Kaskady rzeczywistych funkcji
ciągłych
2.1. (Z) Wykaż, że założenie zwartości przedziału I w twierdzeniach 2. i 3. z wykładu 2. jest istotne. W tym celu znajdź przykłady takich funkcji ciągłych f : I → I, że I nie jest przedziałem zwartym i funkcja f spełnia pozostałe założenia odpowiedniego twierdzenia, ale F ix( f ) = ∅. W
szczególności znajdź takie przykłady, gdy I jest ograniczonym przedziałem otwartym oraz gdy I = R.
2.2. (Z) Znajdź wszystkie punkty okresowe kaskad generowanych przez funkcje: 1
a) f ( x) =
x, x ∈ R,
2
b) f ( x) = x, x ∈ R,
c) f ( x) = 2 x, x ∈ R,
a następnie dla każdej kaskady wyznacz zbiory stabilne punktów okresowych i zbiór W s( ∞).
2.3. (Z) Niech g( x) = |x − 1 |, x ∈ R.
a) Znajdź zbiory W s(0) i W s(1).
b) Znajdź zbiór W s( 1 ).
2
c) Znajdź zbiór W s( x) dla każdego punktu okresowego kaskady g różnego od 0, 1 i 1 .
2
2.4. Załóźmy, że p 1 i p 2 są różnymi punktami należącymi do tej samej orbity okresowej kaskady generowanej przez funkcję ciągłą f : R → R. Jaka jest zależność pomiędzy zbiorami W s( p 1) i W s( p 1)?
2.5. (Z) Wykaż, że kaskada generowana przez przez funkcję f ( x) = 1 − | 2 x − 1 |, x ∈ R, ma punkty okresowe o wszystkich naturalnych okresach podstawowych.
2.6. Wykaż, że twierdzenia Li-Yorke’a i Szarkowskiego są prawdziwe dla każdej funkcji f : I → I, gdzie I ⊂ R jest dowolnym zwartym przedziałem niezdegenerowanym.
2.7. Wykaż, że kaskada generowana przez funkcję g( x) = − 4 arctg x, x ∈
π
R, nie ma punktu
okresowego o okresie podstawowym 32. ( Wskazówka: Narysuj wykresy kilku początkowych iteracji kaskady g.)