autor: Paweł Piotrkowski
Przykład obliczeniowy
Sprawdzenie warunków SGU dla zginanych elementów belkowych na przykładzie żebra
stropu jednokierunkowo zbrojonego, wg PN-EN 1992-1-1: 2008
Dany jest strop płytowo-belkowy. Dla dwuprzęsłowego żebra stropu sprawdzić warunki SGU
przy zginaniu (ugięcie oraz rozwarcie rys prostopadłych). Obciążenie użytkowe pk=5,0kN/m2.
Przyjęto, że długotrwała część obciążeń zmiennych wynosi pk,lt= 0,8 pk=0,8*5,0=4,0kN/m2
Uwagi: Dane geometryczne, materiałowe oraz wartość obciążenia nawiązują do przykładu  na ścinanie ,
przygotowanego przez mgr inż. K. Zmuda-Baszczyn i mgr inż. A. Knut.
1. Dane geometryczne i materiałowe:
beff
b
leff = 7,0m, h=50cm, b=bw=25cm, beff=100cm, hf=10cm, a1=4cm, d=46cm
Przyjęte zbrojenie przęsłowe: 5f�16mm, As1,prov=10,05cm2.
Beton: C 25/30:
fck = 25MPa, fcd = 16,7MPa, fctm = 2,6MPa, Ecm = 31GPa
Stal zbrojenia głównego: A-IIIN

fyk = 500MPa, g�s = 1,15 fyd = 434,8MPa, Es=200GPa, x�eff,lim= 0,8



, "
x�eff,lim= 0,8 = 0,49
,
, "
"
2. Wyznaczenie potrzebnych sił wewnętrznych (dla obciążeń stałych na całej długości
belki i zmiennych w przęśle AB)
�� dla komb. SGN, g = 13,15kN/m�1,35 = 17,75kN/m, p = 15,0kN/m�1,5 = 22,5kN/m
M1 = (0,07�17,75+0,096�22,5)�7,02 = 166,7kNm
Ed
MB = (-0,125�17,75-0,063�22,5)�7,02 = -178,2kNm
Ed
�� dla komb. charakterystycznej, SGU, gk = 13,15kN/m, pk = 15,0kN/m
M1 = (0,07�13,15+0,096�15,0)�7,02 = 115,7kNm
Ed,k
MB = (-0,125�13,15-0,063�15,0)�7,02 = -126,8kNm
Ed,k
�� dla komb. długotrwałej, SGUqp, gqp = 13,15kN/m, pqp = 0,8�15,0=12,0kN/m
M1 = (0,07�13,15+0,096�12,0)�7,02 = 101,5kNm
Ed,qp
MB = (-0,125�13,15-0,063�12,0)�7,02 = -117,6kNm
Ed,qp
str. 1/6
hf
h
autor: Paweł Piotrkowski
Rys.1. Wykres momentów zginających oraz przemieszczeń (sprężystych)od obciążeń stałych oraz zmiennych
w pierwszym przęśle dla kombinacji obciążeń długotrwałych (prawie stałych), aspr=0,325cm.
3. Wyznaczenie momentu rysującego Mcr
Mcr = fctm"Wcs
Wcs  wskaz
nik wytrzymałości przekroju sprowadzonego w I fazie
3.1 Wskaz
niki geometryczne w I fazie

=
! -

= = = 6,45;

( )
= ( - )! + ! = 100 - 25 10 + 25 " 50 = 2000
( ) ( )
= + + = 2000 + 6,45 " 10,05 + 0,0 = 2064,8
( )
= ( - )0,5! + 0,5 ! + = 100 - 25 0,5 " 10 + 0,5 " 25 " 50 +
6,45 " 10,05 " 46 = 37981,8
,
= = = ,
,

" ( ) ( )
= - + + ( - ) =

" , ( )( , ) ( , )
- + + 6,45 " 10,05(46 - 18,4) = ,

,
= = = ,
,
3.2 Sprawdzenie czy przekrój jest zarysowany
=
= 2,6 " 10 " 15986,3 " 10 = ,

, = 115,7 > = 41,5 - ł
Przekrój przęsłowy zarysowany (faza II)
str. 2/6
autor: Paweł Piotrkowski
4. Wyznaczenie nośności na zginanie w przęśle
= (1 - 0,5 )

, ,
= = = 0,057 < = = 0,22 - ó
" " ,
( )
= 0,057 1 - 0,5 " 0,057 1,0 " 0,46 16,7 " 10 = 195,7

, = = 166,7 < = 195,7 - ł
Przyjęta ilość zbrojenia przęsłowego jest wystarczająca.
5. Sprawdzenie warunku ugięcia przez obliczanie (pkt. 7.4.3 [PN-EN:08])
a = z�"aII + (1-z� �)aI (7.18 [N])

"
aI  wartość deformacji (ugięcia) w fazie II, = , "

