1. Zadanie wstępne
Nr
Zadanie
Odp.
√
√
√
1
Obliczyć
−i
− 2 + 2 i
2
2
√
√
Rozwiązanie:
2 − 2 i
2
2
−i = 1 · (cos 3 π + i sin 3 π) 2
2
√
3 π + 2 kπ
3 π + 2 kπ
−i = cos 2
+ i sin 2
2
√
2
√
z
2
2
0 = cos 3 π + i sin 3 π = −
+
i
4
4
2
2
√
√
z
2
2
1 = cos 7 π + i sin 7 π =
−
i
4
4
2
2
√
2
Wyznaczyć pole trójkąta o wierzchołkach O(0 , 0 , 0) , A(1 , − 1 , 1) , 2
2
B( − 1 , 2 , − 1) .
Rozwiązanie:
−→
−
−
→
P = 1 |OA × OB|
2
i
j
k
−→
−
−
→
OA × OB =
1 − 1
1 = [ − 1 , 0 , 1]
− 1
2 − 1
√
q
P = 1
( − 1)2 + 02 + 12 =
2
2
2
(
x − y + z = 1
3
Wyznaczyć rozwiązanie ogólne układu równań
x = t + 2
x + y − 3 z = 3
y = 2 t + 1
Rozwiązanie:
z = t , t ∈
z = t = ⇒ x = 1 + y − t = ⇒ 1 + y − t + y − 3 t = 3 = ⇒ y = 2 t + 1 = ⇒
R
x = t + 2
4
W jakim punkcie prosta l : x − 1 = y = z przecina płaszczyznę xOy ?
(1 , 0 , 0)
Rozwiązanie:
z = 0 = ⇒ y = 0 , x = 1
√
5
Narysować i nazwać powierzchnie S 1 : z =
x 2 + y 2 , S 2 : x 2 + y 2 = 4
S 1 - stożek
Rozwiązanie:
S 2 - walec
Są to powierzchnie obrotowe, oś obrotu Oz . Przecinamy powierzchnie płaszczyzną y = 0
√
(
z =
x 2 + y 2
S 1 :
= ⇒ z = |x|
y = 0
(
x 2 + y 2 = 4
S 2 :
= ⇒ x 2 = 4 = ⇒ x = ± 2
y = 0
1
2. Rozwiązać równanie z 4 + 8 z = 0 , z ∈ C
Rozwiązanie:
z( z 3 + 8) = 0 = ⇒
z = 0 lub z 3 + 8 = 0
Rozwiązujemy równanie:
√
z 3 + 8 = 0 = ⇒ z = 3 − 8
− 8 = 8(cos π + i sin π) postać trygonometryczna
π + 2 kπ
π + 2 kπ
zk = 2 cos
+ i sin
, k = 0 , 1 , 2
3
3 √
√
z
3
0 = 2(cos π + i sin π ) = 2( 1 + i
) = 1 + i 3
3
3
2
2
z 1 = 2(cos π + i sin π) = 2( − 1) = − 2
√
√
z
3
2 = 2(cos 5 π + i sin 5 π ) = 2( 1 − i
) = 1 − i 3
3
3
2
2
Odpowiedź:
√
√
z 1 = 0 , z 2 = 1 + i 3 , z 3 = − 2 , z 4 = 1 − i 3
2
x +
y +
z =
2
100
2 x − 3 y
+ 2 z = − 6
100
3 x − 2 y −
z =
0
Rozwiązanie:
Obliczamy
1
1
1
|A| = 2 − 3
2 = 3 + 6 − 4 + 9 + 4 + 2 = 20 6= 0
3 − 2 − 1
Układ równań jest układem Cramera.
2
1
1
100
|A
1 | =
− 6
− 3
2
= 20
100
100
0
− 2 − 1
1
2
1
100
|A
2 | =
2 − 6
2
= 40
100
100
3
0
− 1
1
1
2
100
|A
3 | =
2 − 3 − 6
= − 20
100
100
3 − 2
0
|A
1
x
1 |
=
=
|A|
100
|A
2
y
2 |
=
=
|A|
100
|A
1
z
3 |
=
= −
|A|
100
Odpowiedź:
Układ ma jedno rozwiązanie:
1
x = 100
2
y = 100
1
z = − 100
3
4. Wyznaczyć równanie płaszczyzny zawierającej prostą (
x + y − 2 z = 0
l :
i punkt A(1 , 1 , − 1) .
2 x − y + z = 1
Rozwiązanie:
Równanie płaszczyzny przechodzącej przez prostą l (pęk płaszczyzn): π : α( x + y − 2 z) + β(2 x − y + z − 1) = 0
α(1 + 1 + 2) + β(2 − 1 − 1 − 1) = 0
A ∈ π
4 α − β = 0
β = 4 α
Wybieramy dowolną niezerową wartość np. α = 1 , wtedy mamy β = 4.
( x + y − 2 z) + 4(2 x − y + z − 1) = 0
9 x − 3 y + 2 z − 4 = 0
Odpowiedź:
Równanie płaszczyzny π : 9 x − 3 y + 2 z − 4 = 0
4
5. Obliczyć odległość punktu P (2 , 1 , 0) od prostej l :
= y = z − 1 .
2
Rozwiązanie:
−
→
v = [2 , 1 , 1]
wektor kierunkowy prostej l
Z równania prostej: x = 0 = ⇒ y = 0 , z = 1
Punkt A(0 , 0 , 1) leży na prostej l .
Oznaczmy l0 - rzut prostej l na płaszczyznę π.
−→
|−
→
v × AP |
d =
odległość punktu P od prostej l
|−
→
v |
−→
AP = [2 , 1 , − 1]
i
j
k
−
→
−→
v × AP = 2 1
1 = [ − 2 , 4 , 0]
2 1 − 1
−→
√
q
|−
→
v × AP | =
( − 2)2 + 42 + 02 =
20
q
√
( − 2)2 + 42 + 02
s
20
10
d =
√
= √
=
22 + 12 + 12
6
3
Odpowiedź:
Szukana odległość:
q
d =
10
3
5
6. Wyznaczyć równania prostych stycznych do okręgu x 2 + y 2 = 4 y przechodzących przez punkt A(0 , 4) .
Rozwiązanie:
Przekształcamy równanie okręgu:
x 2 + y 2 = 4 y = ⇒ x 2 + y 2 − 4 y = 0 = ⇒ x 2 + y 2 − 4 y + 4 − 4 = 0 = ⇒ x 2 + ( y − 2)2 = 4
√
Środek okręgu jest w punkcie O(0 , 2) , jego promień R =
4 = 2
Prosta pionowa przechodząca przez punkt A : x = 0 nie jest styczna do okręgu.
l : y = ax + b - równanie prostej stycznej A ∈ l = ⇒ 4 = b = ⇒
l : y = ax + 4
Prosta jest styczna do okręgu gdy odległość d środka okręgu od prostej jest równa R .
l : ax − y + 4 = 0
|a · 0 − 2 + 4 |
2
d =
√
= √
a 2 + 12
a 2 + 1
2
d = R = ⇒ √
= 2 = ⇒
a 2 + 1
√a 2 + 1 = 1 = ⇒ a 2 + 1 = 1 = ⇒ a 2 = 0 = ⇒ a = 0
stąd:
l : y = 4
Odpowiedź:
Jest jedna prosta styczna do okręgu:
l : y = 4
(ponieważ punkt A leży na okręgu)
6