Prawdopodobieństwo i statystyka 2.06.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
W urnie znajduje się początkowo b0 kul białych i m - b0 kul czarnych.
Powtarzamy n -krotnie następujące czynności:
1. losujemy 1 kulÄ™, nie zwracajÄ…c jej do urny;
2. wrzucamy do urny 1 białą kulę.
Niech pn oznacza prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli w kolejnym,
n +1 -szym ciÄ…gnieniu.
(A) pn = 1- (1- b0 / m)n 1
(B) pn = 1- (1- b0 / m)(1-1/ m)n
(C) pn = (n + b0 ) /(m + n)
(D) pn = b0 / m + [(m - b0 ) / m][n /(n + m)]
(E) pn = 1- (m - b0 ) /(m + n2 )
1
Prawdopodobieństwo i statystyka 2.06.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
Niech X = N Å" exp tZ , gdzie N jest zmiennÄ… losowÄ… o rozkÅ‚adzie Poissona z
2
parametrem , Z jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N , ,
niezależną od N, t jest stałą. Oblicz
Var(X )
.
2
E(X )
1
2 2 2 2
(A) exp( t ) + exp( t )
2 2 2 2
(B) exp( t ) + exp( t ) -1
1
2 2 2 2
(C) exp( t ) + exp( t ) -1
2 2
1 t
2 2
(D) exp( ) + exp( t ) -1
2
2 2
1 t
2 2
(E) exp( t ) + exp( ) -1
2
2
Prawdopodobieństwo i statystyka 2.06.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
2
Załóżmy, że X1, X ,..., X jest próbką z rozkładu normalnego N , z
2 9
2
nieznanymi parametrami i . Pan Ixiński miał podać przedział ufności dla
na poziomie 1 0.95 , ale nie znalazł tablic rozkładu t-Studenta.
2
Ponieważ miał tablice rozkładu normalnego i , więc poradził sobie tak:
1. najpierw obliczył w standardowy sposób jednostronny przedział ufności
2
0, dla wariancji, na poziomie 1 0.95 ;
îÅ‚X 1.96 1.96 Å‚Å‚
2. następnie przyjął, że - , X +
jest potrzebnym przedziałem
ïÅ‚ śł
9 9
ðÅ‚ ûÅ‚
dla wartości oczekiwanej, gdzie zostało wyznaczone w punkcie 1.
Oblicz faktyczny poziom ufności
ëÅ‚ 1.96 1.96
p = PrìÅ‚ X - d" d" X + .
ìÅ‚
9 9
íÅ‚ Å‚Å‚
(A) p = (1- )2 H" 0.9
2
(B) p = 1- H" 0.9975
(C) p = 1- H" 0.95 , jak chciał Ixiński
(D) prawdopodobieństwo pokrycia p nie jest jednakowe dla wszystkich wartości
nieznanych parametrów
(E) p H" 0.99
3
Prawdopodobieństwo i statystyka 2.06.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
Niech W1 i W2 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
rozkładzie wykładniczym o gęstości f (w) = e w , dla w 0 . Oblicz granicę
prawdopodobieństwa warunkowego:
ëÅ‚ t
limt PrìÅ‚min(W1,W2 ) > W1 +W2 > t .
ìÅ‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
(A) 1/3
(B) 1/ 2
(C) 1
(D) /(1+ )
(E) 0
4
Prawdopodobieństwo i statystyka 2.06.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
Wiemy, że Y 2X W , gdzie X i W są niezależnymi zmiennymi losowymi, X ma
rozkład normalny N 0,32 i W ma rozkład normalny N 0,22 . Jeśli zachodzi związek
X = Y +U i zmienne Y i U są niezależne, to
(A) 1/ 2
(B) 9 / 20
(C) 1
(D) 0
(E) 1/ 2
5
Prawdopodobieństwo i statystyka 2.06.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6.
Rozważmy ciąg X1,..., X ,... niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie
n
normalnym N 0,1 . Niech
Sn = X1X + X X + ... + X X + X X
2 2 3 n 1 n n n 1
Wybierz zdanie prawdziwe:
(A) nie istnieje ciąg liczb cn taki, że limn Pr Sn / cn d" a = Ś(a) dla każdego a
(B) limn Pr Sn / n d" a = Ś(a) dla każdego a
(C) limn Pr Sn / n d" a = Ś(a) dla każdego a
(D) limn Pr Sn / 2n d" a = Ś(a) dla każdego a
(E) Pr Sn / n d" a = Ś(a) dla każdego a i dla każdego n
Ś oznacza tu dystrybuantę standardowego rozkładu normalnego N(0,1) .
