Budownictwo
Lista nr 10 – matematyka
Zadanie 1. Zapisa układy równa liniowych AX = B dla nastpujcych macierzy A i B i rozwiza je: 1 −1 3
2
2 − 5
1
3 1
1
a) A =
, B =
; b) A =
, B =
; c) A = 2
7
5 , B = 1 ;
4 −10
3
9 3
3
2 − 2 6
− 5
1 −1
1
−1
2
1
2
3
− 4
4
5 − 6 4
3
3 −1 − 7
2
0
0
1
−1 1
− 3
d) A = 3 − 3 2 , B = 2 ; e) A =
, B =
; f) A =
, B =
;
6
2
−1 −1
3
1
3
0
− 3
1
4 − 5 2
1
2 − 2
2
− 2
5
0 − 7
3
1
− 3
1 −1
1
−1
2
1
2
3
− 4
4
1 −1
1
3
3 −1 − 7
2
0
0
1
−1 1
− 3
g) A = 1 1
2
B = −1 ; h) A =
B =
; i) A =
B =
.
6
2
−1 −1
3
1
3
0
− 3
1
2
0
− 2
2
2 − 2
2
− 2
5
0 − 7
3
1
− 3
Zadanie 2. Czy układ równa liniowych AX = B posiada rozwi zanie? Czy jest ono jedyne? Wyznaczy to rozwi zanie lub wszystkie rozwi zania, je li jest ich wi cej: 3 −1 1
2
1
2
− 3
2
a) A =
, B =
; b) A =
, B =
;
6 − 2 2
1
5 −1 1
1
2 − 3
8
3
1
1
c) A = 1
1 , B = −1 ; d) A = 1 −1 , B = − 6 ; 5 −1
7
2
5
7
1
1
1
−1
3 − 5
2
4
2
2 −1 1
2
e) A =
, B =
; f) A = 7 − 4
1
3 , B = 5 ;
5 −1 3
3
5
7
− 4 − 6
3
7 − 2 4
5
3 − 2 5 4
2
g) A = 6 − 4 4 3 , B = 3 .
9 − 6 3 2
4
Zadanie 3. W podanych układach równa liniowych okre li liczb rozwi za (nie rozwi zuj c ich) x
x
x
x
2 x
x
x
x
1 + 2 2 −
3 +
4 = 1
1 −
2 + 2 3 +
4 = 1
a) 3 x
x
x
x
; b) x
x
x
x
.
1 −
2 −
3 + 3 4 = 2
1 +
2 +
3 −
4 = 2
5 x
x
x
x
3 x
x
x
x
1 + 5 2 − 4 3 −
4 = 0
1 −
2 + 5 3 +
4 = 4
Zadanie 4. Metod eliminacji Gaussa rozwiza układ równa AX = B: 1 2 3 4 5
13
1
2
− 3 4
−1
−1
2 1 2 3 4
10
2 −1 3
− 4 2
8
a) A = 2 2 1 2 3 , B = 11 ; b) A = 3 1
−1 2
−1 , B = 3 .
2 2 2 1 2
6
4
3
4
2
2
− 2
2 2 2 2 1
3
1 −1 −1
2
− 3
− 3
Zadanie 5. Przy pomocy macierzy odwrotnej rozwi za układy równa : x − 2 y + 3 z = 1
x
x
1 − 7 2 = 2
a)
; b) 2 x − y + 5 z = 1 .
2 x
x
1 + 3 2 = 5
3 x − 4 y + 8 z = 3
Zadanie 6. Dla jakich warto ci parametru p∈ R podane układy równa s układami Cramera: (
2 px + 4 y − pz = 4
px + 3 y + pz = 0
p + )
1 x
− py = 1
a)
; b)
2 x + y + pz = 1 ; c) − px
+ 2 z = 3 .
2 x + ( p − )
1 y = 3 p
(4 + 2 p) x + 6 y + pz = 3
x + 2 y + pz = p