Wykład 03 Więzy i tarcie.

3.1 Stopnie swobody

Położenie punktu materialnego jest określone przez trzy

współrzędne np. w układzie kartezjańskim x, y, z.

Liczba niezależnych geometrycznie współrzędnych

niezbędnych do jednoznacznego określenia położenia to

liczba stopni swobody.

Stopień swobody to jedna ze współrzędnych

(niezależna geometrycznie) służąca do jednoznacznego

określenia położenia. Niezależna geometrycznie?

Punkt swobodny ma 3 stopnie swobody.

Punkt na powierzchni. f(x, y, z) = C ma 2 stopnie swob.

2

f (

 z 

x, y, z)

2

2

≡ x + y −  R  = 0

 L 

Punkt na linii ma 1 stopień swobody.

Linia to jest przecięcie dwu powierzchni

Linia to jest zależność 3 współrzędnych od jednego

parametru, np. od czasu.

Przykład.

α

2

f (

 z 

x, y, z)

2

2

≡ x + y −  R  = 0

 L 

g( x, y, z) ≡ y − x tg(α ) = 0

Liczba stopni swobody bryły nieodkształcalnej

(6)

(2)

(4)

(5)

(1)

(3)

Punkt (1) ma 3 stopnie swobody. Punkt (2) dodawał by

następne trzy, ale – 1 bo stała odległość. Razem 5.

Punkt nr (3) dodaje 3 nowe stopnie swobody, ale -2 bo

stała odległość do (1) oraz (2). Razem 6.

Punkt (4) dodaje 3 nowe stopnie swobody, ale -3 stałe

odległości. Nic nie przybywa, nadal 6 stopni swobody.

Punkt (5) dodaje 3 stopnie swobody i odejmuje trzy odległości (nie 4 bo to są tożsamości, powierzchnie

sfer). Nadal 6. Możemy kontynuować, ale bryła sztywna

ma 6 stopni swobody. Trzy przesunięcia i trzy obroty.

3.2 Więzy

Więzy dwustronne – współrzędne są związane jednym lub dwoma warunkami typu „pozostań na powierzchni”.

f(x, y, z) - const. = 0. Przykład:

Kulka na końcu nieodkształcalnego pręta. Drugi koniec

pręta zamocowany przegubowo. (Rys. na tablicy)

Ruch płaski tego obiektu punkt na okręgu.

Punkt materialny może podlegać jednemu lub dwom

więzom tego typu. Nałożenie trzeciego więzu

unieruchamia punkt materialny. Dalsze więzy są

generalnie sprzeczne (tożsamościowe?).

Więzy jednostronne

Forma matematyczna nierówność f(x, y, z) <= const.

Przykład kulka na nierozciągliwej nici.

Więzy jednostronne nienaprężone nie oddziałują na

punkt materialny, który im podlega.

Na punkt materialny można nałożyć dowolnie wiele

niesprzecznych więzów jednostronnych.

Inne przymiotniki holonomiczne, różniczkowe, …

Więzy idealne (idealnie gładkie)

Poruszamy się po doskonale gładkiej płaszczyźnie.

Nie możliwy jest ruch prostopadły do tej płaszczyzny.

Siła reakcji jest prostopadła do tej płaszczyzny więzów.

Więzy nieidealne

N

V

R

T

Model wiskotyczny (idealnie lepkie smarowanie)

r

r

T = − c V

Model Coulomba (tarcie suche, model prosty)

r

r

r

r

V

T = − µ N τ , gdzie wersor τ = r

V

r

Zapiszemy, gdy oś x pokrywa się z kierunkiem V

r

r

r

r

V = i V

T = − i µ N sign( V )

x

x

Tx

µ N

Vx

− µ N

Model niedoskonały tarcia suchego

Tx

µ N

Vx

− µ N

Model tarcia suchego poprawiony.

Oswobadzanie z więzów – siła reakcji działa na nasz obiekt poruszający się.