Metody optymalizacji
NB = TB  TC; korzyść netto = korzyść całkowita  koszt całkowity
; korzyść krańcowa
; koszt krańcowy
Maksymalizacja korzyści netto NB przy jednej zmiennej
1) Warunek
MB = MC
2) Warunek
; utarg całkowity = cena * ilość sprzedawanego dobra
; zysk całkowity = utarg całkowity  koszt całkowity
Maksymalizacja zysku
MR=MC lub
lub
Gdy szukamy maksimum funkcji o 2 zmiennych:
1) Warunek i
2) Warunek i
3) Warunek
Funkcja Lagranege a (znalezienie max dla funkcji ogrnaczonej)
Przykłady 1
Funkcja popytu zgłaszanego w ciągu tygodnia na wyroby przedsiębiorstwa sprzedającego
deskorolki wyraża się wzorem P=520  3Q,
zaś funkcja kosztu ma postać TC=0,5 +100Q+4000.
Oblicz, ile deskorolek firma musi dostarczyć na rynek, by osiągnąć max zyski i ile one wynoszą.
RozwiÄ…zanie:
TR= P * Q=(520 3Q)Q=520Q 3
= 520 6Q
= Q+100
520 6Q=Q+100
Q=60
i czyli -6<1 więc można produkować 60 sztuk
Ä„(60)=TR(60) TC(60)=20400 11800=8600
Przykład 2
Zysk firmy Ą zależy od ceny produktu P i wydatków na reklamę A. Funkcję zysku:
Ä„=a - -P+6A
RozwiÄ…zanie:
Szukamy pochodnych cząstkowych i przyrównujemy je do zera
Ä…ð po wyliczeniu A=4, P=4
Ä…ð
Potem sprawdzamy znak drugich pochodnych
III warunek: Ä…ð
Warunki są spełnione, a zatem Ą=12
Przykład 3
Firma chce zmaksymalizować wielkość produkcji jako funkcję ilości wykorzystywanych
czynników wytwórczych: pracy L i kapitału K: Q=6L+10K+LK; za każdą roboczogodzinę
firma płaci 3Ź , a za kapitał 5Ź . Może przeznaczyć 1200Ź . Jak podzielić?
3L+5K=1200 Ä…ð 3L+5K-1200=0
Teraz tworzymy f. Lagrange a Z=6L+10K+LK+(3L+5K-1200)
Liczymy pochodne czÄ…stkowe
Ä…ð L=200, K=120
Ä…ðQ=6*200+10*120+200*120=24400
Przykład 4
Zakład energetyczny dostarcza swym odbiorcom 100 MWh prądu elektrycznego dziennie.
Wytwarzanie prÄ…du odbywa siÄ™ w 2 elektrowniach:
T =2 i T = ; w elektrowni I można wytworzyć 5 MWh, a w II 3MWh.
RozwiÄ…zanie:
T + T = 2 + =2
Funkcja ograniczenia ma postać: 5x+3y=100 Ä…ð 5x+3y-100=0
Konstruujemy f. Lagrange a Z=2
Ä…ð y=1,2x+1,8 Ä…ð y=15, x=11
Ä…ð koszt produkcji w I wynosi 200, w II: 144
Ä…ð Å‚Ä…czny koszt 244, wiÄ™c I 11 ton wÄ™gla, a II 15 ton
Popyt
Å›
; cenowa elastyczność popytu
 ; dochodowa elastyczność popytu
; mieszana elastyczność popytu
; potęgowa funkcja popytu
Przykład 1
Popyt fanów rocka na koncert: Q=  25P+8000. Sala mieści 6000 osób.
Obliczyć max zysk ze sprzedaży biletów i cenę biletu.
RozwiÄ…zanie:
utarg całkowity jest największy, gdy popyt jest proporcjonalny, czyli :
25P=  25P+8000 Ä…ð P=160
A dla caÅ‚ej Sali Q=6000 wiÄ™c 6000=  25P+8000 Ä…ð P=80,
czyli utarg wynosi tylko 80*6000=480000
Przykład 2
Popyt studentów: , a innych .
Miesięczne koszty wynoszą: , gdzie .
Jaką cenę ustalić i jakie będą zyski?
Rozwiązanie: na obu segmentach rynku należy zrównać koszt i utarg krańcowy.
, zaÅ› , bo
Teraz przyrównujemy do siebie utargi krańcowe i koszt krańcowy:
Ä…ð
Ä…ð
Utarg ze sprzedaży wynosi:
Ä„=TR TC=25000
Ryzyko
(wartość oczekiwana)
(wariancja)
(odchylenie standardowe)
(premia za ryzyko)
(kryterium wartości oczekiwanej)
 prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A
pod warunkiem zajścia zdarzenia B
Przykład 7 (struktury rynkowe)
Popyt rynkowy ma postać: .
Koszty krańcowe obu duopoli stów wynoszą .
KorzystajÄ…c z modelu Stackelberga, wyznacz opt. wielk. prod.
Obu firm zakładając, że firma I ustali wielkość swej produkcji jako pierwsza.
