UKŁAD SIŁ RÓWNOLEGŁYCH

Układ sił równoległych jest to taki układ w którym linie działania wszystkich sił są do siebie równoległe.

P

P

P

P

1

2

4

5

P3

P

Układ sił równoległych można zastąpić siłą wypadkową P w której linia działania jest równoległa do linii działania danych sił a jej wartość równa się sumie algebraicznej rzutów sił na oś skierowaną zgodnie z układem sił.

Współrzędne środka sił równoległych wyznaczamy obracając wszystkie siły o kąt prosty, po wcześniejszym określeniu wypadkowej P.

P = n

∑ Pi

i=1

Środek sił równoległych obliczamy ze wzoru: n

n

∑

∑ yi ⋅

i

x ⋅ i

P

i

P

i=

x

1

i=

y

1

c =

c =

n

n

∑

∑

i

P

i

P

i=1

i=1

ŚRODKI CIĘśKOŚCI

Środkiem ciężkości bryły materialnej nazywamy graniczne położenie środka sił równoległych, które są środkiem ciężkości poszczególnych cząstek bryły przy założeniu, że każdy wymiar cząstki bryły dąży do zera.

y

Q

yi

Q = ∆ Q – elementarny ci

i

ężar

xi

x

Dla takiego układu środki ciężkości wyznaczamy ze wzorów: n

∑

n

n

i

x ⋅ i

Q

∑ y Q

∑ z Q

i ⋅

i ⋅

i

i

i=

x

1

i=1

i=1

c =

n

y

zc =

c =

∑

n

n

Qi

∑

∑

i

Q

i

Q

i=1

i=1

i=1

Jeżeli analizowana bryła jest jednorodna, tzn. ciężar właściwy γ jest stały w każdym elementarnym ciężarze Q , przy objętości elementarnej ∆ V to dzieląc

i

i

przez ciężar właściwy γ otrzymamy: n

n

n

∑ x

∑ y

∑ zi ⋅∆ V

i ⋅ ∆

i ⋅ ∆ i

V

i

V

i

i=

x

1

i=

y

1

i=

z

1

c =

c =

c =

n

n

n

∑

∑ V

∑

i

V

i

i

V

i=1

i=1

i=1

Przechodząc do granicy, zależności na środki ciężkości przybierają postać:

∫ x⋅ V

∆

∫ y ⋅ V

∆

∫ z ⋅ V

∆

x

V

=

y

V

=

z

V

=

c

c

c

V

V

V

gdzie:

V = ∫ ∆ V

V

Zależności na środki ciężkości brył są słuszne również dla figur płaskich o powierzchni całkowitej S:

∫ x⋅ S

∆

∫ y ⋅ S

∆

∫ z ⋅ S

∆

x

S

=

y

S

=

c

c

z

S

=

S

S

c

S

S =

gdzie:

∫∆ S

S

podobnie jak dla linii o długości L:

∫ x ⋅ L

∆

∫ y ⋅ L

∆

∫ z ⋅ L

∆

x

L

=

y

L

=

z

L

=

c

c

c

L

L

L

L = ∫ ∆ L

gdzie:

L

Twierdzenia wynikające ze wzorów na środki ciężkości: 1

Środek ciężkości bryły, figury płaskiej lub linii (układu) mającej środek symetrii leży w tym środku;

2

Jeżeli układ ma płaszczyznę symetrii, to środek ciężkości leży na tej płaszczyźnie;

3

Jeżeli układ ma oś symetrii, to środek ciężkości leży na tej osi; 4

Jeżeli układ ma dwie lub więcej osi symetrii, to środek ciężkości leży w punkcie przecięcia się tych osi, 5

Rzut środka ciężkości figury płaskiej na płaszczyznę jest środkiem ciężkości rzutu tej figury na daną płaszczyznę.

PIERWSZE TWIERDZENIE GULDINA

Pole powierzchni S powstałej wskutek obrotu płaskiej linii dookoła płaskiej osi leżącej w płaszczyźnie tej linii jest równe długości tej linii L pomnożonej przez długość okręgu 2πx :

c

S = L ⋅ π

2

c

x

gdzie: x – środek ciężkości linii L

c

DRUGIE TWIERDZENIE GULDINA

Objętość bryły V powstałej wskutek obrotu figury płaskiej S dookoła osi leżącej w tej płaszczyźnie i nie przecinającej jej równa się iloczynowi jej powierzchni S przez długość jej obrotu 2πx :

c

V = S ⋅ π

2

c

x

Środki ciężkości wybranych figur płaskich: y

r sin α

r

- dla linii łuku koła:

x =

L

c

α

α

x

α

r

2 r

- dla linii półkola:

x =

c

π

y

r

2 r sinα

x

- dla wycinka koła:

3

x =

α

c

α

α

4 r

- dla półkola:

x =

⋅

c

3 π

y

r

3

4

r sin α

α

x

- dla linii łuku koła:

x

α

c =

⋅

3

α

2

2 − sin α

r