Analiza zespolona
WYKŁAD 10 (03.12.2013r.)
Własność 47:
⊂ ℂ obszar, tzn. otwarty i spójny. Jeśli , : → ℂ różniczkowalne oraz = , to istnieje
∈ ℂ takie, że =
+ .
Dowód:
Ustalmy
∈ G. Dla każdego ∈ G istnieje krzywa regularna Γ o początku w , końcu w i taka, że
|Γ | ⊂ G. Mamy:
=
=
−
−
.
Stąd:
=
+
−
dla ∈ G.
Twierdzenie 48:
Niech
⊂ ℂ zbiór otwarty, : → ℂ funkcja ciągła. Wtedy posiada funkcję pierwotną wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej krzywej regularnej Γ zamkniętej i przebiegającej w zachodzi:
= 0.
Dowód:
" ⇒ " wynika z twierdzenia 46.
" ⇐ " Możemy założyć, że jest obszarem. Ustalmy ∈ . Dla każdego ∈ istnieje krzywa regularna # o początku w i końcu w taka, że |# | ⊂ . Kładziemy
≔
% &%
jest dobrze zdefiniowane, istotnie jeśli Γ i Γ są krzywymi regularnymi w , to Γ + −Γ jest krzywą zamknięta. Zatem:
% &% = 0
'() * +
−
= 0
*
=
*
Weźmy
∈ , ∆ ∈ ℂ dostatecznie małe. Mamy
+ ∆ −
=
−
=
−
=
-.∆
-
-./ -, -.∆ 0
-
/ -, -'∆ 0
Angelika Mirowska
Zatem:
+ ∆
∆
∆
&%
/ -, -'∆ 0
/ -, -'∆ 0
/ -, -'∆ 0
( %
+&%
/ -, -'∆ 0
|
∆
∆ | 1 &ł. / ,
∆ 0 ∙ sup| %
| 1
1 |∆ | ∙ sup | %
|
∆
∆
7
∆
7 1 sup | %
| 8999: 0
|∆ |→
z ciągłości f w . ∎
Twierdzenie 49 (Cauchy’ego dla prostokąta): Niech
⊂ zbiór otwarty, < ⊂ prostokąt normalny, : → funkcja holograficzna. Wtedy:
&
0.
=>
Dowód:
Niech ? @ 0. Niech A
&ł. B< , C średnica < . Dzielimy < na cztery prostokąty normalne przystające, jak na rysunku, < , < , <D , <E . Zauważmy, że
∑IJK G =>H
G
Niech < będzie tym prostokątem spośród
-
=> .
< , … , <E , dla którego | G => - | ma największą wartość. Wtedy: H
E
7
7 1 M N
N 1 4 7
7 .
=>
=> -
JK
H
=>
Q
Mamy & B<
P, a średnica < jest równa .
Postępując z < tak, jak z < dostaniemy prostokąt normalny < ⊃ < taki, że SG => S 1 4 TG => T 1 4 TG
T, &ł. B<
P
-
=>U
U, średnica <
QU.
Kontynuując to postepowanie dostaniemy zstępujący ciąg prostokątów normalnych
< ⊃ < ⊃ < ⊃ ⋯ ⊃ < P
Q
W ⊃ ⋯ takich, że SG => S 1 4W TG => T, &ł, B< X
W
X, średnica <W
X.
Ponieważ średnica <W 899: 0, więc w myśl twierdzenia Cantora istnieje ∈ , takie, że W→Y
⋂YWK <W [ \.
Ponieważ jest różniczkowalna w , więc f można zapisać w postaci:
∆
∆
] ∆ ∆
Gdzie 0
^ 0
lim∆ → ^ ∆ . Zatem pisząc ∆
mamy:
^
, ∈ .
Angelika Mirowska
&
(
^
+&
^
& .
=>X
=>X
=>X
Ponieważ ^ jest ciągła i równa zero w zerze, więc istnieje bc taka, że ∈
, b ⇒ |^
| < eQP.
Niech f będzie takie, że <W ⊂ c
, b
g
. Zatem
N
^ −
−
& N ≤ &ł. (B<W + ∙ sup |^
||
| 1
g
=>Xg
∈(=>Xg+
A C
AC ?
?
1 2W
sup |^
| 1
.
g 2Wg ∈i
4Wg AC = 4Wg
g,j
Zatem SG => S ≤ 4Wg ∙ e = ?
EX
. Z dowolności ? mamy G
& = 0 ∎
g
=>
Angelika Mirowska