zużyty.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Tarcie_toczne
" Mniejsze koła mają większy opór toczenia niż duże
4 A.Obłąkowska-Mucha
Statyka
¸% Jakie warunki muszÄ… być speÅ‚nione, aby bryÅ‚a sztywna pozostawaÅ‚a w
spoczynku pomimo wielu sił przyłożonych do niej?
¸% CiaÅ‚o sztywne pozostaje w równowadze, gdy:
" suma wektorowa wszystkich sił zewnętrznych wynosi zero,
" suma wektorowa wszystkich zewnętrznych momentów sił (liczonych
względem dowolnej osi) wynosi zero.
5ØmÜ5ØŠÜ = 5ØÎß Ô! 5ØuÜ5ØÏß+ 5Ø{Ü5ØÏß + 5ØuÜ5ØÐß + 5ØnÜ = 5ØÎß
5ØtÜ5ØŠÜ5ØhÜ = 5ØÎß Ô! 5ØtÜ5ØuÜ5ØÏß+ 5ØtÜ5Ø{Ü5ØÏß + 5ØtÜ5ØuÜ5ØÐß + 5ØtÜ5ØnÜ = 5ØÎß
Uwaga na znalezienie odpowiednich
kątów pomiędzy wektorami!
5 A.Obłąkowska-Mucha
BÄ…k
¸% Co siÄ™ dzieje, jeÅ›li obrót bryÅ‚y sztywnej nie zachodzi wokół nieruchomej osi?
¸% Ruch bÄ…ka wirujÄ…cego dookoÅ‚a osi symetrii, która porusza siÄ™ dookoÅ‚a osi
pionowej, zakreślając powierzchnię stożka.
PRECESJA
gdyby bąk nie wirował-
ustawienie pionowe-równowaga
nietrwała,
gdyby trochę wytrącić go z położenia
równowagi  przewróci się!
gdy bÄ…k wiruje
5Ø@Ü5ØTÜ
wychylenie z tego położenia-powstanie
wypadkowego momentu  ruch dookoła
osi pionowej
7 A.Obłąkowska-Mucha
http://brain.fuw.edu.pl/edu/Fizyka:Wyk%C5%82ad_z_Fizyki_I/Bryla_sztywna_2
BÄ…k - dynamika
Siła ciężkości przyłożona w środku masy:
5Ø@Ü5ØTÜ = 5ØEÜ × 5ØDÜ ; 5Ø@Ü5ØTÜ Ä„" 5ØEÜ, 5ØDÜ
czyli:
" 5Ø@Ü5ØTÜ jest prostopadÅ‚y do momentu pÄ™du 5Ø?Ü ,
" że moment 5Ø@Ü5ØTÜ nie zmienia wartoÅ›ci momentu
pÄ™du: 5ØQÜ5Ø?Ü = 0,
5ØQÜ5ØaÜ
¸% Wektor momentu pÄ™du 5Ø?Ü obraca siÄ™
wokół nieruchomej osi z prÄ™dkoÅ›ciÄ… 5Øß5Ø]Ü .
¸% SiÅ‚a ciężkoÅ›ci, dziaÅ‚ająć na Å›rodek masy
bąka, powoduje moment siły względem
5Ø@Ü5ØTÜ
punktu styczności z podłogą.
¸% Moment ten skierowany jest poziomo i
powoduje precesjÄ™ bÄ…ka
8 A.Obłąkowska-Mucha
http://brain.fuw.edu.pl/edu/Fizyka:Wyk%C5%82ad_z_Fizyki_I/Bryla_sztywna_2
Precesja momentu pędu
moment siły powoduje zmianę kierunku
momentu pÄ™du (zmiana "5Ø?Ü Ä„" 5Ø?Ü):
5ØQÜ5Ø?Ü
5Ø@Ü5ØTÜ =
5ØQÜ5ØaÜ
koniec wektora momentu pędu zakreśla okrąg
w płaszczyz
nie poziomej 
PRECESJA.
"5Øß
5Øß5Ø]Ü =
"5ØaÜ
"5Ø?Ü 5Ø@Ü5ØTÜ "5ØaÜ
" Częstość precesji maleje ze wzrostem
"5Øß = =
5Ø?Ü5Ø`Ü5ØVÜ5Ø[ÜÅš 5Ø?Ü5Ø`Ü5ØVÜ5Ø[ÜÅš
momentu pędu - im szybciej bąk wiruje tym
wolniej zmienia siÄ™ kierunek .
