Zgodnie z definicją iloczynu skalarnego w przestrzeni euklidesowej forma kawadratowa ( v|v) jest dodatnio określona. Powyższe twierdzenie pozwala więc łatwo sprawdzać, czy forma dwuliniowa jest iloczynem skalarnym. Wystarczy zbadać minory główne macierzy Grama tej formy.
Zadanie Zbadać, czy forma:
1 2 3 x
1
g( x
1 , x 2 , x 3) = [ x 1 , x 2 , x 3]
2 5 2
x 2
3 2 0
x 3
jest dodatnio określona.
Sprowadzanie formy kwadratowej do postaci kanonicznej Niech g będzie formą kwadratową w przestrzeni n
R , wtedy g może być
zapisane w postaci:
n
n
g( x
X
X
1 , x 2 , . . . , xn) =
giix 2 + 2
g
i
ij xixj
i=1
i=1 ,j=1 ,i<j
w przedstawieniu tym mogą występować elementy po xixj. Zadanie sprowadzania do postaci kanonicznej polega więc na ”pozbywaniu się” tych elementów.
Dokładniej mówiąc zadanie to polega na szukaniu zmiennych y 1 , y 2 , . . . , yn zależnych liniowo od x 1 , x 2 , . . . , xn, dla których forma kwadratowa g ma przedstawienie:
g( y 1 , . . . , yn) = a 1 y 2 + a 1
2 y 2 + . . . + any 2
n
Istnieje kilka metod sprowadzania do postaci kanonicznej. Tutaj omówimy dwie podstawowe: metodę Lagrange’a i metodę Jacobiego.
1
Metoda Lagrange’a wykorzystuje uogólnienie wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy elementów, a mianowicie:
( b 1 + b 2 + . . . + bn)2 = b 2 + b 2 + . . . + b 2 + 2
X
b
1
2
n
ibj
i=1 ,j=1 ,i<j
Metodę tą omówimy na przykładzie. Niech
g( x 1 , x 2 , x 3) = 2 x 2 − x 2 + 3 x 2 + 2 x 1
2
3
1 x 2 − 4 x 1 x 3 − 3 x 2 x 3
wtedy możemy zebrać elementy, które zawierają x 1 i otrzymujemy: g( x 1 , x 2 , x 3) = 2( x 2 + x
+ 3 x 2 − 3 x
1
1 x 2 − 2 x 1 x 3) − x 2
2
3
2 x 3
następnie ”wyciągamy kwadrat” zgodnie z powyższym wzorem: 1
1
g( x 1 , x 2 , x 3) = 2( x 1 + x 2 − x 3)2 − x 2 − 2 x 2 + 2 x 2 x 3 − x 2 + 3 x 2 − 3 x 2 x 3
2
2 2
3
2
3
stąd
1
3
g( x 1 , x 2 , x 3) = 2( x 1 + x 2 − x 3)2 − x 2 + x 2 − x 2 x 3
2
2 2
3
dalej postępujemy podobnie jak powyżej z ”kawałkiem” zawierającym tylko zmienne x 2, x 3, a więc:
g( x 1 , x 2 , x 3) = 2( x 1 + 1 x ( x 2 + 2 x
=
2
2 − x 3)2 − 3
2
2
3
2 x 3) + x 2
3
2( x 1 + 1 x
( x
x
x 2 + x 2 =
2
2 − x 3)2 − 3
2
2 + 1
3
3)2 + 1
6
3
3
2( x 1 + 1 x
( x
x
x 2
2
2 − x 3)2 − 3
2
2 + 1
3
3)2 + 7
6
3
Jeśli przyjmiemy teraz y 1 = x 1 + 1 x x
2
2 − x 3, y 2 = x 2 + 1
3
3, y 3 = x 3 to
otrzymamy:
3
7
g( y 1 , y 2 , y 3) = 2 y 1 − y 2 + y 3
2
6
otrzymane przedstawienie jest więc postacią kanoniczną naszej formy.
Z przedstawionego powyżej przykładu widać, że tą metodą można każda formę kwadratową sprowadzić do postaci kanonicznej.
Metoda Jacobiego
Metoda Jacobiego polega na wykorzystaniu algorytmu podobnego do algorytmu ortogonalizacji Grama − Schmidta. Omówimy tą metodę na tym samym przykładzie co poprzednio:
g( x 1 , x 2 , x 3) = 2 x 2 − x 2 + 3 x 2 + 2 x 1
2
3
1 x 2 − 4 x 1 x 3 − 3 x 2 x 3
2
wtedy w bazie kanonicznej macierz tej formy jest następująca:
2
1
− 2
G =
1
− 1 − 3
2
− 2 − 3
3
2
Szukamy bazy b 1 , b 2 , b 3 takiej, że f ( bi, bj) = 0 jeśli i 6= j. Bazę tą szukamy w postaci:
b 1 = e 1
b 2 = e 2 + k 12 b 1
b 3 = e 3 + k 13 b 1 + k 23 b 2
Podobnie jak w przypadku ortogonalizcji Grama − Schmidta otrzymujemy kij = − f( bi,ej) , a więc: f ( bi,bi)
f ( b
1
k
1 , e 2)
12 = −
= −
f ( b 1 , b 1)
2
i
1
b 2 = [ − , 1 , 0]
2
dalej mamy:
f ( b
f ( b
1
k
1 , e 3)
2 , e 3)
13 = −
= 1 , k 23 = −
= −
f ( b 1 , b 1)
f ( b 2 , b 2)
3
stąd:
7
1
b 3 = [ , − , 1]
6
3
ponadto f ( b 3 , b 3) = 7 . Wtedy postać kanoniczna naszej formy dwuliniowej 6
jest następująca:
3
7
f ( y 1 , y 2 , y 3) = f ( b 1 , b 1) y 2 + f ( b
+ f ( b
= 2 y 2 −
y 2 +
y 2
1
2 , b 2) y 2
2
3 , b 3) y 2
3
1
2 2
6 3
i jeśli przez A oznaczymy macierz przejścia od bazy kanonicznej do bazy b 1 , b 2 , b 3 to otrzymamy związek między zmiennymi x 1 , x 2 , x 3, a zmiennymi y 1 , y 2 , y 3:
x
1
y 1
x
2
= A
y 2
x 3
y 3
W naszym przypadku:
1 − 1
7
2
6
A = 0
1 − 1
3
0
0
1
3
1
1
− 1
2
A− 1 = 0
1
1
3
0
0
1
i mamy:
y
1
x 1
1
1
− 1
x
2
1
y
2
= A− 1
x 2
=
0
1
1
x 2
3
y 3
x 3
0
0
1
x 3
Można zauważyć, że współczynniki f ( bi, bi) (występujące przy y 2 są równe i
det Gi− 1 , gdzie det G
det G
0 = 1, a det Gi, i = 1 , 2 , 3 są minorami głównymi macierzy i
G.
Metoda Jacobiego ma pewne ograniczenia, jeśli bowiem któryś ze współczynników f ( bi, bi) jest równy zero to nie można wyznaczyć odpowiednich kij. Z tego co zostało powiedziane powyżej metoda Jacobiego działa wtedy gdy każdy z minorów głównych macierzy G jest różny od 0.
4