Przykładowe zadania – Równania nadokreślone i podokreślone : listopad 2008
1
Zadanie
1. Rozwiązać układ równań
2 x + 3 y − 5 z = − 3
4 x + 6 y − 3 z = 1
Odpowiedź:
Macierz rozszerzoną przekształcimy algorytmem GJ-BWEW.
.
.
.
2
3
-5 ..-3
2
3
-5 ..-3
2
3
-5 ..-3
.
= ⇒
.
= ⇒
.
= ⇒
4
6
-3 .. 1
0
0
7 .. 7
0
0
1 .. 1
.
.
2
3
0 ..2
1
3/2
0 ..1
.
= ⇒
.
0
0
1 ..1
0
0
1 ..1
x = 1 − 1 . 5 · y z=1
z
1.0
0.5
y
2/3
0.5
1.0
0.5
1.0
x
Otrzymane rozwiązanie określa rozmaitość jednowymiarową czyli prostą nieprzechodzącka przez początek układu wspĺrzędnych.
Przykładowe zadania – Równania nadokreślone i podokreślone : listopad 2008
2
Zadanie
2. Rozwiązać układ równań
2 x + 3 y = 5
x + y = 3
3 x − 2 y = 3
Odpowiedź:
Szukamy pseudorozwiązania w sensie MNK.
2
3
2 1
3
14
1
·
1
1
=
3 1
− 2
1
14
3
− 2
5
2 1
3
22
·
3
3 1
=
− 2
12
3
14 x + y = 22
x + 14 y = 12
Czyli x = 1 . 5 , y = 0 . 75.
y
3
2
1
0.75
x
-1
1
1.5
2
3
4
-1
-2
Przykładowe zadania – Równania nadokreślone i podokreślone : listopad 2008
3
Zadanie
3. Określić czy układ równań ma rozwiązanie, jeśli nie to obliczyć rozwiązanie przybliżone metodą najmniejszych kwadratów.
2 x + 3 y = 10
x − y + 2 z = 1
4 x − 7 y = 8
x − 2 y − z = 2
− 2 x + 3 y = 6
3 x − y + 5 z = 3
5 x + 9 y = 14
− 2 x + 2 y + 3 z = − 4
Uwaga: w MNK rozwiązanie Ax = b sprowadza się do rozwiązania Sx = t, gdzie S = ATA, t = ATb.
Zadanie
4. Znaleźć pseudorozwiązanie w sensie MNK (metody najmniejszych kwadratów) podanego układu równań:
x 1 − 2 x 2 = 3
3 x 1 + 5 x 2 = − 2
x 1 + x 2 = 0
Zadanie
5. Rozwiązać podane układy równań i podać graficzną interpretację rozwiązania 6 x + 3 y = 12
6 x + 3 y = 12
2 x − y = 5
4 x + 3 y = 1
1
− 2 x + 5 y = 20
x +
y = 3
6 x + 3 y = 7
− 2 x + y = 5
2
1
1
3
x + y = 4
2 x + y = 7
x + y = 12
x +
y = 7
2
2
4
Zadanie
6. Dany jest układ równań:
−x − y = 5
4 x − 2 y = − 4
3 x + 3 y = − 3
a) Określić czy układ ma rozwiązanie.
b) Obliczyć pseudorozwiązanie w sensie metody najmniejszych kwadratów.
c) Podać graficzną interpretację rozwiązania.
Zadanie
7. Oblicz pseudorozwiązanie w sensie metody najmniejszych kwadratów dla ukła-du równań.
x + 2 y = 0
x + y = 1
x − y = 3
Podaj graficzną interpretację rozwiązania.
Przykładowe zadania – Równania nadokreślone i podokreślone : listopad 2008
4
Zadanie
8. Oblicz pseudorozwiązanie w sensie metody najmniejszych kwadratów dla ukła-du równań.
x + y − 1 = 0
2 x + y = 0
x − 1 = 0
x − y − 2 = 0 .
Podaj graficzną interpretację rozwiązania
Zadanie
9. Oblicz rozwiązania poniższego ukłądu równań i podaj graficzną interpretację rozwiązania.
2 x + y + z = 3
4 x − y + 2 z = 6
Zadanie 10. Oblicz rozwiązanie poniższego układu równań i podaj graficzną interpretacje rozwiązania
(
x + 2 y + 4 z = 2
2 x + 3 y − z = 3
Zadanie 11. Oblicz rozwiązanie poniższego układu równań i podaj graficzną interpretację rozwiązania.
(2 x + y − 2 z = 4 , 4 x − y + 3 z = 2 .
Zadanie 12. Rozwiązać podane układy równań i podać graficzną interpretację rozwiązania 2 x 1 + x 2 − x 3 =3
4 x 1 − 2 x 2 + 7 x 3 =4
3 x 1 + 15 x 2 − 4 x 3 + x 4 =7
4 x 1 − x 2 + 2 x 3 =6
− 6 x 1 + 3 x 2 − x 3 =6
x 1 + 5 x 2 − 2 x 3 − x 4 =2
Zadanie 13. Rozwiązać układ równań:
3 x + 12 y − 3 z + w = 3
2 x + 8 y + 2 z + 2 w = 2