PRZYKLAD OBLICZENIOWY nr 4
Temat : Rozwiązywanie problemu wartości własnych Ax=x
Wymagane obliczenia należy przeprowadzić  ręcznie (tj. używając  kalkulatora a nie gotowego
programu generującego ostateczny wynik).
Każdy student rozwiązuje inny przykład liczbowy, oznaczony numerem odpowiadającym numerowi
nazwiska studenta na liście. Każda grupa laboratoryjna ma oddzielny zestaw zadań (przykłady
zamieszczone są w dalszej części, po opisie zadań do wykonania).
W przypadku problemów obliczeniowych proszę skontaktować sie z prowadzącym zajęcia.
Podpisany konspekt z wynikami obliczeń i wnioskami należy oddać prowadzącemu zajęcia
przed laboratorium poświęconym rozwiązywaniu układów równań liniowych.
Zadanie 1: Obliczanie analityczne wartości własnych
Wyznaczyć analitycznie wartości i wektory własne macierzy A (podanej w dalszej części).
Wartości własne obliczamy szukając zerowego wyznacznika macierzy Ax-I , odpowiadające im
wektory własne obliczamy z zależności Ax=x.
Zadanie 2: Obliczanie numeryczne wartości własnych - metoda potęgowa
Dla tego samego przykładu wykonać 5 iteracji metody potęgowej startując z wektora
początkowego x0=[1 1] (lub innego, jeśli ten nie jest odpowiedni). Dla każdego kroku podać
przybliżenie wartości własnej i (tutaj: o największym module) i odpowiadającego jej wektora
własnego xi. Przybliżenia wektorów własnych proszę normalizować korzystając z normy euklidesowej
(normy  2 ) lub "nieskończonej". Czy obserwujemy zbieżność do rozwiązania analitycznego?
Zadanie 3: Przykład zagadnienia na wartości własne w mechanice
Rozważamy przedstawiony na rysunku układ trzech mas połączonych sprężynami:
x2(t)
x1(t)
x3(t)
k2
k1 k3
m1 m2 m3
x
Symbolami x1(t), x2(t) i x3(t) oznaczono oscylacje poziome mas m1, m2 i m3 (w funkcji czasu t)
wokół położenia równowagi, k1, k2 i k3 są współczynnikami sprężystości sprężyn.
Układ różniczkowych równań ruchu (w przypadku braku tłumienia) można zapisać w postaci:
k1+k2 -k2 0 x1(t) m1 0 0 x1''(t) 0
�ł łł ńł �ł �ł łł ńł �ł ńł �ł
�łx2''(t)�ł �ł0�ł
�ł �ł śł
-k2 k2+ k3 -k3śł �łx2(t)�ł + 0 m2 0 =
�ł żł �ł żł �ł żł
�ł śł �ł śł
�łx3(t)�ł
�ł śł �ł śł
0 -k3 k3 0 0 m3�ł �łx3''(t)�ł �ł0�ł
�ł �ł ół �ł �ł ół �ł ół �ł
gdzie x13 (t), x23 (t) i x33 (t) oznaczają drugie pochodne x1(t) , x2(t) i x3(t) po czasie.
Poszukujemy częstości własnych i postaci drgań własnych rozważanego układu, czyli niezerowego
rozwiązania powyższego układu równań różniczkowych. Zakładamy, że funkcje x1(t), x2(t) i x3(t),
spełniające równania ruchu, mają postać:
x1(t) = a1sin(�t +� ), x2(t) = a2sin(�t +� ), x3(t) = a3sin(�t +� ) ,
gdzie a1, a2, a3, � i � są stałymi niezależnymi od czasu.
Podstawiając x1(t) , x2(t) i x3(t) do równań ruchu wykazać, że �2 jest wartością własną macierzy A
natomiast wektor własny tej macierzy ma składowe x=[a1 a2 a3]T.
(k1+k2)/m1 -k2/m1 0
�ł łł
�ł
A = -k2/m2 (k2+k3)/m2 -k3/m2śł
�ł śł
�ł 0 -k3/m3 k3/m3 śł
�ł �ł
GRUPA 1
Uwaga: każdy student wybiera dane zestawu o numerze odpowiadającym swojemu numerowi z listy
(patrz numeracja w załączonym pliku z obecnością na pierwszym laboratorium)
Nr przykładu Macierz A wartości własne
1 - 5. 3. - 8. 0.
3. - 5. 0. - 2.
2 8. 6. 2. 0.
6. 8. 0. 14.
3 2. 5. - 3. 0.
5. 2. 0. 7.
4 7. 6. 1. 0.
6. 7. 0. 13.
5 7. 11. - 4. 0.
11. 7. 0. 18.
6 - 7. - 12. - 19. 0.
- 12. - 7. 0. 5.
7 2. 15. - 13. 0.
15. 2. 0. 17.
8 - 6. 3. - 9. 0.
3. - 6. 0. - 3.
9 12. 9. 3. 0.
9. 12. 0. 21.
10 4. 5. - 1. 0.
5. 4. 0. 9.
11 8. - 6. 2. 0.
- 6. 8. 0. 14.
12 - 2. - 6. - 8. 0.
- 6. - 2. 0. 4.
