Równania różniczkowe zwyczajne Drugi zestaw zadań dodatkowych
1. Metodą podstawową rozwiązać równania:
(a) y00 − y0 + y = 0;
(b) 9 y00 − 6 y0 + y = 16 e 3 x; (c) y00 + 2 y0 − 3 y = 3 x 2 − 2; (d) y00 + 4 y = cos 2 x; (e) y00 + y0 − 6 y = 2 e 2 x.
2. Metodą operatorową rozwiązać problemy Cauchy’ego: ( y0 + 3 y = 0
(a)
;
y(0) = 2
( y0 − 2 y = 6
(b)
;
y(0) = − 2
( y0 − y = 2 te 3 t − e 3 t (c)
;
y(0) = 0
y00 + 4 y = 0
(d)
y(0) = 2
;
y0(0) = 6
y00 − 5 y0 + 6 y = 0
(e)
y(0) = 3
.
y0(0) = 8
Pytania z teorii do drugiego kolokwium
1. Opisać metodę uzmiennienia stałych służącą do rozwiązywania równań różniczkowych liniowych rzędu drugiego.
2. Opisać równanie wahadła matematycznego.
3. Podać cechy odróżniające równania różniczkowe cząstkowe od zwy-czajnych.
√
√
1.
(a) y = C
3
3
1 ex/ 2 cos
x + C
x
2
2 ex/ 2 sin
2
1
(b) y = C 1 ex/ 3 + C 2 x ex/ 3 + e 3 x 4
4
8
(c) y = C 1 e− 3 x + C 2 ex − x 2 − x −
3
9
1
(d) y = C 1 cos 2 x + C 2 sin 2 x +
x sin 2 x
4
2
(e) y = C 1 e− 3 x + C 2 e 2 x +
x e 2 x
5
2.
(a) y = 2 e− 3 t
(b) y = e 2 t − 3
(c) y = et + ( t − 1) · e 3 t (d) y = 2 cos 2 t + 3 sin 2 t (e) y = e 2 t + 2 e 3 t