Mariusz PYRZ
SIMR (PW), Instytut Pojazdów
Metody numeryczne w mechanice
Wprowadzenie de obliczeń numerycznych
1.
Metody numeryczne
Dokładne rozwiązania analityczne wielu problemów mechaniki są trudne
(lub niemo\
liwe) do uzyskania.
Metody numeryczne zajmują się analizą sposobów rozwiazywania
problemów matematycznych za pomocą działań arytmetycznych oraz
doborem takich procedur (i ich zastosowaniem) które są najbardziej
odpowiednie do rozwiÄ…zania rozwa\
anego problemu.
odpowiednie do rozwiÄ…zania rozwa\
anego problemu.
Analiza numeryczna zajmuje siÄ™ badaniem metod umo\
liwiajÄ…cych
wyznaczanie numeryczne wartości liczbowej oraz wartości funkcji.
W mechanice dotyczy to problemów modelowania i projektowania,
opracowywania wyników eksperymentalnych, &
2
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011
Znajomość numeryczna wartości liczbowej
LiczbÄ™ uwa\
amy za  znaną numerycznie jeśli dysponujemy jej zapisem w
dziesiętnym systemie liczbowym , np.
e = 2,7183Ä…10-4
(tzn., je\
eli znamy pewną liczbę cyfr opisujących rozwinięcie dziesiętne
(tzn., je\
eli znamy pewną liczbę cyfr opisujących rozwinięcie dziesiętne
oraz znamy dokładność z jaką to rozwinięcie jest podane)
Niektóre liczby rzeczywiste będą traktowane jako  dobrze znane poniewa\
mo\
na
znalez
ć ich przybli\
oną wartość z wymaganą dokładnością (np. w tablicach)
2, 3,Ä„,e
3
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011
Znajomość numeryczna funkcji
FunkcjÄ™ traktujemy jako znanÄ… numerycznie je\
eli mo\
na obliczyć jej
wartość* w ka\
dym punkcie dziedziny określoności funkcji.
*) w sensie znajomości numerycznej wartości liczbowej
tj. podania wartości przybli\
onej i wskazania jej dokładności
4
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011
Liczba cyfr znaczÄ…cych
(wyznacza granicę błędu)
Niech x będzie liczbą rzeczywistą, której rozwinięcie dziesiętne jest w
ogólnym przypadku nieskończone.
x = 4 1 2 8 , 4 5 0 6 7
3 2 1 0 -1 -2 -3 & -d numery cyfr
Liczba x jest poprawnie zaokrÄ…glona do pozycji d (co oznaczymy
Liczba x jest poprawnie zaokrÄ…glona do pozycji d (co oznaczymy
1
symbolem x(d)) jeśli błąd zaokrąglenia wynosi
µ = x - x(d ) d" 10d
2
( -3) ( -7 )
x = 6.74399666 x = 6.744 x = 6.7439967
Przykłady:
Uwaga: mo\
na wybrać zaokrąglenie do wartości wy\
szej lub ni\
szej
Z zasady zaokrągla się zawsze do wartości wy\
szej albo zawsze do wartości ni\
szej
5
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011
Poszukiwanie wartości liczbowych
 przykłady problemów
Równania nieliniowe i ich układy
f(x) = 0
f (x) = 0
Wyznaczyć x x
Układy równań liniowych
Ax = b
x "Rn
Wyznaczyć
A  dana macierz kwadratowa rzędu n,
- dany wektor
b "Rn
6
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011
Poszukiwanie wartości liczbowych
 przykłady problemów
Pn (x) = a0 + a1x + a2x2 + ...+ anxn
Interpolacja
Wyznaczyć
ai " R, i = 0,& , n
m
f (x) =
f (x) =
"a Õ
"a Õ
j j
Aproksymacja
Aproksymacja
j=0
aj " R, j = 0,& , n
Wyznaczyć
Õj
- dane funkcje
7
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011
Poszukiwanie wartości liczbowych
 przykłady problemów
Ax =  x x `" 0
Wartości własne
 "C
Wyznaczyć
Ax =  x
Wektory własne
x "Rn
Wyznaczyć
8
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011
Poszukiwanie wartości liczbowych
 przykłady problemów
2.7
Całkowanie numeryczne
Ä…1 = e- x2dx
+"
1
2
Ä…2 =
+"+"(x + y2)dxdy
D
Minimalizacja funkcji
a,b,c "R
Znalez
ć takie
É = sup yi - (axi2 + bxi + c) min
aby
i=1,...,n
9
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011
Poszukiwanie wartości funkcji
 przykłady problemów
Równania ró\
niczkowe zwyczajne
Problem warunków początkowych
2
y (x) = f (x, y(x))
Wyznaczyć y tak, aby
x "[a,b], y(a) = Ä…
Problem wartości granicznych
2 2 2
y (x) = f (x, y(x), y (x))
x "[a,b], y(a) = Ä…, y(b) = ²
Wyznaczyć y tak, aby
10
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011
Poszukiwanie wartości funkcji
 przykłady problemów
Równania ró\
niczkowe czÄ…stkowe
Problem Dirichleta
Dany jest zbiór otwarty &!