"
aII  wartość deformacji (ugięcia) w fazie I, = , "
,
= 1 - = 1 - = 0,0921
" ,
z�  współczynnik dystrybucji zesztywnienia (efekt  tension stiffening )

= 1 - = 1 - (7.19 [N])

b� = 0,5  dla obciążeń długotrwałych (M1 )
Ed,qp
,
= 1 - 0,5 = 0,80
,
5.1 Określenie wskaz
ników geometrycznych w fazie I i II z uwzględnieniem pełzania

, =
1 + ( , )
ę ń . ł , , = 2,0

, = = , = 10,33
( , )

= = = 19,36
, ,
5.2 Wskaz
niki geometryczne w I fazie
( ) ( )
, = + + = 2000 + 19,36 " 10,05 + 0,0 = 2194,6
( )
, = ( - )0,5! + 0,5 ! + = 100 - 25 0,5 " 10 + 0,5 " 25 " 50 +
19,36 " 10,05 " 46 = 43950,1
, ,
= = = ,
, ,

" ( ) ( )
" , ( )( , )
= - + + ( - ) = - +

( , )
+ 19,36 " 10,05(46 - 20,0) = ,

str. 3/6
autor: Paweł Piotrkowski
5.3 Wskaz
niki geometryczne w II fazie
1
= (2 + ) -

1
=
19,36 " 10,05(2 " 100 " 46 + 19,36 " 10,05) - 19,36 " 10,05 = 11,57
100
Założenie xII d" hf było niesłuszne, należy skorygować wyznaczenie wartości xII

!

+ - ! + - - +
2 2

= = = 12,5

( )
= - ! + = 100 - 25 10 + 19,36 " 10,05 = 944,6

!
10
( )
= - - + = - 100 - 25 + 19,36 " 10,05 " 46 = -12700,1
2 2

"= " - 4 = 944,6 + 4 " 12,5 " 12700,1 = 1235,8
"
" , ,
"
= = = ,
" ,

" ( ) ( )
" , ( , )
= - + ( - ) = - + 19,36 "

10,05(46 - 11,65) = ,
5.4 Wyznaczenie wartości ugięcia

"
101,5 " 7,0
= = 0,0921 " 10 = ,
, " 10,33 " 10 " 2,821684 " 10

"
101,5 " 7,0
= = 0,0921 " 10 = ,
, " 10,33 " 10 " 5,981946 " 10
= + ( - )
( ) ( )
= + 1 - = 0,80 " 1,57 + 1 - 0,80 " 0,74 = ,
700
= , < = = = 2,8 - ł
250 250
str. 4/6
autor: Paweł Piotrkowski
5.5 Wyznaczenie wartości ugięcia znając wielkość przemieszczenia sprężystego, aspr
(wyznaczonych przy okazji wielkości sił wewnętrznych z programu komputerowego)
Przekształcając stosunek ugięcia (a) do przemieszczenia sprężystego (aspr),
1 1

, " + (1 - ) , "
=
1

"
otrzymujemy:

= " + ( , ) " " + ( - ) "


,
= = 1,608
,

,
= = 0,759
,
= 0,325 (patrz rys. 1)
( ) ( )
= 0,325 " 1 + 2,0 " 0,8 " 1,608 + (1 - 0,8) " 0,759 = ,
,
= = 4,31
,
Sztywność analizowanego przekroju spada o 4,31 razy w stosunku do sztywności
 sprężystej zadanej w programie komputerowym jako Bspr= Ecm"Ispr
6. Sprawdzenie warunku rozwarcia rys prostopadłych (pkt. 7.3.4 [PN-EN:08])
= , ( - ) (7.8)
"
Ponieważ rozstaw prętów podłużnych nie przekracza 5 + = 5 30 + = 190

wartość sr,max można wyznaczyć ze wzoru (7.11):
"
, = + , (7.11)
= 3,4,
= 30 ,
= 0,8 - ę ś
= 0,5 - ł ł ń
= 0,425
, = 0,3

, =
,
( ) ( )
" 2,5 " ! - 25 " 2,5 " 50 - 46 = 250

, = = = 250
" 25 " = 250

,
, = = 0,0402

str. 5/6
autor: Paweł Piotrkowski
" " "
, = + , = 3,4 " + 0,8 " 0,5 " 0,425 " = 1,7 2 + 0,1
, ,
"
, = 1,7 2 + 0,1 = 1,7 2 " 30 + 0,1 = ,
, ,
,
- , 1 + ,

- = e" 0,6 (7.9)

,
, "
( ) ( - 11,65 " 10 = 239,0
)
= , - = 19,36 46
,
= 0,4 - ż ł ł
, = = 2,6
,
( )
, , " ,

,
- = = , " e" 0,6 = 0,777 " 10
" "
= 169,7 " 1,065 " 10 = ,
= 0,18 d" , = 0,3 - ł
Koniec przykładu obliczeniowego
str. 6/6