FFT
x(0)
N/4 punktowa
N/4 punktowa
x(0)
DTF
DTF
W
W
N0
N0
x(4)
x(1)
W
WN1
N2
x(2)
N/4 punktowa
N/4 punktowa
x(2)
DTF
DTF
W
WN2
N4
x(3)
x(6)
W
W
N6
N3
x(1)
N/4 punktowa
N/4 punktowa
x(4)
DTF
DTF
W
W
N0
N4
x(5)
x(5)
W
W
N2
N5
x(3)
N/4 punktowa
N/4 punktowa
x(6)
DTF
DTF
W
W
N4
N6
x(7)
x(7)
W
W
N6
N7
Równanie x(k) odpowiada zastąpieniu N- punktowych obliczeń dwoma obliczeniami (N/2)-
punktowymi. Jeśli N/2 parzyste, co ma miejsce, gdy N jest potęgą liczby 2, to wyznaczenie każdej (N/2)- punktowej transformaty może być przeprowadzone metodą wyrażenia każdej z sum w tym równaniu za pomocą dwóch (N/4)- punktowych dyskretnych transformat Fouriera, które połączone później pozwolą określić transformaty (N/2)- punktowe. Zatem G(k) i H(k) w równaniu:
k
G( k ) +
H ( k)
W
N
mogą być wyznaczone:
N
N
1
−
1
−
4
4
lk
k
lk
G( k) =
g( l
2 )
N +
N
h( l
2 + )
1
N
Σ
W
W Σ
W
l = o
4
2 l =0
4
N
N
1
−
1
−
4
4
lk
k
lk
H ( k) =
h( l
2
Σ
W
)
N + W N
h( l
2 +
Σ
W
)
1
N
l =0
4
2 l =0
4
A zatem jeśli 4- punktowe dyskretne transformaty Fouriera są wyznaczone zgodnie z powyższymi równaniami otrzymujemy kompletny graf przepływowy pokazany na powyższym rysunku. Warto zauważyć, że wykorzystano tu zależność: 2
W N = W
N
2
Przeprowadzając obliczenia według rysunku:
Graf przepływowy wyznaczania 2-punktowej dyskretnej transformaty Fouriera.
x(0)
W =1
N0
x(4)
W =W
=-1
2
NN/2
i stosując je do poprzedniego rysunku uzyskujemy kompletny graf przepływowy wyznaczania 8- punktowej dyskretnej transformaty Fouriera.
x(0)
x(0)
W
WN0
W
N0
N0
x(4)
x(1)
W
W
N4
N2
WN1x(2)
x(2)
W
W
N0
N4
WN2x(3)
x(6)
W
W
N4
W
N3
N6
x(1)
x(4)
W
W
W
N0
N0
N4
x(5)
x(5)
W
W
N4
W
N5
N2
x(3)
x(6)
W
W
N0
N4
WN6
x(7)
x(7)
W
W
W
N4
N6
N7
W ogólnym przypadku, gdy N jest potęgą liczby 2stopnia wyższego niż 3, to (N/4)- punktowe transformaty z powyższych równań zastępuje się transformatami (N/8)- punktowymi i kontynuuje ten proces aż do momentu otrzymania tylko transformat 2- punktowych.
Algorytm ten wymaga m etapów obliczeń, przy czym m=log2N. Licząc gałęzie grafu z transmitancjami typu
r
W zauważymy, że w każdym etapie obliczeń należy wykonać N
N
mnożeń i N sumowań liczb zespolonych. Ponieważ liczba etapów jest równa log2N, to obliczenia muszą się składać z Nlog2N mnożeń i Nlog2N sumowań liczb zespolonych. Jest to poważna oszczędność obliczeń. Wykorzystanie symetrii i okresowości wyrażenia r
W może
N
prowadzić do dalszego zmniejszania rozmiaru obliczeń.