Mechanika analityczna
Kolokwium 1 27 marca 2015 r.
1. Sformułuj następujące zagadnienie wariacyjne. Dana jest jednorodna lina o długości
i masie m. Lina ta może być rozpięta między punktami A i B jak na rysunku,
przy czym odległość AB < . Wyznaczyć równanie ekstremali zagadnienia pole-
gającego na minimalizacji momentu bezwładności liny względem osi x. Nazwij typ
zagadnienia.
2. Napisać równanie Eulera-Lagrange a dla funkcjonału w postaci:
Å„Å‚ îÅ‚
2 2Å‚Å‚üÅ‚

òÅ‚ żł
"2z "2z "2z "2z "2z
ðÅ‚ ûÅ‚
I [z(x, y)] = + - 2(1 - µ) - dD
ół þÅ‚
"x2 "y2 "x2 "y2 "x"y
D
gdzie µ jest parametrem, zaÅ› D jest pewnym obszarem staÅ‚ym.
3. Wyznaczyć ekstremale funkcjonału:
Ä„
2

I [y(x), z(x)] = 2yz + (y )2 (z )2 dx
0
spełniające warunki brzegowe:
Å„Å‚
Ä„ Ä„2
ôÅ‚
òÅ‚ y = - 1
2 4
y(0) = -1

ôÅ‚
z(0) = 1
Ä„ Ä„2
ół
z = + 1
2 4
oraz warunek dodatkowy:
y + z = 4x.