1. Wektory leżą w sześcianie o boku a. Oblicz a)sumę b)iloczyn skalarny c)sinus i cosinus kąta pomiędzy
tymi wektorami.
a)
⃗
p=[ a , a , − a ]
∣⃗ p∣=√ a 2+ a 2+ a 2= a √3
⃗ q=[0, 0,− a ]
∣⃗ q∣=√ a 2= a
⃗
p+⃗ q=[ a , a , −2a ]
∣⃗
p +⃗ q∣=√ a 2+ a 2+4a2=√6a2= a √6
b)
⃗
p ∘⃗ q=0∗ a+0∗ a+(− a)∗(− a)= a 2
c)
a
cos
√3
( x)=
=
a √3
3
a
sin
√2 √6
( x)=
=
a √3
3
2. Wektory leżą w sześcianie o boku a. Oblicz a)sumę b)iloczyn skalarny c)sinus i cosinus kąta pomiędzy tymi wektorami.
a)
⃗
p=[0, a , − a]
⃗ q=[ a , 0,− a ]
∣⃗ p∣= a √2
∣⃗ q∣= a √2
⃗
p +⃗ q=[ a , a , −2a ]
∣⃗ p+⃗ q∣=√6a2= a √6
⃗
p ∘⃗ q=0+0+ a 2= a 2
2a2=2a2+2a2−4a2 cos( x ) 1
cos
√3
( x)= , sin ( a )=
2
2
3. Znaleźć czas wznoszenia windy, zakładając, że jej ruch podczas ruszania i hamowania jest jednostajnie zmienny o przyspieszeniurównym co do wartości bezwzględnej a=1m/s2, a na środkowym odcinku drogi jej ruch jest jednostajny z prędkością v=2 m/s.Wysokość, na którą wznosi się winda h=60m.
delta v
delta v
2
t=
, a=
=> t= =2s
a
t
1
a
s
∗ t 2
=
, s=2m
2
Winda pokonuje ruchem jednostajnym drogę równą 60m - 2*2m = 56m. Drogę tę pokonuje z prędkością równą 2 m/s
s
t= , t=28s
v
Łączny czas wznoszenia się windy jest równy: 2s +2s+28s=32s 4. Pod jaki kątem do poziomu należy skierować strumień wody, aby jego maksymalne wzniesienie było
równe zasięgowi kierunku poziomym.
v 2∗sin2( x )
v 2∗ sin2( x ) h = 0
; zasięg w rzucie ukośnym: z= 0
;
max
2g
g
v 2∗ sin2( x) v 2∗sin2( x) sin ( x )
h = z =>
0
0
,
=2cos ( x)
max
=
g
2g
2
4cos( x )=sin( x) ;tg ( x )=4 ; x≈76∘
6. Obliczyć pracę jaką należy wykonać aby ścisnąć sprężynę o 20 cm, jego siła jest proporcjonalna do odkształcenia i pod działaniem siły 30N sprężyna zostaje ściśnięta o 1 cm.
W =∫ Fdx
F=− kx
F
30N
N
; k
3000∗0,022
=
; k =
=3000
; W =
=60J
kx 2
x
0,01 m
m
2
W =−∫ kxdx= 2
7. Kamień o masie 2 kg spadł z pewnej wysokości, przy czym spadanie trwało 1,43s. znaleźć kinetyczną i potencjalną energię kamienia w środkowym punkcie drogi. Opór powietrza pominąć.
g
10
s
∗ t 2
∗1,432
=
=
=10.2245m
2
2
1 s=5.11225m
2
m
V = g∗ t=10.111[ ] ; 10
s
5.11225
∗ t 2
=
2
;
2
E
∗10,1112
=
=51.1161605[ J ]
t=1,0111[ s]
k
2
E =2∗10∗5.11225=102.245[ J ]
p
5. Punkt porusza się po okręgu o promieniu R=5cm tak ,iż zależność drogi od czasu dana jest za pomocą równia s=A+Bt +Ct2 gdzieB=-2m/s, C=1m/s2.Znaleźć prędkość liniową oraz jego przyspi eszenie styczne , normalne i całkowite.
8. Samochód o ciężarze 10000 N jedzie z prędkością V=36km/h. Jaki nacisk wywiera samochód na podłoże gdy jedzie po wklęsłymmoście o promieniu krzywizny 50m.