5Ø@Ü5ØTÜ = 5ØZÜ5ØTÜ5ØEÜ 5Ø`Ü5ØVÜ5Ø[ÜÅš
" Częstość precesji nie zależy od kąta
mg5ØEÜ
pochylenia osi bÄ…ka Åš
5Øß5Ø]Ü =
częstość precesji:
L
" Precesja pozwala zrównoważyć działanie
zawnętrznego momentu siły
9 A.Obłąkowska-Mucha
Żyroskop
¸% Model żyroskopu skÅ‚ada siÄ™ z wirujÄ…cego dysku i
przeciwagi, które mogą obracać się na swobodnej
osi.
¸% UkÅ‚ad jest zrównoważony, gdy 5Ø?Ü = 0 i bÄ™dzie dążyÅ‚
do równowagii również gdy dysk wiruje.
¸% Jeżeli zmienimy ciężar przeciwagi  oÅ› zacznie siÄ™
obracać  częstość precesji żyroskopu wynosi:
"mg 5Ø_Ü
5Øß5Ø]Ü =
L
10 A.Obłąkowska-Mucha
http://pl.wikipedia.org/wiki/%C5%BByroskop
http://brain.fuw.edu.pl/edu/Fizyka:Wyk%C5%82ad_z_Fizyki_I/Bryla_sztywna_2
Żyroskop w technice
¸% Kompas żyroskopowy (żyrokompas):
oddziaływanie momentu pędu żyroskopu  moment siły
cięzkości prowadzi do precesji wokół kierunku osi
wirowania Ziemi (bez względu na położenie początkowe) 
pomiar kierunku północnego.
¸% Å»yroskopy prÄ™dkoÅ›ciowe  mierzÄ… prÄ™dkoÅ›c obracajÄ…cego
się ciała, do którego są przymocowane
¸% Pojazdy typu Segway  efekt żyroskopowy z siÅ‚Ä… Coriolisa
¸% MEMS (Micro Electric-Mechanical
System) elektroniczne układy
rozpoznające kierunek ruchu i prędkość
wykorzystane w telefonach,
kontrolerach gier, konsolach, kontroli
przebiegu produkcji, gier sportowych.
11 A.Obłąkowska-Mucha
http://en.wikipedia.org/wiki/Gyroscope
http://www.segway.com.pl/na-co-dzien/sposob-dzialania/
Żyroskop
¸% Pocisk wylatujÄ…cy z gwintowanej lufy (lub torpeda) obraca siÄ™ wokół wÅ‚asnej
osi  jest to żyroskop o własnym momencie pędu.
moment siły oporu powietrza powoduje precesję pocisku wokół stycznej do
toru, ale nie powoduje przekręcenia pocisku.
¸% Negatywne skutki precesji  uszkodzenia turbin i innych szybko obracajÄ…cych
się mechanizmów
Pokazy zasady zachowania momentu pędu
WirujÄ…ce bÄ…ki
ObracajÄ…ca siÄ™ tarcza na sznurze
Ważka żyroskopowa
12 A.Obłąkowska-Mucha
Ziemia jako bÄ…k
¸% Ziemia ma ksztaÅ‚t spÅ‚aszczonej
elipsolidy obrotowej wirujacej wokół osi
niepokrywajćej się z jej osią symetrii-
¸% Na ZiemiÄ™ dziaÅ‚a zewnÄ™trzny moment
siły spowodowany:
- spłaszczeniem,
- niejednorodnością pola grawitacyjnego
(oddziaływanie Słońca, Ksieżyca, innych
planet
¸% Precesja astronomiczna- Ziemia
zakreśla stożek wokół kierunku
normalnego do płaszczyzny ekliptyki z
okresem 26 tys. lat.
