WYTĘŻENIE

1

1. STANY KRYTYCZNE

1.1. Jednoosiowe rozciąganie

σ

Rm

R

u

Re

HR.

granica

proporcjonalności

R

R

s

s

granica

sprężystości

Re granica plastyczności

RH

Ru naprężenie rozrywające

Rm

wytrzymałość na rozciąganie

ε

∗ każde z charakterystycznych naprężeń (granic) określa pewien stan mechaniczny w dowolnym punkcie materialnym ciała stan nieliniowo

stan sprężysto

stan

stan liniowo

stan

sprężysty

plastyczny

plastyczny

sprężysty

niszczący

σ < RH

RH < σ < Rs

Rs < σ < Re

Re < σ < Ru

σ = Ru

1.1.1. Wytężenie

∗ pojęcie wytężenia w punkcie - stopień zbliżenia stanu mechanicznego punktu do określonej granicy niebezpiecznej , za którą może być uznana którakolwiek z granic wymienionych powyżej - w zależności od tego do jakiego stanu mechanicznego dopuszczamy konstrukcję σ

w

x1

x1

σx2

Rk

x2

σ

1 = σ

x

w = σ

R

2

k

Rk

∗ miara wytężenia

σ

P

x =

≤ k

R

A

m (w) = σx

m (wniebezp.) = Rk

1.2. Wieloosiowe stany naprężenia

Problem : Jak określić wytężenie i jego miarę dla stanu mechanicznego opisanego dowolnym tensorem naprężenia dla stanu wieloosiowego ?

Rozwiązanie : Stopień skomplikowania zagadnienia (wpływ zmian dowolnej składowej tensora naprężenia na stan mechaniczny punktu, różnorodność materiałów, itd.) powoduje, że wytężenie i jego miara nie zostały określone w drodze analizy teoretycznej. Stan mechaniczny w punkcie i wywołane w nim wytężenie na skutek wieloosiowego stanu naprężenia sprowadza się do hipotetycznego stanu jednoosiowego, wytężeniowo równoważnego danemu stanowi rzeczywistemu. Za miarę wytężenia przyjmuje się pewną kombinację naprężeń w oparciu o tzw.

hipotezę wytężeniową. U podstaw hipotezy leżą zawsze obserwacje doświadczalne, stąd wielość hipotez odpowiednich dla określonych klas materiałów i określonych zjawisk fizycznych występujących w materiale (np. kruche pękanie). Za miarę wytężenia niebezpiecznego przyjmuje się pewną granicę krytyczną, jak w przypadku stanu jednoosiowego.

m (w) = hipoteza wytężeniowa

m (wniebezp.) = Rk

WYTĘŻENIE

2

2. HIPOTEZY WYTĘŻENIOWE

2.1. Podział hipotez wytężeniowych

∗ naprężeniowe : Galileusz, Coulomb, Tresca, Guest

∗ odkształceniowe : de Saint-Venant

∗ energetyczne : Huber, Mises, Hencky, Burzyński

∗ probabilistyczne : Weibull, Murzewski 2.2. Hipoteza Galileusza (1632) - hip. maksymalnego naprężenia głównego O wytężeniu materiału w punkcie decyduje maksymalna bezwzględna wartość naprężenia głównego, niezależnie od tego czy powstała ona w wyniku obciążenia prostego czy złożonego.

m (w) = max ( σ1 , σ2 , σ3 )

m (wniebezp.) = Rk

σ2

R

k

stany

warunek stanów bezpiecznych

R

bezpieczne

σ

k

Rk

1

m (w) ≤ m(wniebezp.)

Rk

2.3. Hipoteza Coulomba (1776) - Treski (1872) - Guesta (1900) - hip. maksymalnego naprężenia stycznego

∗ obserwacje doświadczalne : zniszczenie betonowej próbki walcowej przy ściskaniu poprzez utworzenie dwóch stożków połączonych wierzchołkami, pękanie rozciąganej płaskiej próbki metalowej wskutek poślizgów pod kątem 45o do kierunku obciążenia (linie Lüdersa-Czernowa) O wytężeniu materiału w punkcie decyduje maksymalna bezwzględna wartość naprężenia stycznego, niezależnie od tego czy powstała ona w wyniku obciążenia prostego czy złożonego.

 σ1 σ2

σ1 σ3

σ2 σ3 

m (w) =

−

−

−

max

,

,



2

2

2



m (w

σ

.)

Rk

niebezp

=

2

2

Rk

warunek stanów bezpiecznych

Rk

R

stany

k

σ1

bezpieczne

m (w) ≤ m(wniebezp.)

Rk

2.4. Hipoteza Hubera-Misesa-Hencky’ego - hip. energii odkszt. postaciowego O wytężeniu materiału w pkt. decyduje ilość zgromadzonej w nim energii odkszt. postaciowego, niezależnie od tego czy powstała ona w wyniku obciążenia prostego czy złożonego.

m (w) =

ν 

2

2

2 

Φ

1

f =

+

( 1

σ − σ2) + (σ1 − σ3) + (σ2 − σ3)

6 E 



WYTĘŻENIE

3

m (w) =

ν 

2

2

2

2

2

2 

Φ

1

f =

+

(σx − σy) +(σx − σz) + (σy − σz) + 6 τ τ τ

6



( xy + xz + yz)

E



m (w

1 ν 2

niebezp.) = + R

3 E

k

σ2

Rk

warunek stanów bezpiecznych

Rk

Rk

stany

σ1

m (w) ≤ m(wniebezp.)

bezpieczne

R

2.5. Porównanie hipotez

k

hip. C-T-G

σ2

hip. Galileusza

Rk

Rk

σ1

Rk

hip. H-M-H

Rk

3. NAPRĘŻENIA ZASTĘPCZE

∗ uporządkowane naprężenia główne σ1 > σ2 > σ3

∗ warunek stanów bezpiecznych

m (w) ≤ m(wniebezp.)

∗ hipoteza Galileusza

σ1 ≤ Rk

∗ hipoteza C - T - G

σ1 − σ3 ≤ Rk

∗ hipoteza H - M - H

1

(

2

2

2

σ1 − σ2) + (σ1 − σ3) + (σ2 − σ3) ≤ Rk

2

lub

1

( x − y)2 + ( x − z)2 + ( y − z)2 + 6( 2 2 2

σ

σ

σ

σ

σ

σ

τxy + τxz + τyz) ≤ k

R

2

Powyższe nierówności odnoszą stany przestrzenne naprężenia (lewe strony) do wytężeniowo równoważnego jednoosiowego stanu naprężenia (strony prawe). Można powiedzieć, że lewe strony to „obraz naprężeniowy” stanów wieloosiowych zredukowanych do jednoosiowego - stąd określa się je mianem naprężeń zredukowanych lub zastępczych σo .

∗ hipoteza Galileusza

σo = σ1

∗ hipoteza C - T - G

σo = σ1 − σ3

∗ hipoteza H - M - H

σ

1

2

2

2

o =

(σ1 − σ2) + (σ1 − σ3) + (σ2 − σ3)

2

lub

σ

1

2

2

2

2

2

2

o =

(σx − σy) + (σx − σz) + (σy − σz) + 6(τxy + τxz + τyz) 2

∗ hipoteza Mohra

σ

kr

o = σ1 − k σ3

k

R

=

Rkc