“
i jego  brzeg .
-"u(x) + u(x) = f (x) w &!
-"u(x) + u(x) = f (x) w &!
Å„Å‚
Å„Å‚
Wyznaczyć u tak, aby
Wyznaczyć u tak, aby
òÅ‚
òÅ‚
u(x) = Õ(x) na “
ół

dane lub do wyznaczenia (wtedy jest to zagadnienie na wartości własne)
- operator ró\
niczkowy, - znane funkcje
f ,Õ
"
11
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011
Poszukiwanie wartości funkcji
 przykłady problemów
Problemy optymalizacji
Optymalizacja funkcji wielu zmiennych
f (x1, x2,..., xn ) min
Wyznaczyć x tak aby
h(x1, x2,..., xn ) = 0, g(x1, x2,..., xn ) d" 0
Kontrola optymalna
2
y (x) = f (x, y(x),u(x)) x "[a,b]
y(a) = Ä…, f ,Ä… dane
b
Wyznaczyć u
g(x, y(x),u(x))dx min
+"
aby (na przykład)
a
12
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011
Rozwiązywanie zadań za pomocą metod numerycznych
Sprzęt
papier + długopis (bardzo prosty problem )
kalkulator (problem o Å‚atwym algorytmie)
komputer (powa\
ne zagadnienia)
Metoda
Zale\
y od rozpatrywanego problemu i posiadanego sprzętu
Algorytm
Algorytm
Precyzyjny opis kolejnych działań, pozwalających na obliczenie wyniku
Badanie algorytmów
opis algorytmu
badanie teoretyczne zbie\
ności (błąd metody)
badanie praktyczne zbie\
ności
13
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011
y
ródła i natura błędów
Błędy podczas definiowania problemu ( sformułowanie matematyczne)
- Błędy sformułowania (przybli\
enie stanu rzeczywistego za pomocÄ… modeli
matematycznych margines błędu trudny do oszacowania)
- Błędy danych (błędy i niedokładności pomiarów i zaokrągleń)
Błędy przybli\
eń w procesie obliczeniowym
Błędy przybli\
eń w procesie obliczeniowym
(rozwiÄ…zywanie numeryczne)
- Błędy zaokrągleń  przybli\
enie wartości liczbowych posiadających
nieskończenie wiele cyfr przez wartości o skończonej liczbie cyfr)
- Błędy  obcięcia będące konsekwencją zastąpienia  nieskończonej liczby
operacji matematycznych (wymaganych w teorii) przez skończoną liczbę
operacji procesu obliczeniowego
14
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011
Akumulacja błędów
Wszystkie błędy dodają się do siebie i rozprzestrzeniają w procesie obliczeń.
Ich akumulacja mo\
e prowadzić do nieprzewidywalnych skutków.