13 A.Obłąkowska-Mucha
GRAWITACJA  trochÄ™ historii
¸% IV p.n.e. Arystoteles (Grecja)- nie ma ruchu bez przyczyny  ciaÅ‚o spada na
Ziemię, bo taka jest jego natura, cięższe przedmioty spadają szybciej
¸% Ptolemeusz I n.e (Egipt, Aleksandria)  model geocentryczny  Ziemia
stanowiła środek, wokół niej, po bardzo skomplikowanych orbitach poruszały
się Słońce, Księżyc i inne planety (ale używał matematyki)
¸% Kopernik  1543  De revolutionibus orbium coelestium (O obrotach sfer
niebieskich);
¸% Tycho Brahe (1546-1601)  20 lat obserwacji  goÅ‚ym okiem poÅ‚ożeÅ„ ciaÅ‚
niebieskich z dokładnością 1-2 minut kątowych
¸% Johannes Kepler (1571-1630)  analiza obserwacji Tycho Brahe  trzy prawa
i bardzo dokładne tablice z położeniami gwazd.
¸% Izaak Newton  Matematyczne zasady filozofii przyrody (1687)  prawo
powszechnego ciążenia
¸% Ogólna teoria wzglÄ™dnoÅ›ci A. Einsteina 1915 
Zakrzywienie przestrzeni wokół z
ródła grawitacji
14 A.Obłąkowska-Mucha
Siła grawitacji
¸% OddziaÅ‚ywanie grawitacyjne jest jednym z trzech oddziaÅ‚ywaÅ„
fundamentalnych.
¸% Prawo powszechnego ciażenia (Newton 1687):
¸% SiÅ‚a dziaÅ‚ajÄ…ca pomiÄ™dzy dwoma punktami materialnymi o masach m1 i m2,
znajdującymi się w odległości r, jest siłą przyciągającą, skierowaną wzdłuż
prostej łączącej te punkty o wartości:
5ØZÜ15ØZÜ2
5Ø9Ü = 5Ø:Ü
5Ø“Ü
5Ø_Ü2
¸% W postaci wektorowej siÅ‚Ä… dziaÅ‚ajÄ…ca na masÄ™ m2
ze strony m1:
5ØŽÜ5ØÏß5ØŽÜ5ØÐß 5Ø“Ü
5ØmÜ5ØÐß5ØÏß = -5ØnÜ
5Ø“Ü5ØÐß 5Ø“Ü
G=6.673 10-11 N m2/kg2 - stała grawitacyjna
15 A.Obłąkowska-Mucha
Prawa Keplera (1619)
I. Wszystkie planety poruszajÄ… siÄ™ po orbitach
eliptycznych. W jednym z ognisk elipsy
znajduje się Słońce.
S
II. Promień wodzący planety zakresla w
równych odstępach równe pola.
III. Kwadraty okresów obiegu planet dookoła
Słońca są proporcjonalne do sześcianów
wielkich półosi elips:
b
5ØGÜ12 5ØNÜ13
a
=
5ØGÜ22 5ØNÜ23
SÄ… to prawa historyczne. Prawa Keplera wynikajÄ… wprost z zasad dynamiki
Newtona.
Kepler opisał JAK PORUSZAJ
SI
PLANETY, a Newton wyjaśnił dodatkowo
DLACZEGO tak się poruszają (prawo powszechgnego ciążenia, siła, ciężar,
masa).
16 A.Obłąkowska-Mucha
Ruchy planet
¸% II prawo Keplera wynika bezpoÅ›rednio z zasady zachowania momentu pÄ™du:
Moment pędu jest zachowany, gdy znika moment siły
działającej na ciało. Jest to możliwe, gdy:
5Ø@Ü = 5ØQÜ5Ø?Ü = 0, 5Ø?Ü = 5ØPÜ5Ø\Ü5Ø[Ü5Ø`Ü5ØaÜ,
a) nie działa siła,
5ØQÜ5ØaÜ
b) siła jest zawsze równoległa do promienia
5Ø?Ü = 5Ø_Ü × 5ØZÜ5ØcÜ
wodzącego, czyli np. dla sił centralnych:
Jeżeli siÅ‚a jest centralna: 5Ø9Ü5ØTÜ = 5ØSÜ 5Ø_Ü 5Ø_Ü, czyli 5Ø_Ü × 5Ø9Ü = 5Ø@Ü = 0
5ØQÜ5Ø_Ü = 5ØcÜ5ØQÜ5ØaÜ
5ØÜ5ØzÜ
5Ø_Ü × 5ØQÜ5Ø_Ü = 5Ø_Ü × 5ØcÜ5ØQÜ5ØaÜ
= 5ØÜ5Ø(Ü5Ø'Ü5Ø,Ü5Ø-Ü
5ØÜ5Ø•Ü
5ØQÜ5ØFÜ 1 1
= 5Ø_Ü × 5ØcÜ = 5Ø?Ü
żð prÄ™dkość polowa jest staÅ‚a,
S - pole
5ØQÜ5ØaÜ 2 25ØZÜ
1
Gdy moment pędu jest zachowany, ruch
5ØQÜ5ØFÜ = 5Ø_Ü × 5ØQÜ5Ø_Ü
jest płaski, odbywa się w płaszczyz
nie
2
prostopadłej do wektora momentu pędu.
