Nazwisko i imię

Nr albumu

Nr grupy

07/08 WdM Egz. 2

(p ∨ q) ⇒ r

1. Sprawdzić, czy schemat

jest regułą wnioskowania? Uzasadnić swoje stwierdzenie.

p ⇒ r

S

T

2. Wyznaczyć sumę

A

A

t∈T

t

i iloczyn

t∈T

t

rodziny {At}t∈T , gdzie At = {x ∈ R: t2 ¬ x ¬ (t + 1)2}, t ∈ T = N.

3. Indukcyjnie wykazać, że liczba 102n − (−1)n jest podzielna przez 101 dla każdej liczby naturalnej n.

√

4. Dana jest funkcja f : R → R, gdzie f(x) = x/ x2 + 2. (a) Pokazać, że funkcja f jest różnowartościowa.

(b) Wyznaczyć f (R). (c) Czy funkcja f : R → f(R) jest odwracalna? (d) Wyznaczyć f−1(x) dla funkcji f: R →

f (R), jeśli jest ona odwracalna.

5. Wykazać, że dla funkcji f : X → Y oraz podzbiorów B1 i B2 zbioru Y mamy f−1(B1 ∪ B2) = f−1(B1) ∪

f −1(B2).

6. Wykazać, że w zbiorze liniowo uporządkowanym element maksymalny jest elementem największym.

7. Wykazać, że zbiory N i N × N są równoliczne.

8. Wskazać przykład funkcji ustalającej równoliczność zbiorów h−1; 1i i h−1; 1i − {0}. Uzasadnić poprawność swojego przykładu.