Teoria sygnałów i systemów
Kolokwium 3 (grupa A/B) 28 stycznia 2015 r.
1. (A) Dany jest układ opisany przez równianie różniczkowe:
2ÿ + 4Ź + 2y = f(t)
przy czym y(0) = 0 oraz Ź(0) = 0. Wyznaczyć odpowiedz
impulsową tego układu
oraz narysować jej wykres.
2. (A) Odpowiedz
impulsowa systemu wynosi:
e-t - e-12t
h(t) =
11
Znalez
ć odpowiedz
systemu na wymuszenie:
x(t) = 1(t - 2)
i narysować jej wykres.
3. (A) Fala nośna y(t) = cos(200Ąt) modulowana jest sygnałem opisanym równaniem
m(t) = 2 cos(50Ąt). Przedstawić przebiegi czasowe i widma obu sygnałów oraz sy-
gnału zmodulowanego w przypadku modulacji dwuwstęgowej z wytłumioną falą no-
śną (DSB-SC).
3. (B) Obliczyć rząd oraz częstość krawędzi pasma przepustowego filtru Czebyszewa
spełniającego wymagania:
" krawędz
pasma przenoszenia fp = 10 kHz,
" krawędz
pasma zaporowego fz = 20 kHz,
" dopuszczalne tłumienie w paśmie przenoszenia ąp = 1 dB,
" tłumienie na krawędzi pasma zaporowego ąz = 20 dB.
Jakiego rzędu filtr Butterwortha należy zastosować, by częstość krawędzi pasma
przepustowego była o 20 % większa (przy niezmienionych gabarytach).
4. (B) Mierzone są składowe przyspieszeń (ax, ay) w obu prostopadłych kierunkach
(x, y). Zgodnie ze specyfikacją czujników pomiarowych odchylenie standardowe po-
m
miaru przyspieszenia wynosi 0.001 . Do estymacji prędkości tego obiektu zasto-
s2
sowano filtr Kalmana. Podać założenia przyjęte przy konstrukcji tego filtra, oraz
wyznaczyć równanie stanu, równanie obserwacji, macierze kowariancji błędów oraz
parametry startowe filtra. W przypadku braku wystarczającej ilości danych proszę
opisać sposób wyznaczania tych parametrów filtra.
5. (A) Dany jest system opisany równaniami:

‹1 + 3x1 = 5x2
‹2 + x1 = -x2
Mierzone sÄ… zmienne:

u = x2 + 2x1
"1
v = x2
Wyznaczyć równanie stanu oraz równanie obserwacji dla filtra Kalmana.
Teoria sygnałów i systemów
Kolokwium 3 (grupa C) 28 stycznia 2015 r.
1. Dany jest układ opisany przez równianie różniczkowe:
ÿ + 13Ź + 12y = f(t)
przy czym y(0) = 0 oraz Ź(0) = 0. Wyznaczyć odpowiedz
impulsową tego układu
oraz narysować jej wykres.
2. Odpowiedz
impulsowa układu RC wynosi:
1 t
RC
h(t) = e-
RC
Rezystancja opornika R = 2 &!, zaś pojemność kondensatora C = 0.01 F. Wyznaczyć
odpowiedz
układu na wymuszenie:

t - 1
x(t) = 2 
2
i narysować jej wykres.
3. Obliczyć rząd filtru Butterwortha spełniającego wymagania:
" krawędz
pasma przenoszenia fp = 5 kHz,
" krawędz
pasma zaporowego fz = 10 kHz,
" dopuszczalne tłumienie w paśmie przenoszenia ąp = 1 dB,
" tłumienie na krawędzi pasma zaporowego ąz = 20 dB.
O ile należy zmienić wartość ąp, aby móc zastosować filtr rzędu niższego o jeden?
4. Mierzone są składowe prędkości (u, v) na dwóch prostopadłych kierunkach (x, y).
Zgodnie ze specyfikacjÄ… poducenta urzÄ…dzenia pomiarowego odchylenie standardowe
m
błędów pomiarowych wynosi 0.01 . Do estymacji położenia zastosowano filtr Kal-
s
mana. Podać założenia niezbędne, by móc skonstruować ten filtr. Wyznaczyć rów-
nanie stanu, równanie obserwacji, macierze kowariancji błędów i parametry startowe
filtra. W przypadku braku niezbędnych danych opisać sposób wyznaczenia tych pa-
rametrów filtra.
5. Dany jest system opisany równaniami:

‹1 + 3x2 + 5x2 = 0
1
‹2 + x1x2 = 0
Wyznaczyć równanie stanu oraz równanie obserwacji zastosowane w filtrze Kalmana.
Przyjąć, że obie zmienne x1 i x2 są obserwowanie bezpośrednio.