Algebra liniowa
Zestaw I
Struktury algebraiczne
a + b
Z. 1. Zbadać, czy (R , ∗), gdzie działanie ∗ jest określone następująco a ∗ b =
jest grupą.
2
Z. 2. Wykazać, że (Z , ◦), gdzie działanie ◦ jest określone następująco a◦b = a+ b− 2 jest grupą abelową. Wyznaczyć element symetryczny do 1.
Z. 3. W zbiorze h 0 , 1) określamy działanie ◦ następująco
a
a
1 + a 2
dla
a 1 + a 2 < 1 ,
1 ◦ a 2 =
a 1 + a 2 − 1
dla
a 1 + a 2 1 .
Wykazać, że h 0 , 1) , ◦ jest grupą abelową.
√
Z. 4. Czy działanie ∗ określone następująco a ∗ b =
ab jest działaniem wewnętrznym w zbiorze Q+?
Z. 5. W zbiorze A = h 1 , ∞) określamy działanie a ? b = ab − a − b + 2
Zbadać, czy ( A, ? ) jest grupą.
Z. 6. Dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y określamy działanie xy w następujący sposób: xy = 2 xy. Sprawdzić, czy para (R , ) jest grupą. Czy para (R \ { 0 }, ) jest grupą?
Z. 7. Wykazać, że para ( O, ◦), gdzie O jest zbiorem obrotów płaszczyzny o ustalonym środku O, zaś ◦ operacją składania obrotów, tworzy grupę.
Z. 8. Wykazać, że para ( T , ◦), gdzie P jest zbiorem translacji płaszczyzny, zaś ◦ operacją składania translacji, tworzy grupę.
Z. 9. Wykazać, że (Q , ⊕, ), gdzie a⊕b = a+ b+1 oraz ab = a+ b+ ab jest pierścieniem przemiennym z jednością.
Czy jest to ciało?
√
Z. 10. Niech A = {a + b 2 : a, b ∈ Z }. Wykazać, że ( A, + , ·) jest pierścieniem. Czy jest to ciało?
Z. 11. Niech X będzie zbiorem liczb całkowitych podzielnych przez 2 lub 3. Zbadać, czy ( X, + , ·) jest pierścieniem.
Z. 12. Niech A = {x ∈ R : x = p ∧p, s ∈
2 s
Z ∧ s > 0 }. Wykazać, że zbiór A wraz z działaniami dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych tworzy pierścień. Czy pierścień ten jest ciałem?
Z. 13. Wykazać, że ( 2
R , ⊕, ), gdzie
( a, b) ⊕ ( c, d) = ( a + c, b + d) oraz ( a, b) ( c, d) = ( ac, bd) nie jest ciałem.
Z. 14. W zbiorze Q 2 par liczb wymiernych określone jest działanie ( a, b) ∗ ( c, d) =
a + c + 1 , b + d + bd .
Wyznaczyć, jeśli istnieją, element neutralny tego działania oraz element symetryczny dla dowolnego elementu z Q 2.
Z. 15. W zbiorze
2
R określone jest następujące działanie
( x 1 , y 1) ∗ ( x 2 , y 2) = ( x 1 x 2 − y 1 y 2 , x 1 y 2 + x 2 y 1) .
Sprawdzić, czy ( 2
R , ∗) tworzy grupę.
Z. 16. W zbiorze
2
R określone jest następujące działanie
( x 1 , x 2) ∗ ( y 1 , y 2) = ( x 1 y 1 , x 2 + 2 y 2) .
Sprawdzić, czy ( 2
R , ∗) tworzy grupę.
Z. 17. W zbiorze par liczb określamy działania ⊕ i w następujący sposób: ( a, b) ⊕ ( c, d) = ( a + c, b + d), ( a, b) ( c, d) = ( ac + 2 bd, ad + bc).
(a) Wykazać, że ( 2
Q , ⊕, ) jest ciałem.
(b) Czy ( 2
R , ⊕, ) jest również ciałem?
Z. 18. Wyznaczyć elementy odwrotne względem mnożenia do wszystkich niezerowych elementów ciała K = ( {0 , 1 , 2 , . . . , 9 , 10 }, ⊕11 , 11).
Z. 19. Wyznaczyć elementy odwrotne względem mnożenia do wszystkich niezerowych elementów ciała K = ( {0 , 1 , 2 , . . . , 11 , 12 }, ⊕13 , 13).
Z. 20. W pierścieniu Z12 rozwiązać układ równań
x +
y
=
5
x
−
2 y
=
4 .
Z. 21. W pierścieniu Z15 rozwiązać układ równań
2 x + y
=
6
x
−
y
=
3 .
Z. 22. W pierścieniu Z8 rozwiązać układ równań:
2 x +
y
=
5
x
−
2 y
=
3 .
Z. 23. W ciele GF (5) znaleźć pierwiastki równania x 2 + x + 3 = 0.
Z. 24. W pierścieniu Z12 dany jest układ równań:
3 x + y
=
a
x
−
y
=
2 .
Pamiętając, że działania występujące w układzie są działaniami z Z12 wyznaczyć te warości parametru a ( a ∈
Z12), dla których układ ma rozwiązania, a następnie dla każdej z uzyskanych wartości parametru a znaleźć zbiory rozwiązań układu.
Z. 25. W Z3 rozwiązać układ równań
x
+
2 z
=
1
2 x
−
z
=
1
y
+
2 z
=
2 .
Z. 26. W Z5 rozwiązać układ równań
x
+
2 z
=
1
2 x
−
z
=
1
y
+
2 z
=
2 .
Z. 27. Wykazać, że (Z6 , ⊕ 6 , 6) nie jest ciałem.
Z. 28. W zbiorze Z4 × Z4 określamy działania ⊕ oraz w następujący sposób: ( a 1 , b 1) ⊕ ( a 2 , b 2) = ( a 1 ⊕ 4 a 2 , b 1 ⊕ 4 b 2) ( a 1 , b 1) ( a 2 , b 2) = ( a 1 4 a 2 , b 1 4 b 2).
Wykazać, że (Z4 × Z4 , ⊕, ) jest pierścieniem.