PRZYKŁADY ZESTAWÓW EGZAMINACYJNYCH
ZESTAW I
Zadanie 1. Średnio 2 na 10 kupionych jaj nie nadaje się na pisankę. Kupiono 200 jaj. Niech X - będzie liczbą jaj nadających się na pisankę wśród kupionych. Obliczyć a) P( X ≥ 160),
b) P(150 ≤ X ≤ 180),
c) P( X = 155).
Zadanie 2. Zmierzono średnicę pięciu losowo wybranych kulek łożyskowych z pewnej partii (w centymetrach): 1,24; 1,38; 1,25; 1,17; 1,27. Wiadomo, że rozkład średnic kulek łożyskowych w tej partii jest normalny N ( m, σ). Na poziomie ufności 1 − α = 0 , 98 znaleźć przedziały ufności dla wartości przeciętnej i wariancji średnic kulek z tej partii.
Zadanie 3. Dokonano 8 pomiarów pewnej wielkości geometrycznej i uzyskano: 18,14; 18,19; 18,08; 18,06; 18,05; 18,22; 18,21; 18,17. Na poziomie istotności α = 0 , 05 zweryfikować hipotezę H 0 : σ 2 = 0 , 06 przeciw a) H 1 : σ 2 < 0 , 06, b) H 1 : σ 2 6= 0 , 06.
1
Zadanie 1. Wykonano 500 doświadczeń zgodnie ze schematem Bernoulli’ego. Prawdopodobieństwo sukcesu w każdym doświadczeniu jest równe 0,1. Obliczyć a) najbardziej prawdopodobną liczbę sukcesów; obliczyć to prawdopodobieństwo, b) prawdopodobieństwo, że częstość sukcesu odchyli się co do wartości bezwzględnej od 0,1 o mniej niż 0,025.
Zadanie 2. Zmienna losowa X ma gęstość 1
1
f ( x) =
·
,
dla x ∈ R .
π 1 + x 2
a) Sprawdzić, czy
Z
1
∞
x
E X =
d x.
π −∞ 1 + x 2
b) Czy do ciągu ( Xk), gdzie ∀k Xk mają rozkład jak zmienna losowa X, można stosować centralne twierdzenie graniczne Lindeberga-Levy’ego? Uzasadnić.
Zadanie 3. Zmienna losowa ( X, Y ) ma funkcję gęstości µ
¶
1
− 1
x 2 + y 2
f ( x, y) =
e 2 16 36 .
48 π
a) Jaka jest cov( X, Y )?
b) Czy X i Y są niezależne?
c) Jakie są rozkłady brzegowe?
d) Oblicz P( X > 4 , Y < 8) .
2