Rozwiązać belkę ciągłą statycznie niewyznaczalną metodą trzech momentów.
Sporządzić wykresy sił przekrojowych M i T.
P1=12 kN
B
q=6 kN/m
tg=00C
P2=6 kN
1
tg=00C
A
2
3
td =100C
A
td =150C
∆
∆
y1=6 mm
y2=10 mm
B
6 m
6 m
8 m
3 m
A-A
B-B
E = 2 ⋅107 [ kN / m 2 ]
]
]
[m
[m
−
α = 1⋅10 5[1 / C
o
t
]
,4
,4
0
0
=
=
h 1
h 2
b1=0,3[m]
b1=0,3[m]
Rys. 1
1. Obliczenia pomocnicze
Przyjmujemy schemat pomocniczy (rys.2), w którym w zwią zku z tym, Ŝ e podporą nieprzesuwną jest utwierdzenie koń ca belki, wprowadzamy dodatkowe fikcyjne przę sło o l = 0 i EJ = 0 .
Numerujemy wę zły belki (zaczynają c od zera - bowiem jest najwygodniej).
Wprowadzamy numerację przę seł – numer przę sła jest równy numerowi wę zła opisują cego koniec przę sła (liczą c od lewej do prawej). Znają c nr przę sła opisać moŜ emy w danym przęś le jego długość i sztywność .
P1=12 kN
P2=6 kN
q=6 kN/m
0
1
2
3
4
l 1=0
l 2=12 [m]
l 3=8 [m]
l 4=3 [m]=a
EJ 1=∞
EJ 2
EJ 3
EJ 4
Rys. 2.
Strona 1 z 9
Stopień statycznej niewyznaczalnoś ci tej belki wynosi: SSN=2
Z rys. nr 1 wynika, Ŝ e sztywnoś ci we wszystkich przę słach są róŜ ne (ale w danym przęś le takie same –
co wynika z def. belki cią głej).
Obliczamy momenty bezwładnoś ci w poszczególnych przę słach, bowiem od nich zaleŜą sztywnoś ci w tych przę słach.
3
3
bh
3
,
0 ⋅ 5
,
0
−2
J =
=
= 3
,
0 125 ⋅10
m
,
2
[ 4]
W przęś le 1-2 mamy:
12
12
3
3
bh
3
,
0 ⋅ ,
0 6
−2
J =
=
= 5
,
0 4 ⋅10
m
= J ,
3
[ 4]
W przęś le 2-3 oraz 3-4 mamy: 4
12
12
Teraz przyjmujemy jako porównawczy moment bezwładnoś ci - moment w bezwładnoś ci w przęś le 1-2, czyli J = J i w poszczególnych przę słach opisujemy sztywnoś ci tzw. sztywnoś cią porównawczą
2
0
EJ . ( E jest stałe dla wszystkich prz 0
ę seł, natomiast zmienny jest moment bezwładnoś ci).
Za sztywność porównawczą przyjmujemy np. sztywność przę sła 1- 2, czyli: 2
EJ = E ⋅ 3
,
0 125 ⋅10− m = EJ .
2
[ 4]
0
WyraŜ amy pozostałe sztywnoś ci uzaleŜ niają c je od sztywnoś ci EJ :
0
−2
EJ
E ⋅ 5
,
0 4 ⋅10
3
−2
EJ =
⋅ EJ =
⋅ E ⋅ 3
,
0 125 ⋅10
3
0
−2
EJ
E ⋅ 3
,
0 125 ⋅10
0
EJ = ,
1 728 ⋅ EJ m = EJ
3
[ 4
0
]
4
Wyliczenie długoś ci sprowadzonych przę seł:
'
EJ
Wzór ogólny: l =
0 ⋅ l :
k
k
EJk
EJ
EJ
'
0
0
l =
⋅ l =
⋅12 = 1 [
2 m] ,
2
2
EJ
EJ
2
0
EJ
EJ
'
0
0
l =
⋅ l =
⋅8 ≅ ,
4 6 [
3 m] ,
3
3
EJ
,
1 728 ⋅ EJ
3
0
EJ
EJ
'
0
0
'
l =
⋅ l =
⋅ 3 ≅ ,17 [
4 m] = a .