Metoda (lub algorytm jest stabilny je\
eli jest ona mało wra\
liwa na
akumulację (spiętrzenie) błędów zaokrąglenia (mo\
e to być zale\
ne od
wartości zmiennych).
Obliczanie błędu błąd bezwzględny błąd względny
µ
µ = x* - x
e =
x*
(ró\
nica miedzy wartością dokładną lub teoretyczną x*
a wartością przybli\
onÄ… x )
Przykład: Gdy przybli\
ymy 1/3 liczbÄ… 0.333 to epsilon=1/3*10-3 , e=10-3.
15
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011
Komputer  narzędzie dla metod numerycznych
Komputer mo\
e dostarczyć jedynie wartości przybli\
one, które zale\
Ä…
jednocześnie od ograniczeń fizycznych (obszar pamięci, prędkość
zegara, & ) i od doboru metody przez autora programu.
Niebezpieczeństwo: zbyt du\
e zaufanie u\
ytkownika do komputera
(niezale\
nie od tego czy jest to kalkulator czy super komputer)!
Reprezentacja (kodowanie) liczb na komputerze
System numeryczny komputera jest dyskretny (skończona liczba wartości)
Z wyjątkiem najprostszych przypadków,
wszystkie obliczenia są obarczone błędami.
16
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011
Obliczenia na kalkulatorze
Problem: Obliczyć (11 111 111)2
Dokładna wartość : 123 456 787 654 321
Wartość wyświetlona przez kalkulator 1.2345E14
(wyświetlacz 9-cio cyfrowy) 1.2345*1014 =
123 450 000 000 000
Błąd bezwzględny 123 456 787 654 321 - 123 450 000 000 000 =
Błąd bezwzględny 123 456 787 654 321 - 123 450 000 000 000 =
6 787 654 321 (rzędu 6*109)
Błąd względny 6 787 654 321 / 123 456 787 654 321 = 0.0005%
W obliczeniach numerycznych nale\
y starać się o uzyskanie odpowiedzi
charakteryzowanej prawidłowym rządem wielkości i maksymalną liczbą
dokładnych cyfr rozwinięcia dziesiętnego.
17
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011
Problemy informatyczne
* Reprezentacja liczb na komputerze: całkowite i zmiennoprzecinkowe
(rzeczywiste).
* Dokładność: zwykła i/lub podwójna
* Liczby zmiennoprzecinkowe
x = Ä… M *bE
gdzie M  mantysa, b  podstawa systemu liczbowego, E  wykładnik (liczba całkowita)
* ZaokrÄ…glanie liczby
* Arytmetyka zmiennopozycyjna
Reprezentacja zmiennopozycyjna została zaproponowana aby błąd względny liczb
reprezentowanych w pamięci komputera był w przybli\
eniu stały (wartość tego błędu
związana jest z dokładnością maszyny)
18
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011
Uwarunkowanie problemu i stabilność algorytmu
Je\
eli błędy powstałe na pośrednich etapach obliczeń mają pomijalny
wpływ na końcowy wynik, wówczas mamy do czynienia z algorytmem
stabilnym numerycznie. W przeciwnym przypadku algorytm jest
numerycznie niestabilny.
Problem jest dobrze uwarunkowany numerycznie, je\
eli małe zmiany
danych nie pociÄ…gajÄ… za sobÄ… du\
ych zmian w wynikach.
19
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011
Pytania przed przystÄ…pieniem do rozwiÄ…zywania
Dane:
Jakie wielkości są danymi problemu?
W jakiej przestrzeni danych i wyników najlepiej wyrazić sens fizyczny lub
techniczny problemu?
Uwarunkowanie problemu
Czy problem jest wra\
liwy na perturbacje danych?
Czy problem jest wra\
liwy na perturbacje danych?
Czy mo\
na go rozwiązać z wymagana dokładnością?
Czy istnieje równowa\
ny problem lepiej uwarunkowany?
Dobór algorytmu
Czy algorytm jest stabilny i prawidłowy?
Jakie sÄ… mo\
liwe straty w dokładności?
20
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice - Wprowadzenie 10.2011