3.1 Stopnie swobody
PołoŜenie punktu materialnego jest określone przez trzy
współrzędne np. w układzie kartezjańskim x, y, z.
Liczba niezaleŜnych geometrycznie współrzędnych
niezbędnych do jednoznacznego określenia połoŜenia to
liczba stopni swobody.
Stopień swobody to jedna ze współrzędnych
(niezaleŜna geometrycznie) słuŜąca do jednoznacznego
określenia połoŜenia. NiezaleŜna geometrycznie?
Punkt swobodny ma 3 stopnie swobody.
Punkt na powierzchni. f(x, y, z) = C ma 2 stopnie swob.
f (
z
x, y, z)
2
2
≡ x + y − R = 0
L
Punkt na linii ma 1 stopień swobody.
Linia to jest przecięcie dwu powierzchni
Linia to jest zaleŜność 3 współrzędnych od jednego
parametru, np. od czasu.
Przykład.
α
f (
z
x, y, z)
2
2
≡ x + y − R = 0
L
g( x, y, z) ≡ y − x tg(α ) = 0
Liczba stopni swobody bryły nieodkształcalnej
(6)
(2)
(4)
(5)
(1)
(3)
Punkt (1) ma 3 stopnie swobody. Punkt (2) dodawał by
następne trzy, ale – 1 bo stała odległość. Razem 5.
Punkt nr (3) dodaje 3 nowe stopnie swobody, ale -2 bo
stała odległość do (1) oraz (2). Razem 6.
Punkt (4) dodaje 3 nowe stopnie swobody, ale -3 stałe
odległości. Nic nie przybywa, nadal 6 stopni swobody.
Punkt (5) dodaje 3 stopnie swobody i odejmuje trzy odległości (nie 4 bo to są toŜsamości, powierzchnie
sfer). Nadal 6. MoŜemy kontynuować, ale bryła sztywna
ma 6 stopni swobody. Trzy przesunięcia i trzy obroty.
3.2 Więzy
Więzy dwustronne – współrzędne są związane jednym lub dwoma warunkami typu „pozostań na powierzchni”.
f(x, y, z) - const. = 0. Przykład:
Kulka na końcu nieodkształcalnego pręta. Drugi koniec
pręta zamocowany przegubowo. (Rys. na tablicy)
Ruch płaski tego obiektu punkt na okręgu.
Punkt materialny moŜe podlegać jednemu lub dwom
więzom tego typu. NałoŜenie trzeciego więzu
unieruchamia punkt materialny. Dalsze więzy są
generalnie sprzeczne (toŜsamościowe?).
Więzy jednostronne
Forma matematyczna nierówność f(x, y, z) <= const.
Przykład kulka na nierozciągliwej nici.
Więzy jednostronne nienapręŜone nie oddziałują na
punkt materialny, który im podlega.
Na punkt materialny moŜna nałoŜyć dowolnie wiele
niesprzecznych więzów jednostronnych.
Inne przymiotniki holonomiczne, róŜniczkowe, …
Więzy idealne (idealnie gładkie)
Poruszamy się po doskonale gładkiej płaszczyźnie.
Nie moŜliwy jest ruch prostopadły do tej płaszczyzny.
Siła reakcji jest prostopadła do tej płaszczyzny więzów.
Więzy nieidealne
N
V
R
T
Model wiskotyczny (idealnie lepkie smarowanie)
r
r
T = − c V
Model Coulomba (tarcie suche, model prosty)
r
r
r
r
V
T = − µ N τ , gdzie wersor τ = r
V
r
Zapiszemy, gdy oś x pokrywa się z kierunkiem V
r
r
r
r
V = i V
T = − i µ N sign( V )
x
x
Tx
µ N
Vx
− µ N
Model niedoskonały tarcia suchego
Tx
µ N
Vx
− µ N
Model tarcia suchego poprawiony.
Oswobadzanie z więzów – siła reakcji działa na nasz obiekt poruszający się.