Analiza zespolona
WYKŁAD 2 (08.10.2013r.)
1
1
: +
+
− 2 = 4
≔ 0,0,1
ℂ = ℝ =
, : , ∈ ℝ
: \
→ ℂ
Niech ∈ \
.
Prowadzimy prostą przez o !. Prosta ta przetnie płaszczyznę = 0 w dokładnie jednym punkcie
" = , , 0 . Odwzorowanie definiujemy wzorem ! = + # . Wyznaczymy współrzędne .
Niech ! ≔
, , .
Definiujemy prostą parametryczną: $ % = + % ! −
= ∗ , % ∈ ℝ
∗ = 0,0,1 + %' , , − 0,0,1 ( = 0,0,1 + '% , % , % − 1 ( = % , % , 1 + % − 1
$ % leży w płaszczyźnie = 0 dokładnie wtedy, gdy 1
1 + % − 1 = 0 ⟺ 1 = % 1 − ⟺ % = 1 −
Niech %* = % = +
+,-
$ %* = 1 − ,1 − ,0
= /
+,-
Zatem .
jest wzorem na .
= 0
+,-
Inaczej mówiąc
, , = / + # 0
+,-
+,-.
Wyznaczymy teraz odwzorowanie ℎ: ℂ → \
, które będzie odwrotne do . Wybieramy dowolny punkt 2 = + # ∈ ℂ. Kładziemy " =
, , 0 . Prowadzimy prostą przez " i . Prosta ta przecina w punkcie i w pewnym punkcie ∈ \
. Definiujemy ℎ 2 ≔ !.Wyznacymy współrzędne odwzorowania ℎ. Niech 2 = + # , " =
, , 0 , $ % = + % " − , % ∈ ℝ.
$ % = 0,0,1 + %' , , 0 − 0,0,1 ( = % , % , 1 − %
Angelika Mirowska
Szukamy % ∈ ℝ takich, że $ % ∈ .
: + +
=
$ % ∈ ⟺ %
+ %
+ 1 − % = 1 − %
%
+ %
+ 1 − 2% + % = 1 − %
%
+
+ 1 − % = 0
% % |2| + 1 − 1 = 0
1
% = 0 ∨ t = 1 + |z| =:%*
x
y
1
x
y
|z|
$ %* = 1 + |z| ,1 + |z| ,1 − 1 + |z| = 91 + |z| ,1 + |z| ,1 + |z| : Zatem współrzędne ℎ dane są wzorem: x
> =
<
1 + |z|
y
=
=
1 + |z|
<
|z|
; = 1 + |z|
Chcemy rozszerzyć odwzorowanie do punktu . Niech ∞ oznacza dowolny punkt nie leżący na ℂ.
Kładziemy ℂ@ = ℂ ∪ ∞ . ℂ@ nazywamy płaszczyzną domkniętą. Odwzorowania i ℎ rozszerzamy do odwzorowań : → ℂ@, ℎ: ℂ@ → . Kładąc
= ∞, ℎ ∞ = . Niech BC oznacza metrykę euklidesową w ℝC. Definiujemy B: ℂ@ × ℂ@ → ℝE* wzorem B 2+, 2 = BC ℎ 2+ , ℎ 2
.
Ćwiczenie:
(ℂ@, B jest przestrzenią metryczną.
Ćwiczenie:
(ℂ@, B jest homeomorficzna z , BC
Własność 6:
Jeśli 2+, 2 ∈ ℂ, to
|2
B 2
+ − 2 |
+, 2
=
F1 + |2+| F1 + |2 |
Jeśli 2 ∈ ℂ, to
1
B 2, ∞ =
F1 + |2|
Angelika Mirowska
-Niech 2 = + # ∈ ℂ. Wtedy:
x
y
|z|
'B 2, ∞ ( = BC'ℎ 2 , ℎ ∞ ( = GBC H9 1 + |z| ,1 + |z| ,1 + |z| :,(0,0,1 IJ
x
y
|z|
= (1 + |z| + (1 + |z| + 91 + |z| − 1: x
y
1
|z| + 1
1
= (1 + |z| + (1 + |z| + (1 + |2| = 1 + |z| = 1 + |z|
- 2+, 2 ∈ ℂ, którym odpowiadają "+, " leżące płaszczyźnie = 0
@
1
!
@ +@ = BC( ,!+ = B(∞,2+ =
F1 + |2|
@@"@+@@ = KBC'(0,0,1 ,( , ,0 (L = + + 1 = |2| + 1 ⟹ @@"@+@@ = F1 + |2|
Zatem:
@@@@@ @@@@@
@@
"
"
"
@
+
+
@@ ∙ @ !
@ +@ = 1 = @ "
@@@@ ∙ @ !
@@ ⟹ @ !@@ = @ !@+@
Zatem trójkąty "+" i !+! są podobne. Stąd
@@"@+@@ "@+@"
@ @@
@ !
@@ = !@+@@!
@@ @
F1 + |2+|
|2+ − 2 |
|2+ − 2 |
1
= B(2
∎
+, 2
⟹ B(2+, 2 = F1+|2+| F1+|2 |
F1 + |2 |
Angelika Mirowska