4
4
EJ
,
1 728 ⋅ EJ
4
0
2. Przyjęcie schematu podstawowego P1=12 kN
P2=6 kN
q=6 kN/m
X 1
X
X 2
1
X 2
0
1
2
3
4
l ’
4 =12
’
l ’
=12, EJ
’
1 =0
l2
0
l
1,728·EJ
3 =12, 1,728·EJ0
0
l 4=3 [m]=a
l 1=0
l
l 3=8 [m]
2=12 [m]
EJ 4
EJ
EJ
EJ 3
1=∞
2
Rys. 3
Strona 2 z 9
3. Równania trzech momentów Układamy równania (ciągłości) kolejno w podporach, w których wprowadzono nadliczbowe X (w miejsce
k
zwolnionych więzów).
Ogólny wzór metody trzech momentów zapisany w węźle „ k”:
'
'
'
'
l X − + 2( l + l ) X
+
+ l X
+
+ =
6
− EJ δ .
k
k 1
k
k 1
k
k 1
k 1
0
k 0
k=1
'
'
'
'
l X + 2( l + l ) X + l X = −6 EJ δ , 1
0
1
2
0
2
2
0 10
0 ⋅ X + (
2 0 + 1 )
2 X + 12 ⋅ X = −6 EJ δ , 0
0
2
0 10
24 X + 12 X = −6 EJ δ , 1
2
0 10
k=2
'
'
'
'
l X + 2( l + l ) X + l X = −6 EJ δ , 2
1
2
3
2
3
3
0
20
12 X + 2 1
( 2 + ,
4 6 )
3 X + ,
4 63 X = 6
− EJ δ ,
1
2
3
0
20
W naszym zadaniu moment przypodporowy w węźle „3” ( X ) jest róŜny od zera i jest momentem zna-3
nym (znak „-„ poniewaŜ ściska dolne włókna):
X = − P ⋅ l = 6
− ⋅ 3 = 1
− 8[ KNm].
3
2
4
P2=6 kN
3
4
wyróŜ nione włókna
l 4=3 [m]=a
Rys. 4
12 X + 2 1
( 2 + ,
4 6 )
3 X + ,
4 63 ⋅ ( 1
− )
8 = −6 EJ δ ,
1
2
0
20
12 X + 3 ,
3 26 X + 83 3
, 4 = −6 EJ δ ,
1
2
0
20
12 X + 3 ,
3 26 X = −6 EJ δ − 83 3
, 4
1
2
0
20
Ostatecznie otrzymujemy układ 2 równań do rozwiązania: 24 X + 12 X = −6 EJ δ
1
2
0 10
12 X + 3 ,
3 26 X = −6 EJ δ − 83 3
, 4
1
2
0
20
4. Obliczenie δ , tj. δ i δ
k 0
10
20
Ogólny wzór na δ ma postać:
k 0
δ
0
δ
δ
δ
k
= kp + kt + ∆ k
4.1. Wyznaczenie δ
kp
MoŜna wyliczyć dwoma sposobami: metodą Mohra lub z wykorzystanie równania prac wirtualnych W naszym zadaniu wykorzystamy równanie prac wirtualnych do obliczenia δ .
