(tutaj proszę wpisać swoje imię i nazwisko)
Test T3 z MATEMATYKI (DRUGI PÓŁSEMESTR PRZEDMIOTU) Proszę zaznaczyć właściwą odpowiedź. W każdym pytaniu tylko jedna odpowiedź jest poprawna.
Pytanie 1.
Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji 2
3
f ( x
, y) = x + xy + y wynoszą:
∂ f
f
∂
f
∂
f
∂
a)
= 2 x +1;
2
= 1+ 3 y
b)
= 2 x + y ;
2
= x + 3 y
∂ x
y
∂
x
∂
y
∂
f
∂
f
∂
f
∂
f
∂
c)
2
= 2 x + 3 y ;
2
= 2 x + 3 y
d)
2
= 2 x +1+ 3 y ;
2
= 2 x + 1+ 3 y
x
∂
y
∂
x
∂
y
∂
Pytanie 2.
2
Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji f ( x , y) x+ y
= e
wynoszą:
f
∂
f
∂
f
∂
f
∂
a)
1+2 y
= e
;
1+2 y
= e
b)
1+2 y
= 1
( + 2 y) e
;
1+2 y
= 1
( + 2 y) e
x
∂
y
∂
x
∂
y
∂
2
f
∂
2
f
∂
2
f
∂
2
f
∂
c)
x+ y
= e
;
x+ y
= e
d)
x+ y
= e
;
= 2 x+ y
ye
x
∂
y
∂
x
∂
y
∂
Pytanie 3.
Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji f ( x , y) = ( 2
5 x y + )4
3
1 wynoszą:
∂ f
∂ f
a)
= ( 2
4 5 x y + )3
3
1 ;
= 4( 2
5 x y + )3
3
1
∂ x
∂ y
∂ f
∂ f
b)
= 10 x( 2
5 x y + )3
3
1 ;
2
= 15 y ( 2
5 x y + )3
3
1
∂ x
∂ y
∂ f
∂ f
c)
2
= 30 xy ( 2
5 x y + )3
3
1 ;
2
= 30 xy ( 2
5 x y + )3
3
1
∂
x
∂ y
∂ f
∂ f
d)
3
= 40 xy ( 2
5 x y + )3
3
1 ;
2
2
= 60 x y ( 2
5 x y + )3
3
1
∂ x
∂ y
Pytanie 4.
Pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji 3
3
3
f ( x , y
, z) = x + y + z wynoszą: 2
∂ f
2
∂ f
2
∂ f
2
2
2
2
2
2
∂ f
∂ f
∂ f
∂ f
∂ f
∂ f
a)
= 6 x ;
= 6 y ;
= 6 z ;
=
=
=
=
=
= 0
x 2
∂
y 2
∂
z 2
∂
∂ x∂ y ∂ y∂ x ∂ x∂ z ∂ z∂ x ∂ ∂
y z
∂ ∂
z y
2
∂ f
2
∂ f
2
∂ f
2
2
2
2
2
2
∂ f
∂ f
∂ f
∂ f
∂ f
∂ f
b)
2
= 3 x ;
2
= 3 y ;
2
= 3 z ;
=
=
=
=
=
= 0
2
x
∂
2
y
∂
2
z
∂
∂ x∂ y ∂ y∂ x ∂ ∂
x z
∂ ∂
z x
∂ ∂
y z
∂ ∂
z y
2
∂ f
2
∂ f
2
∂ f
c)
= 6( x + y + z) ;
= (
6 x + y + z) ;
= 6( x + y + z) ; 2
x
∂
2
y
∂
2
z
∂
2
2
2
2
2
2
∂ f
∂ f
∂ f
∂ f
∂ f
∂
=
=
=
=
=
f =18
∂ x∂ y ∂ y∂ x ∂ ∂
x z
∂ ∂
z x
∂ y∂ z ∂ z∂ y 2
∂ f
2
∂ f
2
∂ f
d)
= 3 x + y + z ;
= 3 x + y + z ;
= 3 x + y + z ; 2
( 2 2 2)
2
( 2 2 2)
2
( 2 2 2)
x
∂
y
∂
z
∂
2
2
2
2
2
2
∂ f
∂ f
∂ f
∂ f
∂ f
∂ f
=
=
=
=
=
= 6( x + y + z) x
∂ y
∂
y
∂ x
∂
x
∂ z
∂
z
∂ x
∂
y
∂ z
∂
z
∂ y
∂
1
Pytanie 5.
Pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji 2
3
f ( x
, y) = x y wynoszą: 2
∂ f
2
∂ f
2
2
∂ f
∂ f
a)
3
= y ;
2
= x ;
=
= 0
2
x
∂
2
y
∂
∂ x∂ y ∂ y∂ x 2
∂ f
2
∂ f
2
2
∂ f
∂ f
b)
3
= 2 y ;
= 6 x 2 y ;
2
=
= 6 xy
2
x
∂
y 2
∂
x
∂ y
∂
y
∂ x
∂
2
∂ f
2
∂ f
2
∂ f
2
∂ f
c)
2
= 6 xy ;
2
= 6 xy ;
=
= 12 y
2
x
∂
2
y
∂
x
∂ y
∂
y
∂ x
∂
2
∂ f
2
∂ f
2
2
∂ f
∂ f
d)
3
= 2 xy ;
2
2
= 3 x y ;
2
=
= 6 xy
2
x
∂
2
y
∂
x
∂ y
∂
y
∂ x
∂
Pytanie 6.
Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji f ( x
, y) = sin3 3
( x + 2 y) wynoszą: f
∂
f
∂
a)
= 3sin 2(3 x + 2 y) ;
= 3sin 2 (3 x + 2 y) x
∂
y
∂
f
∂
f
∂
b)
= 9sin 2 3
( x + 2 y) ;
= 6sin 2(3 x + 2 y) x
∂
y
∂
f
∂
f
∂
c)
= 9 3
( x + 2 y) ⋅sin 2 (3 x + 2 y) ;
= (
6 3 x + 2 y) ⋅ sin 2 (3 x + 2 y) x
∂
y
∂
f
∂
f
∂
d)
= 9sin 2(3 x + 2 y)⋅co 3
s( x + 2 y) ;
= 6sin2 3
( x + 2 y) ⋅ co 3
s( x + 2 y)
x
∂
y
∂
Pytanie 7.
Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji f ( x
, y
x+ y
) = 2
log
wynoszą:
2 ( x 2 y )
∂ f
∂ f
x+ y
2
x+ y
2
a)
= 2
ln 2 +
;
= 2 ln 2 +
∂ x
x ⋅ ln 2
∂ y
x ⋅ ln 2
∂ f
∂ f
x+ y
2
1
x+ y
2
2
b)
= 2 ln2⋅log x y
;
= 2 ln2⋅log x y
2 (
)+
2 (
)+
∂
x
x ⋅ ln 2 ∂ y
y ⋅ ln 2
∂ f
∂ f
x+ y
2
1
x+ y
2
1
c)
= 2 ln 2⋅log x y
;
= 2 ln2⋅log x y
2 (
)+
2 (
)+
∂
2
x
2 xy ⋅ ln 2 ∂ y
x ⋅ ln 2
∂ f
∂ f
x+ y
2
1
x+ y
2
1
d)
= 2 ln 2⋅log x y
;
= 2 ln2⋅log x y
2 (
)+
2 (
)+
2
2
∂ x
x y ⋅ ln 2 ∂ y
x y ⋅ ln 2
Pytanie 8.
Pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji 3
3
f ( x , y)
−
= x y wynoszą:
2
∂ f
2
∂ f
2
2
∂ f
∂ f
a)
−3
= y ;
3
= x ;
=
= 0
2
∂ x
2
y
∂
∂ x∂ y ∂ ∂
y x
2
∂ f
2
∂ f
2
2
∂ f
∂ f
b)
3
6
−
= xy ;
3
5
12
−
= x y ;
2
4
=
= 9
−
− x y
2
∂ x
2
∂ y
∂ x∂ y ∂ y∂ x 2
∂ f
2
∂ f
2
2
∂ f
∂ f
c)
2
4
= 9
−
− x y ;
2
4
= 9
−
− x y ;
5
=
72
−
= xy
2
∂ x
2
∂ y
∂ ∂
x y
∂ y∂ x
2
∂ f
2
∂ f
2
2
∂ f
∂ f
d)
2
3
3
−
= x y ;
3
4
= 3
−
− x y ;
2
4
=
= 9
−
− x y
2
∂ x
2
∂ y
∂ x∂ y ∂ y∂ x 2