ÿþ& & & & & & & & & & & . . . 0 1 . 0 6 . 2 0 1 5 & & & & & & & & & & & . . . 0 1 . 0 6 . 2 0 1 5
N a z w i s k o i I m i N a z w i s k o i I m i
K o l o k w i u m 2 A K o l o k w i u m 2 B
A r k u s z 1 s t r o n y 1 , 2 , 3 , 4 . A r k u s z 2 s t r o n y 5 , 6 , 7 , 8 . A r k u s z 1 s t r o n y 1 , 2 , 3 , 4 . A r k u s z 2 s t r o n y 5 , 6 , 7 , 8 .
Z a d . 1 ( s t r . 1 ) 1 0 p . Z a d . 1 ( s t r . 1 ) 1 0 p .
r
r r r r r r r
r r r
D a n a j e s t o p e r a c j a l i n i o w a A ( x ) = x × a , g d z i e a = 3 e 1 + 2 e 2 - e 3 . W y z n a c z y
D a n a j e s t o p e r a c j a l i n i o w a A ( x ) = a ( x o b ) , g d z i e
r r
r r r r r r r
m a c i e r z t e j o p e r a c j i o r a z o b r a z w e k t o r a e 2 p r z y o p e r a c j i A .
a = 2 e 1 - e 2 + e 3 , b = 2 e 1 + 2 e 2 - e 3 . W y z n a c z y m a c i e r z t e j o p e r a c j i o r a z
r
o b r a z w e k t o r a e 1 p r z y o p e r a c j i A .
Z a d . 2 ( s t r . 2 ) 1 0 p .
"2 u "u
Z a d . 2 ( s t r . 2 , 3 ) 2 0 p .
R o z w i z a r ó w n a n i e r ó \n i c z k o w e c z s t k o w e - 2 y = 0
"x "y "x
S t o s u j c p r z e k s z t a Bc e n i e L a p l a c e a r o z w i z a r ó w n a n i e r ó \n i c z k o w e z w y c z a j n e
2
( d o t y c z c e n i e w i a d o m e j f u n k c j i j e d n e j z m i e n n e j ) w ( t ) - 5 w ( t ) = a z
Z a d . 3 ( s t r . 3 ) 8 p .
w a r u n k i e m w ( 0 + ) = c ( g d z i e a , c d a n e s t a Be , n i e z a l e \ o d t ) . N a s t p n i e
w y k o r z y s t a t o , a b y r o z w i z a r ó w n a n i e r ó \n i c z k o w e c z s t k o w e
P o d a d e f i n i c j o p e r a c j i l i n i o w e j i s p r a w d z i , c z y p o d a n a o p e r a c j a
"2 u "u
y x
r îø ùø r îø ùø
- 5 Å" = x .
A ( x ) = j e s t l i n i o w a .
ïø1 + x úø x = ïøy úø
"y 2 "y
ðø ûø ðø ûø
Z a d . 3 ( s t r . 4 ) 8 p .
Z a d . 4 ( s t r . 4 ) 1 0 p .
5 2 - 4
îø ùø
ïø
D a n a j e s t o p e r a c j a A o m a c i e r z y w b a z i e ² ‘² = 2 2 - 2 úø , k t ó r a m a
S t o s u j c p r z e k s z t a Bc e n i e L a p l a c e a w y z n a c z y f u n k c j x ( t ) s p e Bn i a j c u k Ba d
ïø úø
ïø- 4 - 2 5
úø
ñø 2 - x + y + e t
x =
ðø ûø
r ó w n a D g d z i e x ( 0 ) = y ( 0 ) = 1 .
òø
2
y = x - y + e t 1 1
îø ùø îø ùø
óø
ïø- ïø0 úø
n a s t p u j c e w e k t o r y w Ba s n e 4 úø , . W y z n a c z y t r z e c i w e k t o r w Ba s n y o r a z
ïø úø ïø úø
Z a d . 5 ( s t r . 5 , 6 ) 1 2 p . ( 7 p . + 5 p . )
ïø- 1 ûø ðø1 úø
úø ïø
ðø ûø
2
1 . P o d a i u d o w o d n i t w i e r d z e n i e o w a r t o [c i a c h w Ba s n y c h o p e r a c j i o d p o w i a d a j c y m u w e k t o r b a z y o r t o n o r m a l n e j ² , w k t ó r e j m a c i e r z o p e r a c j i A
s y m e t r y c z n e j .
j e s t m a c i e r z d i a g o n a l n .
2 . P o d a w z ó r d A l e m b e r t a o r a z p o d a r ó w n a n i e r ó \n i c z k o w e c z s t k o w e z
w a r u n k a m i , k t ó r e r o z w i z u j e s i z a p o m o c t e g o w z o r u .
Z a d . 4 ( s t r . 5 , 6 ) 1 2 p . ( 3 p . + 9 p . )
1 . P o d a d e f i n i c j m a c i e r z y p o d o b n y c h .
2 . P o d a i u d o w o d n i t w i e r d z e n i e d o t y c z c e z w i z k u m i d z y m a c i e r z
t r a n s p o n o w a n i m a c i e r z o d w r o t n w p r z y p a d k u m a c i e r z y o r t o g o n a l n e j .