13 - 12. 6. - 18. 0.
6. - 12. 0. - 6.
14 1. 3. - 2. 0.
3. 1. 0. 4.
15 - 2. 6. - 8. 0.
6. - 2. 0. 4.
16 - 9. 3. - 12. 0.
3. - 9. 0. - 6.
17 2. 6. - 4. 0.
6. 2. 0. 8.
18 - 4. 11. - 15. 0.
11. - 4. 0. 7.
19 - 3. 5. - 8. 0.
5. - 3. 0. 2.
20 - 1. 6. - 7. 0.
6. - 1. 0. 5.
GRUPA 2
Uwaga: każdy student wybiera dane zestawu o numerze odpowiadającym swojemu numerowi z listy
(patrz numeracja w załączonym pliku z obecnością na pierwszym laboratorium)
Nr przykładu Macierz A wartości własne
1 - 8. 6. - 14. 0.
6. - 8. 0. - 2.
2 1. 5. - 4. 0.
5. 1. 0. 6.
3 - 7. - 6. - 13. 0.
- 6. - 7. 0. - 1.
4 7. 12. - 5. 0.
12. 7. 0. 19.
5 - 7. - 11. - 18. 0.
- 11. - 7. 0. 4.
6 - 4. 5. - 9. 0.
5. - 4. 0. 1.
7 - 3. 12. - 15. 0.
12. - 3. 0. 9.
8 6. 12. - 6. 0.
12. 6. 0. 18.
9 11. 9. 2. 0.
9. 11. 0. 20.
10 1. 14. - 13. 0.
14. 1. 0. 15.
11 - 1. 5. - 6. 0.
5. - 1. 0. 4.
12 1. 15. - 14. 0.
15. 1. 0. 16.
13 1. 11. -10. 0.
11. 1. 0. 12.
14 - 4. 12. - 16. 0.
12. - 4. 0. 8.
15 - 3. 9. - 12. 0.
9. - 3. 0. 6.
16 9. 11. - 2. 0.
11. 9. 0. 20.
17 5. 15. - 10. 0.
15. 5. 0. 20.
18 - 5. - 15. - 20. 0.
- 15. - 5. 0. 10.
19 - 2. 15. - 17. 0.
15. - 2. 0. 13.
20 - 1. - 11. - 12. 0.
- 11. - 1. 0. 10.
21 - 9. 3.
3. - 9.
22
5. 1.
1. 5.
23
7. 1.
1. 7.
24
8. 3.
3. 8.
25
7. 10.
10. 7.
GRUPA 3
Uwaga: każdy student wybiera dane zestawu o numerze odpowiadającym swojemu numerowi z listy
(patrz numeracja w załączonym pliku z obecnością na pierwszym laboratorium)
Nr przykładu Macierz A wartości własne
1 3. 2. - 8. 0.
2. 3. 0. - 2.
2 2. 10. 2. 0.
10. 2. 0. 14.
3 2. 9. - 3. 0.
9. 2. 0. 7.
4 8. 2. 1. 0.
2. 8. 0. 13.
5 9. 2. - 4. 0.
2. 9. 0. 18.
6 5. 2. - 19. 0.
2. 5. 0. 5.
7 5. 4. - 13. 0.
4. 5. 0. 17.
8 - 7. 4. - 9. 0.
4. - 7. 0. - 3.
9 15. 4. 3. 0.
4. 15. 0. 21.
10 3. 2. - 1. 0.
2. 3. 0. 9.
11 3. 20. 2. 0.
20. 3. 0. 14.
12 - 2. 10. - 8. 0.
1. 4. 0. 4.
13 10. 20. - 18. 0.
20. 10. 0. - 6.
14 10. 1. - 2. 0.
1. 10. 0. 4.
15 12. 1. - 8. 0.
1. 12. 0. 4.
16 - 4. 1. - 12. 0.
1. - 4. 0. - 6.
17 - 4. 8. - 4. 0.
8. - 4. 0. 8.
18 3. 1. - 15. 0.
1. 3. 0. 7.
19 7. 2. - 8. 0.
2. 7. 0. 2.
20 7. 3. - 7. 0.
3. 7. 0. 5.
21 - 9. 2.
2. - 9.
22 5. -2.
-2. 5.
23 7. -1.
-1. 7.
24 8. -3.
-3. 8.
25 -7. 10.
10. -7.
GRUPA AWANS
Uwaga: każdy student wybiera dane zestawu o numerze odpowiadającym swojemu numerowi z listy
(patrz numeracja w załączonym pliku z obecnością na pierwszym laboratorium)
Nr przykładu Macierz A wartości własne
1 - 4. 3. - 8. 0.
3. - 4. 0. - 2.
2 - 9. 3. 2. 0.
3. - 9. 0. 14.
3 5. 1. - 3. 0.
1. 5. 0. 7.
4 7. 1. 1. 0.
1. 7. 0. 13.
5 8. 3. - 4. 0.
3. 8. 0. 18.
6 7. 10. - 19. 0.
10. 7. 0. 5.
7 6. 4. - 13. 0.
4. 6. 0. 17.
8 - 7. -3. - 9. 0.
-3. - 7. 0. - 3.