RozwiÄ…zanie:
Liczymy pochodnÄ…
Ä…ð
Teraz liczymy i podstawiamy do
;
Firma II tworzy wtedy
Produkcja i koszty
(całkowity koszt, L-praca, K-kapitał)
(produkt krańcowy pracy; p.k. kapitału)
(krańcowy przychód z pracy)
(utarg krańcowy * p.k. pracy)
(P  cena dobra)
 (krańcowy koszt pracy)
Jeżeli stawka płac jest stała, to krańcowy koszt pracy jest stały
(opt. poziom zatrudnienia w krótkim okresie)
(gdy stała cena i stawka wynagrodzenia)
(krańcowy przychód z kapitału)
(krańcowy koszt kapitału)
(całkowite koszty to suma stałych i zmiennych)
(koszt przeciętny)
(przeciętny koszt stały)
(przeciętny koszt zmienny)
(BEP  próg rentowności)
W krótkim okresie należy działać mimo strat jeśli:
P(Q*)>AVC(Q*)
W długim natomiast, gdy:
P(Q*)>AC(Q*)
; a>0, b<0 (krzywa uczenia siÄ™)
(po x2 produkcji, AC= poprzedniego)
Przykład 1
Funkcja produkcji w fabryce to: . Nakład kapitału jest stały=36.
Cena 5 zł, a godzinowa stawka wynagrodzenia 12 zł.
Znalez
ć opt. nakład pracy, przy którym zysk = max
Rozwiązanie: mamy do czynienia z krótkim okresem więc .
Ponieważ stawka płac i cena są stałe to ,
a produkt krańcowy jest równy ; zatem
z czego wynika, że , czyli L=25
Przykład 2
Funkcja produkcji . Stawka płac: 50 zł, jednostkowa stawka wynajmu
kapitału: 100 zł. Obliczyć najtańszą kombinację czynników, aby wytworzyć 16000 sztuk.
RozwiÄ…zanie: ßð
; czyli L=4K
Ä…ðK=100 Ä…ðL=4K=400
Przykład3
Funkcja kosztu całkowitego:
a popyt: . Znalez
ć opt. wielkość produkcji, czy osiągnie zysk?
RozwiÄ…zanie: stosujemy zasadÄ™ ekwimarginalnÄ…: MR = MC
( ) ; ( )
Ä…ðQ=15
Warunek konieczny jest spełniony ( )
Ponieważ cena nie pokrywa kosztu przeciętnego, firma ponosi straty:
na każdej jednostce traci 1200 zł, a łączna strata jest równa 1200*15=18000.
Z f. kosztu wiemy, że mamy do czynienia z krótkim okresem, więc koszt stały to 45000.
Zatem w krótkim okresie mimo strat należy
kontynuować działalność, jeśli P pokrywa AVC. AVC(15)=20*15+2400=2700. P>AVC
Struktury rynkowe
(wskaz
nik koncentracji; 0-40 konkurencja, 40-60 luz
ny oligopol,
60-90 ścisły oligopol, 90-100 efektywny monopol)
(wskaz
nik Herfindahla Hirschmana; 0-1000 nieskoncentrowany,
1000-1800 umiarkowanie, 1800-10000 wysoce)
(w konkurencji doskonałej)
(w konkurencji doskonałej)
 (w konkurencji doskonałej)
przy założeniu
(ilościowe BEP)
(wartościowe BEP)
(procentowo)
Przykład 1
Na detalicznym rynku działa 10 sprzedawców o odpowiednim udziale:
25%, 15%, 13%, 10%, 8%, 7%, 7%, 5%, 5%, 5%. Obliczyć i HHI.
RozwiÄ…zanie: Ä…ð Å›cisÅ‚y oligopol
Ä…ð umiar.skon.
Przykład 2
Na doskonale konkurencyjnym rynku f. popytu i podaży rynkowej mają postać:
Q=  15P+900 oraz Q=20P-200. Identyczna technologia. Koszty:
. Obliczyć wielkość produkcji max zysk.
RozwiÄ…zanie: najpierw wyznaczamy poziom ceny rynkowej
Ä…ð P=60
i MR=60
Ä…ð Q=10 lub Q=  20 (odpada)
Przykład 3
Długookresowa f. kosztów w wolnej konkurencji ma postać .
Przy jakiej cenie ustanÄ… procesy wchodzenia na rynek?
Rozwiązanie: w dł. okresie cena spada do minimum AC
Funkcja ma minimum gdy I pochodna=0, II pochodna>0
Przykład 4
Firma działająca na doskonale konkurencyjnym rynku ponosi
FC=80 zł, MC=AVC=10, P=14. Zdolności produkcyjne 60 sztuk.
Przy jakiej produkcji będzie zysk?
RozwiÄ…zanie:
Przykład 5
Popyt rynkowy ma postać , popyt firmy dominującej
. Koszty tej firmy .
Ile wytworzy firma dominująca, a ile pozostałe?
RozwiÄ…zanie: dla dominujÄ…cego MR=MC
Ä…ð q=10
Sprawdzamy czy ;
dla firmy dominujÄ…cej
Przy P=15, nabywcy kupiÄ… 35 szt, firma dominujÄ…ca sprzeda 10, reszta 25
Przykład 6
Na rynku diamentów konkurują 2 kopalnie. Popyt rynkowy
, a .
WykorzystujÄ…c model Cournota znalez
ć wielkości wydobycia i zyski.
RozwiÄ…zanie: firma I max zysk, gdy
Warunek wystarczający spełniony, bo -2<0
Analogicznie dla II firmy
Ä…ð
Cena produktu to P=12-3-3=6,
Koszty