ZADANIA ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
cz¦±¢ I
Rachunek prawdopodobie«stwa
1. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo zdarzenia, »e spo±ród graj¡cych w bryd»a pierwszy gracz otrzyma a, drugi b, trzeci c, czwarty d asów.
2. W sposób losowy rozmieszczono k identycznych kul w N szuadach. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e w ustalonej szuadzie znajduje si¦ h < k kul?
3. Spo±ród n losów loteryjnych jest m wygrywaj¡cych. Jak¡ szans¦ wygrania ma posiadacz k losów?
4. Dziewczynka zaciska w dªoni 6 dªugich trawek tak, »e wystaj¡ ko«ce i zawi¡zuje je po parze najpierw u góry, potem wystaj¡ce u doªu. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e zawi¡zane trawki utworz¡ jeden okr¡g?
5. W 10-pi¦trowym bloku jad¡ wind¡ 3 osoby. Ka»da z nich wysiada na losowo wybranym pi¦trze. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e:
a) wszystkie trzy wysi¡d¡ na tym samym pi¦trze? b) ka»da z osób wysi¡dzie na innym pi¦trze?
6. Rzucamy trzema kostkami. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e suma oczek wynosi: a) 6; b) 17.
7. Na loterii jest 100 losów, z których 5 wygrywa. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e w±ród trzech kupionych:
a) dokªadnie jeden wygrywa?
b) co najmniej jeden wygrywa?
8. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e losowo wybrana liczba naturalna ze zbioru {1, 2, ..., 60}
jest podzielna przez 3 lub przez 4 lub przez 5.
9. Przypu±¢my, »e 5 m¦»czyzn na 100 i 25 kobiet na 10000 nie odró»nia kolorów. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e wybrany czªowiek, u którego stwierdzono daltonizm jest m¦»czyzn¡. Zakªadamy, »e kobiet i m¦»czyzn jest tyle samo.
10. Jest dziesi¦¢ jednakowych urn. Dziewi¦¢ spo±ród nich zawiera po 2 kule biaªe i 2 czarne, a jedna urna zawiera 5 kul biaªych i 1 czarn¡. Z losowo wybranej urny wylosowano kul¦ biaª¡. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e pochodzi ona z urny, w której jest 5 kul biaªych?
11. Wiemy, »e 95% produkcji jest dobrej jako±ci, a pozostaªe 5% jest zªej jako±ci. Kontrola przepuszcza przedmioty dobrej jako±ci z prawdopodobie«stwem 0,98, a przedmioty zªej jako±ci z prawdopodobie«stwem 0,05. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo tego, »e przedmiot przepuszczany przez kontrol¦ b¦dzie dobrej jako±ci.
12. Student potra odpowiedzie¢ na 10 pyta« z 20 przygotowanych przez egzaminatora. W
czasie egzaminu losuje trzy pytania. Je±li odpowie na wszystkie pytania, to otrzymuje pi¡tk¦. Gdy zna odpowied¹ na dwa, losuje z pozostaªych pyta« trzy dalsze i gdy odpowie na wszystkie pytania, otrzymuje czwórk¦, a gdy odpowie na dwa pytania dostaje trójk¦.
W pozostaªych przypadkach student nie zdaje egzaminu. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo zdania egzaminu.
13. Wykaza¢, »e je»eli zdarzenia A i B s¡ niezale»ne i ich suma jest zdarzeniem pewnym, to P(A) = 1 lub P(B) = 1.
14. Pewna choroba wyst¦puje u 0,1 % ogóªu ludno±ci. Przygotowano test do jej wykrycia.
Test ten daje wynik pozytywny u 97 % chorych i 1 % zdrowych. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo tego, »e losowo wybrana osoba jest chora, je±li test tej osoby daª wynik pozytywny.
15. Rzucamy trzy razy symetryczn¡ monet¡. Okre±lmy zdarzenia: A - 'wypadnie przynaj-mniej jeden orzeª', B - 'wypadnie co najwy»ej jedna reszka'. Czy zdarzenia A i B s¡
niezale»ne?
16. Rzucamy raz symetryczn¡ kostk¦ do gry. Niech A oznacza zdarzenie - 'wyrzucono pa-rzyst¡ liczb¦ oczek' oraz B - 'wyrzucono liczb¦ oczek podzieln¡ przez 3'. Czy zdarzenia A i B s¡ niezale»ne?
17. Rzucamy dwa razy symetryczn¡ kostk¦ do gry. Niech A oznacza zdarzenie 'w pierwszym i drugim rzucie wypadªa ta sama liczba oczek', B za± oznacza zdarzenie 'w drugim rzucie wypadªo co najmniej 5 oczek'. Czy zdarzenia A i B s¡ niezale»ne?
18. Wiemy, »e zdarzenia A, B i C s¡ niezale»ne i ka»de z nich ma prawdopodobie«stwo równe p. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo zdarzenia A ∪ B ∪ C.
19. Na 100 m¦»czyzn w wieku 40 do 60 lat 18 ma nadci±nienie t¦tnicze, za± na 200 kobiet w tym samym wieku 11 ma nadci±nienie t¦tnicze. Z grupy o jednakowej liczbie kobiet i m¦»czyzn wylosowano osob¦, która ma nadci±nienie.
a) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e jest to m¦»czyzna?
b) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e jest to kobieta?
20. Po upªywie pewnego czasu T ka»da komórka mo»e zgin¡¢, prze»y¢ albo podzieli¢ si¦ na dwie odpowiednio z prawdopodobie«stwem 1/4, 1/4 i 1/2. Jakie jest prawdopodobie«-
stwo tego, »e po upªywie czasu 2T b¦d¡ dwie komórki, gdy na pocz¡tku byªa jedna?
Odpowiedzi
2. (N+k−h−2)
N −2
(N+k−1)
N −1
3.
(n−m)
1 −
k
(n)
k
4. 8/15
5. a) 0,01; b) 0,72
6. a) 10/216; b) 3/216.
7. a) (5)(95)
(95)
1
2
b) 1 − 3
(100)
(100)
3
3
8. 0,6
9. 20/21
10. 5/32
12. (10)
(10)(10)
(8)
(8)(9)
3
+ 2
1
3
+ 2 1
≈ 0, 284
(20)
(20)
(17)
(17)
3
3
3
3
14. 0,09
15. zale»ne
16. niezale»ne
17. niezale»ne
18. p(3 − 3p + p2)
19. a) ≈ 0, 766
b) ≈ 0, 234
20. 9/32