Ruch w polu siÅ‚ centralnych jest pÅ‚aski (5Ø“Ü, 5ØÜ).
17 A.Obłąkowska-Mucha
 .
Ruchy planet
¸% III prawo Keplera jest konsekwencjÄ… prawa powszechnego ciążenia, gdzie
rolę siły dośrodkowej pełni siła grawitacyjna:
5Ø9Ü5ØQÜ5Ø\ÜÅ› = 5Ø9Ü5ØTÜ
5ØZÜ15ØZÜ2
5ØZÜ5Øß25ØEÜ = 5Ø:Ü
5Ø_Ü2
5Ø_Ü13 5Ø_Ü23
5ØGÜ12 5Ø_Ü13
=
lub
=
5ØGÜ12 5ØGÜ22
5ØGÜ22 5Ø_Ü23
¸% I prawo Keplera wynika z rozwiÄ…zania
równań ruchu masy w polu siły centralnej
 w zależności od całkowitej energii i
momentu pędu - torem może być okrąg,
elipsa, parabola lub hiperbola
18 A.Obłąkowska-Mucha
Energia pola grawitacyjnego
¸% Pole grawitacyjne jest potencjalne.
¸% Praca wykonana przez siÅ‚Ä™ ciężkoÅ›ci zależy tylko od punktu poczÄ…tkowego i
końcowego i wyraża się przez zmianę energii potencjalnej:
5Ø5Ü
5Ø~Ü5ØhÜ5ØiÜ = 5Ø9Ü 5Ø_Ü d5Ø_Ü = 5Ø8Ü5ØCÜ5Ø4Ü 5Ø_Ü5Ø4Ü - 5Ø8Ü5ØCÜ5Ø5Ü 5Ø_Ü5Ø5Ü = -"5ØlÜ5ØÄ™Ü
5Ø4Ü
E5Ø]Ü
r
¸% Energia caÅ‚kowita ciaÅ‚a w polu grawitacyjnym
19 A.Obłąkowska-Mucha
Natężenie pola grawitacyjnego
¸% Natężenie pola grawitacyjnego charakteryzuje pole:
5Ø9Ü
5ØþÞ =
5ØZÜ
informuje jaka siła działa w danym punkcie pola na
5Ø8ß
jednostkę masy i nie zależy od masy ciała próbnego
¸% Natężenie wytwarzane przez punkt materialny:
5Ø9Ü 5Ø@Ü 5Ø_Ü
5ØþÞ = = -5Ø:Ü
5ØZÜ 5Ø_Ü2 5Ø_Ü
¸% Dla ukÅ‚adu punktów materialnych (mas) stosujemy
zasadÄ™ superpozycji:
5ØþÞ = 5ØþÞ5ØVÜ
5ØþÞ = 5ØþÞ1 + 5ØþÞ2
¸% Dla ciaÅ‚ ciÄ…gÅ‚ych: Å‚ = 5ØQÜ5ØþÞ
5ØZÜ1
5ØZÜ2
5ØQÜ5ØZÜ
5ØÜ5Ø8ß
m
M
5ØþÞ1
5Ø“Ü 5ØþÞ2
20 A.Obłąkowska-Mucha
Podsumowanie
¸% Tarcie toczne.
¸% Statyka.
¸% Efekty zwiÄ…zane z zachowaniem momentu pÄ™du:
" precesja bÄ…ka
" żyroskop
¸% Prawo powszechnego ciążenia.
¸% Natężenie pola i zasada superpozycji
21 A.Obłąkowska-Mucha