WYKŁAD
Analiza zespolona
WYKŁAD 4 (22.10.2013r.)
Dowód: (twierdzenia 15)
:
3 + 4
3
= 5 − 3,
∈ ℝ 5
3 5 + 20 3
=
3
5 ∙ 5 + 3 = 5
5 − 3 + 3 + 20
29
29
3
3
3
3
5
5 − 3
= 5 1 + 5 − 3" = 5 + 5 − 3
Jeśli = 0, to ℎ jest liniowe. Załóżmy, że ≠ 0.
+ )
+ )
+ + ) −
) −
1
) −
1
%& '( : + = ∙ + = ∙
+
= *1 +
∙ + + = + , ∙
+
Wtedy
+ )
) −
1
+ = +
,
∙
+
Zatem ℎ = ℎ- ∘ ℎ, ∘ ℎ/, gdzie
ℎ/0 1 = + 23 (liniowe)
ℎ,0 1 = -4 (inwersja)
ℎ-0 1 = 5 + 63752 ∙
3
38
(liniowe)
Twierdzenie 16:
Każda homografia jest homeomorfizmem ℂ: na ℂ:.
Dowód:
W myśl poprzedniego twierdzenia wystarczy wykazać, e przekształcenia liniowe i inwersja są homeomorfizmami ℂ: na ℂ:.
Dowód dla przekształceń liniowych – praca domowa Niech ℎ0 1 = -4. Niech ; ∈ ℂ\{0}. Wtedy funkcja ℂ\{0} ∋ ⟼ ℎ0 1 = -4 jest ciągła w ; w matryce euklidesowej. Ponieważ metryka sferyczna i euklidesowa są równoważne w ℂ, więc funkcja ℎ jest ciągła w ; w metryce sferycznej. Zatem ℎ jest ciągła w ℂ\{0} w metryce sferycznej.
Zauważmy, że dla ∈ ℂ\{0} mamy:
Angelika Mirowska
1
D1D
0
1
1
, ∞1 =
=
| |
=
= * , 0+ = Fℎ0 1, ℎ0∞1G
B| |, + 1 B1 + | |,
| |
E1 + | |,
| |,
|
0
− H|
, H1 =
B1 + | |,B1 + |H|,
Stąd lim4→M ℎ0 1 = ℎ0∞1 w metryce sferycznej.
Podobnie dla ∈ ℂ\{0} mamy:
0
1
1
1
1
1
, 01 =
=
=
=
= * , ∞+ = Fℎ0 1, ℎ001G
B1 + | |, B1 + | |,
,
| |
E1 + | |,
| |,
E1 + D1D
Zatem lim4→; ℎ0 1 = ℎ001 w metryce sferycznej.
Zatem mamy: ℎ jest ciągła w ℂ:.
Wykażemy, że ℎ = ℎ7-, co zakończy dowód.
Q
= 0: ℎFℎ001G = ℎ0∞1 = 0
O
= ∞: ℎFℎ0∞1G = ℎ001 = ∞
ℎFℎ0 1G =
P
1
1
O ∈ ℂ\{0}: ℎ0ℎ0 1 = ℎ * + = 1 =
N
Czyli ℎ jest odwrotne do samego siebie.
Twierdzenie 17:
Zbiór wszystkich homografii wraz z operacją składania i z wyróżnioną homografią 0 1 =
stanowi grupę.
Dowód:
1) Jeśli ℎ jest homografią, to oczywiście ℎF 0 1G = Fℎ0 1G = ℎ0 1, czyli ℎ ∘ = ∘ ℎ = ℎ
2) Jeśli ℎ-0 1 = 5R4S6R , ℎ
3
,0 1 = 584S68 są homografiami, to ℎ- ∘ ℎ,0 1 = 54S6
R4S2R
384S28
34S2, gdzie
T
)U = V - )-W ∙ V , ),W
-
-
,
,
Stąd
X T
)U ≠ 0
3) Jeśli ℎ0 1 = 54S6
34S2 jest homografią, to ℎ7-0 1 = 724S6
3475 . D−
)
− D =
− ) ≠ 0
Twierdzenie 18:
Niech Y, Z ∈ ℝ, [ ∈ ℂ, |[|, − YZ > 0. Równanie Y ̅ + [ + [: ̅ + Z = 0 jest ogólnym równaniem prostej, gdy Y = 0 i ogólnym równaniem okręgu gdy Y ≠ 0.
Definicja:
Okręgiem uogólnionym nazywamy okrąg lub prostą z dołączonym punktem ∞.
Twierdzenie 19:
Każda homografia przeprowadza okrąg uogólniony na okrąg uogólniony Angelika Mirowska
Dowód:
W myśl poprzednich twierdzeń wystarczy wykazać, że przekształcenia liniowe i inwersja przekształcają okręgi uogólnione na okręgi uogólnione.
Dla przekształceń liniowych – praca domowa Niech ℎ0 1 = -4. Rozważmy okrąg uogólniony ^: Y ̅ + [ + [: ̅ + Z = 0. Weźmy ∈ ^\{0, ∞}.
Dzielimy powyższe równanie stronami przez ∙ ̅. Dostajemy: 1
1 1
Y + [ * ̅+ + [:1 + Z = 0
Y + [ℎ
: (
::: )
:: + [:ℎ( ) + Zℎ( )ℎ:(
::: )
:: = 0
Rozważmy okrąg uogólniony
^_: Y + [H
` + [:H + ZHH
` + Z = 0
Zatem mamyℎ(^\{0, ∞}) ⊂ ^′.
Jeśli 0 ∈ ^, to Z = 0, więc ℎ(0) = ∞ ∈ ^′.
Jeśli ∞ ∈ ^, to Y = 0, więc ℎ(∞) = 0 ∈ ^′.
Stąd ℎ(^) ⊂ ^′.
Ponadto, korzystając z wyżej udowodnionej części ℎ(^_) ⊂ ^ ⟹ ^_ ⊂ ℎ(^)? ⟹ ^_ = ℎ(^).
Angelika Mirowska