kp
Strona 3 z 9
Wykres momentów zginających (rys. 5b) w schemacie podstawowym od obciąŜenia „ p” (rys. 5a):
a)
P1=12 kN
P2=6 kN
q=6 kN/m
0
1
2
3
4
EJ0
1,728·EJ0
l ’
6 [m]
6 [m]
1 =0
l 4=3 [m]=a
l 1=0
l
l 3=8 [m]
2=12
b)
18
0
1
2
4
3
Pl = 36
M
2
p
4
ql
= 48
8
Rys. 5
Wykres momentów zginających (rys. 6b) w schemacie podstawowym od stanu X = 1(rys. 6a): 1
a)
X 1=1
X 1=1
0
1
2
3
4
EJ
1,728·EJ0
0
l ’
1 =0
l
l
l
2=12 [m]
3=8 [m]
4=3 =a
l 1=0
EJ 1=∞
b)
0
1
2
3
4
1
0,5
M1
Rys. 6
Strona 4 z 9
Wykres momentów zginających (rys. 7b) w schemacie podstawowym od stanu X = 1 (rys. 7a): 2
a)
X 2=1
X 2=1
0
1
2
3
4
EJ
1,728·EJ0
0
l ’
1 =0
l
l
l
2=12 [m]
3=8 [m]
4=3 =a
l 1=0
EJ 1=∞
b)
0
1
2
3
4
M2
1
Rys. 7
Współczynniki δ obliczamy wg wzoru:
kp
M M
k
p
δ = ∫
ds
kp
EJ
l
M M
1
p
1
δ
ds
1 p = ∫
=
⋅[1 ⋅36 ⋅ 6 ⋅(1 ⋅1+ 2 ⋅ 5
,
0
+ 2 ⋅
)
5
,
0
2
3
3
3
]=
EJ
EJ
l
0
108
δ
=
1 p
EJ 0
M M
2
p
1
1
δ
ds
2 p = ∫
=
[1 ⋅36⋅6⋅
2
(2 ⋅ 5,
0 + 1 ⋅1+ 2 ⋅ 5
,
0
3
3
3
)]+
[2 ⋅48⋅8⋅ 1 ⋅1− 1 ⋅18⋅8⋅ 1 ⋅
3
2
2
3
]1=
EJ
EJ
7
,
1 28 EJ
l
0
0
168 1
, 85185
δ
≅
2 p
EJ 0
4.2. Wyznaczenie δ :
kt
0
1
0oC
2
0oC
3 0oC
4
10oC
15oC
15oC
l1=0
l2=12
l3=8
l4=3
Rys. 8
Strona 5 z 9
Ogólny wzór na wyznaczenie δ :
kt
l
l
k
k 1
+
δ
α
t
α
t
,
kt =
t
⋅ ∆ k ⋅
+ t ⋅
⋅ ∆ 1
k
k +
k +
2
1
h
2 h
k
k 1
+
gdzie
t
∆ = t − t .
d
g
Wyliczamy kolejno w węzłach, w których wprowadzono nadliczbowe X :
k
k=1
l
l
1
2
δ = α ⋅ t
∆ ⋅
+ α ⋅ t
∆ ⋅
,
1 t
t
1
t
2
1
2
2
h
2 h
1
2
t
0
∆ = 0 C ,
1
t
0
∆ = 10 C
0
− 0 C
0
= 10 C ,
2
h
,
1 →
∞
h =
m
5
,
0
,
2
l = m
0
,
1
l = 12 m
,
2
α = const
5
−
0
=1⋅10 1 / C ,
t
0
−
12
5
−3
δ
α
t =
⋅ ∆ t
t
⋅
+1⋅10 ⋅10⋅
= ,
0 0012 = ,
1 2 ⋅10
1
1
1
2 h
2 ⋅ 5
,
0
1
k=2
l
l
2
3
δ = α ⋅ t
∆ ⋅
+ α ⋅ t
∆ ⋅
,
2 t
t
2
t
3
2
2
3
h
2 h
2
3
t
0
∆ =15 C
0
− 0 C
0
=15 C ,
3
h = ,
0
m
6
,
3
l = m
8
,
3
−
12
−
8
5
5
−3
δ
.
t = 1⋅10
⋅10⋅
+1⋅10 ⋅15⋅
= ,
0 0022 = ,
2 2 ⋅10
2
2 ⋅ 5
,
0
2 ⋅ ,
0 6
4.3. Wyznaczenie δ ∆ :
k
0
1
2
3
4
∆ y1=0,006 m
∆ y2=0,01 m
l1=0
l4=3
l2=12
l3=8
Rys. 9
Ogólny wzór na wyznaczenie δ ∆ :
k
∆
1
1
k
∆
1
−
k 1
+
δ
.
k
=
−
+
⋅ ∆ i +
∆
l
l
l
l
k
k
k
1
+
k 1
+
Strona 6 z 9
k=1
∆
1
1
∆
1
0
,
0 1
1
0
,
0 1
0
2
δ ∆ =
− + ⋅∆ +
= 0 − 0 +
⋅ 0
,
0 06 +
= − ⋅ 0
,
0 06 +
1
1
l
l
l
l
12
12
12
12
1
1
2
2
4
δ = ,
3
)
3
(
⋅10−
1∆
k=2
∆
1
1
∆
0
,
0 06
1
1
1
3
δ ∆ =
−
+
⋅ ∆ +
=
−
+ ⋅ 0
,
0 1+ 0
2
2
l
l
l
l
12
12 8
2
2
3
3
3
δ = − 5
,
1 8 )
3
(
⋅10−
2∆
4.4. Wyznaczenie δ
:
k 0
δ
.
