Funkcja liniowa. Układy równań liniowych 1. Dla jakich wartości parametru m funkcja y = (3 m + 2) x − 1 jest a) malejąca
b) różnowartościowa
c) stała?
2. Wyznacz funkcję liniową, która przekształca wzajemnie jednoznacznie przedział h− 1 , 2 i na przedział h 1 , 3 i 3. Napisz wzór określający funkcję g( x) odwrotną do funkcji 3
1
a) f ( x) = − x + 1
b) f ( x) =
− 4 x.
4
2
Narysuj wykresy funkcji danej i odwrotnej.
4. Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i 1
π
a) prostopadłej do prostej y = − x + 2, b) tworzącej z prostą x = 2 kąt o mierze
.
3
3
5. Rozwiąż równanie z niewiadomą x. Przeprowadź dykusję istnienia rozwiązań i ich liczby w zależności od parametrów
a) ax − a 2 = 2 x − 4
b) m 2 x + 3 n 2 = 3 m 2 − n 2 x − 2 mnx.
6. Kawałek stopu miedzi z ołowiem waży 12 kg i zawiera 45% miedzi. Ile kilogramów czystego ołowiu należy stopić z tym stopem, aby nowy stop zawierał 30% miedzi?
(6kg)
7. W dwóch naczyniach znajduje się roztwór kwasu, w pierwszym naczyniu 10-procentowy, a w drugim 50-procentowy. Po ile litrów kwasu należy odlać z kazdego naczynia, aby po zmieszaniu odlanego kwasu otrzymać 140 litrów 30% roztworu?
(po 70 l)
8. Ktoś kupił dwa pakiety akcji za 1000 zł i sprzedał je z łącznym zyskiem 8%. Ile zapłacił za każdy pakiet, jeśli pierwszy sprzedał z zyskiem 20% a drugi ze stratą 10 %?
(600 i 400zł.)
9. Rozwiąż układ równań
y + x − 1 = 0
y − 2 x + 1 = 0
a)
b)
|y| − x − 1 = 0
y − |x| − 1 = 0
Rozwiązania zilustruj graficznie.
10. Na płaszczyźnie dane są zbiory:
A = {( x, y) : x + y = 3 , x ∈ R , y ∈ R }, B = {( x, y) : x − y − 2 > 0 , x ∈ R , y ∈ R }.
Na odzielnych rysunkach naszkicuj zbiory: A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A.
2 x + 3 y
= 4
11. Dla jakich m i n układ równań
z niewiadomymi x i y jest: oznaczony, nieozna-4 x + my
= 2 n
czony, sprzeczny?
x − ay = 1
12. Dla jakich wartości a układ równań
ma co najmniej jedno rozwiązanie?
ax − y = 1
13. Dla jakich wartości m punkt przecięcia się prostych o równaniach: x − y + m = 0 , mx − y − 4 = 0 należy do prostej o równaniu 2 x − y − 2 = 0?
14. Zmieszano dwa rodzaje roztworów soli kuchennej, roztwór o stężeniu 10% z roztworem o stężeniu 25%. W
wyniku otzrymano 12 kg roztworu o stężeniu 15%. Oblicz masę każdego z roztworów.
(8 i 4 kg)
15. W liczbie dwucyfrowej cyfra dziesiątek jest o 3 większa od cyfry jedności. Liczba utworzona z tych cyfr jest mniejsza od 63. Jaka to liczba? Podaj wszystkie rozwiązania.
(30,41,52)
16. Rozwiąż układ równań:
x + y + z = 0
x − y + z = 3
3 x + 2 y − 5 z = 4
a)
− 3 x + 2 y + 4 z = 0
b)
3 x + 2 y − z = 1
c)
−x + y + 3 z = 1
2 x − 3 y + 3 z = 1
4 x − 2 y − 3 z = − 2
2 x + 3 y − 2 z = 6
KursPG. W G