& & & & & & & & & & & . . . 0 1 . 0 6 . 2 0 1 5 & & & & & & & & & & & . . . 0 1 . 0 6 . 2 0 1 5
N a z w i s k o i I m i N a z w i s k o i I m i
K o l o k w i u m 2 C K o l o k w i u m 2 D
A r k u s z 1 s t r o n y 1 , 2 , 3 , 4 . A r k u s z 2 s t r o n y 5 , 6 , 7 , 8 . A r k u s z 1 s t r o n y 1 , 2 , 3 , 4 . A r k u s z 2 s t r o n y 5 , 6 , 7 , 8 .
Z a d . 1 ( s t r . 1 ) 1 0 p . Z a d . 1 ( s t r . 1 ) 1 0 p .
r r r
r r r r r r r r
D a n a j e s t o p e r a c j a A ( x ) = x × b , g d z i e b = 4 e 1 + 4 e 2 - 2 e 3 . D a n a j e s t o p e r a c j a l i n i o w a A ( x ) = a ( x o b ) , g d z i e
r
r
r r r r r r r
W y z n a c z y m a c i e r z t e j o p e r a c j i o r a z o b r a z w e k t o r a e 3 p r z y o p e r a c j i A .
a = 2 e 1 + 2 e 2 - e 3 , b = 2 e 1 - e 2 + e 3 . W y z n a c z y m a c i e r z t e j o p e r a c j i o r a z
r
o b r a z w e k t o r a e 2 p r z y o p e r a c j i A .
Z a d . 2 ( s t r . 2 ) 1 0 p .
"2 u "u
Z a d . 2 ( s t r . 2 , 3 ) 2 0 p .
R o z w i z a r ó w n a n i e 4 Å" = z w a r u n k a m i u ( 0 , t ) = 0 , u ( 3 , t ) = 0 ,
"x 2 "t
2 S t o s u j c p r z e k s z t a Bc e n i e L a p l a c e a r o z w i z a r ó w n a n i e r ó \n i c z k o w e z w y c z a j n e
u ( x , 0 ) = s i n ( 3 Àx ) , w i e d z c \e f u n k c j a u ( x , t ) = C Å" s i n ( » Å" x ) Å" e - 4 » Å"t ( g d z i e
2
( d o t y c z c e n i e w i a d o m e j f u n k c j i j e d n e j z m i e n n e j ) w ( t ) - 5 w ( t ) = a z
c " R o r a z » > 0 ) s p e Bn i a p o d a n e r ó w n a n i e r ó \n i c z k o w e i w a r u n e k
w a r u n k i e m w ( 0 + ) = c ( g d z i e a , c d a n e s t a Be , n i e z a l e \ o d t ) . N a s t p n i e
u ( 0 , t ) = 0 .
w y k o r z y s t a t o , a b y r o z w i z a r ó w n a n i e r ó \n i c z k o w e c z s t k o w e
"2 u "u
Z a d . 3 ( s t r . 3 ) 8 p .
- 5 Å" = x .
"y 2 "y
P o d a d e f i n i c j m a c i e r z y o r t o g o n a l n e j i s p r a w d z i , c z y p o d a n a m a c i e r z
îø- c o s ± s i n ± ùø
Z a d . 3 ( s t r . 4 ) 8 p .
A = j e s t o r t o g o n a l n a , p o d a s t o s o w a n w Ba s n o [.
ïø úø
5 2 - 4
s i n ± - c o s ± îø ùø
ðø ûø
ïø
D a n a j e s t o p e r a c j a A o m a c i e r z y w b a z i e ² ‘² = 2 2 - 2 úø , k t ó r e j
ïø úø
Z a d . 4 ( s t r . 4 ) 1 0 p .
ïø- 4 - 2 5
úø
ðø ûø
w a r t o [c i a m i w Ba s n y m i s 1 , 1 , 1 0 . W y z n a c z y p i e r w s z y w e k t o r b a z y
S t o s u j c p r z e k s z t a Bc e n i e L a p l a c e a w y z n a c z y f u n k c j y ( t ) s p e Bn i a j c u k Ba d
2
o r t o n o r m a l n e j ² , w k t ó r e j m a c i e r z o p e r a c j i A j e s t m a c i e r z d i a g o n a l n . P o d a
2 2
x
ñø - y = - s i n t
1 1
r ó w n a D g d z i e x ( 0 ) = , y ( 0 ) = - .
p o s t a m a c i e r z y d i a g o n a l n e j ‘² 2 .
òø
2 2
x + y = c o s t 2 2
óø
Z a d . 4 ( s t r . 5 , 6 ) 1 2 p . ( 4 p . + 8 p . )
Z a d . 5 ( s t r . 5 , 6 ) 1 2 p . ( 7 p . + 5 p . )
1 . P o d a d e f i n i c j p r z e k s z t a Bc e n i a L a p l a c e a .
1 . P o d a i u d o w o d n i t w i e r d z e n i e o w e k t o r a c h w Ba s n y c h o p e r a c j i
2 . P o d a i u d o w o d n i t w i e r d z e n i e o w y z n a c z n i k u m a c i e r z y o r t o g o n a l n e j .
s y m e t r y c z n e j , o d p o w i a d a j c y c h r ó \n y m w a r t o [c i o m w Ba s n y m .
2 . P o d a d e f i n i c j r ó w n a n i a r ó \n i c z k o w e g o c z s t k o w e g o d r u g i e g o r z d u i
j e g o t y p y .
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