0
δ
δ
δ
k
= kp + kt + ∆ k
k=1
108
−
−
1
3
4
δ =
+ ,
1 2 ⋅10 + ,
3
)
3
(
⋅10 =
108 + EJ ⋅ ,
1
( 2 ⋅10− + ,
3
)
3
(
⋅10− ,
10
[
3
4
0
]
EJ
EJ
0
0
203
)
3
(
8
,
δ =
,
10
EJ 0
k=2
168 1
, 85185
−
−
1
3
3
δ =
+ ,
2 2 ⋅10 − 5
,
1 8 )
3
(
⋅10 =
258 1
, 8518 + EJ ⋅ ( ,
2 2 ⋅10− − 5
,
1 8 )
3
(
⋅10−
20
[
3
3
0
]
EJ
EJ
0
0
20 ,
6 726852
δ =
20
EJ 0
5. Rozwiązanie układu równań - wyliczenie X
k
Wracamy do układu równań
24 X + 12 X = −6 EJ δ
1
2
0 10
12 X + 3 ,
3 26 X = −6 EJ δ − 83 3
, 4
1
2
0
20
Za δ
wstawiamy wyliczone wielkości w pkt. 4.:
k 0
203
)
3
(
8
,
24 X +12 X = −6 EJ ⋅
1
2
0
EJ 0
20 ,
6 726852
12 X + 3 ,
3 26 X = 6
− EJ
− 83 3
, 4
1
2
0
EJ 0
24 X +12 X = 1
− 223 EJ
1
2
0
12 X + 3 ,
3 26 X = 1
− 32 ,
3 7 EJ
1
2
0
Strona 7 z 9
− 7 8
, 952
1
X ≅ −26 1
, 262
1
6. Wyliczenie pozostałych wielkości statycznych - wykresy sił przekrojowych M i T
P1=12 kN
P2=6 kN
X
q=6 kN/m
1=37,8952
X 2=26,1262
0
1
2
3
4
l
l 4=3 [m]=a
2=12 [m]
l 3=8 [m]
Rys. 10
Belkę ciągłą, po wyliczeniu X , moŜemy dalej rozwiązywać jak dwie belki proste połączone ze sobą w
k
węźle „2” przegubem, w którym przyłoŜone są wyliczone momenty przypodporowe X (rys. 11). Następ-2
nie w tych beleczkach liczymy reakcje podporowe i rysujemy wykresy T i M (rys. 12 i 13).
P1=12 kN
P2=6 kN
X
q=6 kN/m
1=37,8952
X 2=26,1262
1
2
3
4
V
L
V
P
V
V
1
l
2
2
3
l 4=3 [m]=a
2=12 [m]
l 3=8 [m]
Rys. 11
Rozpatrujemy beleczkę 1-2:
∑
37 8
, 952 − 26 1
, 262
12
L
M
= 0 V =
+
≅ 9
,
6 8
2
1
12
2
∑
L
26 1
, 262 − 37 8
, 952
12
M = 0 V =
+
≅ ,
5 02
1
2
12
2
Rozpatrujemy beleczkę 2-4:
2
∑
1
6 ⋅8
P
M
= 0 V =
6 ⋅11− 26 1
, 262
+
≅ 28 9
, 8
2
3
8
2
Strona 8 z 9
2
∑
P
1
6 ⋅8
M = 0 V
=
26 1
, 262 +
− 6⋅3
≅ 25 0
, 2
3
2
8
2
Sprawdzenie:
∑ P = 0 9, 6 8 + ,
5 02 + 28 9
, 8 + 2 ,
5 02 −12 − 6 ⋅8 − 6 = 0 c.n.d.
y
X
X + X
1=37,8952
1
2
= 32 0
, 107
2
2
ql
X
2=26,1262
8
Pl = 36
4
18
X + X
2
3
2
3,9893
M
≅
extr 26,023
6 [m]
x≅4,169
l
l 4=3 [m]
2=12 [m]
l 3=8 [m]
Rys. 12. Wykres momentów zginają cych
22,98
5,02
5,02
-
-
+
+
+
6
6
6,98
6,98
25,02
6 [m]
x≅4,169
l 4=3 [m]
l 2=12 [m]
l
3=8 [m]
Rys. 13. Wykres sił tną cych
Strona 9 z 9