Wskazówka: Jeśli z sumy S10000 usuniemy co setny wyraz, to otrzymamy sumę 100
niezależnych zmiennych losowych.
6
Prawdopodobieństwo i statystyka 2.06.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7.
Rozważmy losową liczbę zmiennych losowych X1,...X . Zakładamy, że zmienne X są
N i
wzajemnie niezależne i niezależne od zmiennej losowej N . Wiemy, że każda ze zmiennych
X ma jednakowy rozkład wykładniczy o gęstości f (x) = e x , dla x 0 . Zmienna N ma
i
rozkład Poissona z parametrem . Zarówno 0 jak i 0 są nieznane.
Obserwujemy tylko te spośród zmiennych X1,...X , które przekraczają wartość 10. Nie
N
wiemy, ile jest pozostałych zmiennych ani jakie są ich wartości.
Przypuśćmy, że zaobserwowaliśmy 5 wartości większych od 10:
15, 23, 11, 32, 19.
Na podstawie tych danych oblicz estymatory największej wiarogodności parametrów i .
Ć
(A) Ć = 5e , 0.1
Ć
(B) Ć = 5e , 0.05
Ć
(C) Ć = 5 , 0.2
Ć
(D) Ć = 50 , = (ln10) / 50
Ć
(E) Ć = 10, = e 2
7
Prawdopodobieństwo i statystyka 2.06.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8.
Niech K będzie zmienną losową taką, że Pr K = k = 1/10 dla k = 1,2,...,10 . Niech
1 gdy K = k;
Å„Å‚
X =
òÅ‚0 gdy K `" k. S5 = X1 + X + X + X + X
k 2 3 4 5
ół
Oblicz Cov(X1, S5 ) .
(A) Cov(X1, S5 ) = 1/ 5
(B) Cov(X1, S5 ) = 1/10
(C) Cov(X1, S5 ) = 0
(D) Cov(X1, S5 ) = -1/ 20
(E) Cov(X1, S5 ) = 1/ 20
8
Prawdopodobieństwo i statystyka 2.06.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9.
2
Niech X1,..., X , X ,..., X będzie próbką z rozkładu normalnego N , z nieznanymi
n n 1 m
2
parametrami i . Obserwujemy zmienne X1,..., X i ponadto znamy średnią wszystkich
n
1 m
zmiennych: X = X . Znajdz
stałą cn,m taką, żeby statystyka
m " i
i 1
m
n
1
"(X - X )2
cn,m i 1 i m
2
była nieobciążonym estymatorem wariancji .
(A) cn,m = n[1- 2 /(m + n)]
(B) cn,m = m -1
(C) cn,m = n -1+ (m - n)2 / m2
1

(D) cn,m = nëÅ‚1-
ìÅ‚
m
íÅ‚ Å‚Å‚
(E) cn,m = n -1+1/ n -1/ m
9
Prawdopodobieństwo i statystyka 2.06.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10.
Zmienne losowe X1,...X są wzajemnie niezależne, X ma rozkład normalny N i, 1 dla
9 i
i = 1,2,...,9 . Rozważamy hipotezy statystyczne
H0 : = 0 i H1 : > 0.
Chcemy zbudować test jednostajnie najmocniejszy (TJNM) hipotezy zerowej H0 przeciw
alternatywie H1 na poziomie istotności 0.025 .
(A) TJNM nie istnieje
9
2
(B) TJNM odrzuca H0 wtedy i tylko wtedy, gdy X / i > 19.0228
" i
i 1
9
(C) TJNM odrzuca H0 wtedy i tylko wtedy, gdy X > 5.88
" i
i 1
9
(D) TJNM odrzuca H0 wtedy i tylko wtedy, gdy i X > 1.96 285
" i
i 1
9
(E) TJNM odrzuca H0 wtedy i tylko wtedy, gdy i X > 1.96 45
" i
i 1
10
Prawdopodobieństwo i statystyka 2.06.2001 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 2 czerwca 2001 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Arkusz odpowiedzi*
ImiÄ™ i nazwisko .................. K L U C Z O D P O W I E D Z I ........................................
Pesel ...........................................
Zadanie nr Odpowiedz

Punktacja
1 B
2 C
3 E
4 E
5 B
6 B
7 A
8 E
9 D
10 E
*
Arkuszu odpowiedzi.
11