WYKA
AD 5
Zmiana baz
Jacek Jędrzejewski
1
1 Zmiana baz

Niech V i V będą dwiema skończenie wymiarowymi przestrzeniami linio-

wymi nad ciałem K. Przez X i X oznaczmy bazy tych przestrzeni. Macierz

homomorfizmu A, przekształcającego przestrzeń V w przestrzeń V , wzglę-


dem baz X i X będziemy oznaczali, tak jak poprzednio, symbolem A

X ,X
W dalszym ciągu zajmiemy się zależnościami między macierzami tego sa-
mego przekształcenia liniowego względem różnych baz w odpowiednich prze-
strzeniach oraz zależnością przekształceń liniowych, mających tę samą ma-
cierz względem różnych baz przestrzeni liniowych.
Załóżmy, ze w przestrzeni V mamy dwie bazy X i Y, gdzie
X = (x1, . . . , xn) i Y = (y1, . . . , yn).
Każdy wektor bazy Y można przedstawić w jednoznaczny sposób w postaci
n

yj = cij �xi, j " {1, . . . , n},
i=1
gdzie cij są elementami ciała K. Współczynniki cij tworzą macierz kwadra-
tową C; nazywamy ją macierzą przejścia od bazy X do bazy Y.
Powołując się na definicję macierzy przekształcenia liniowego wnioskuje-
my, że macierz C jest macierzą przekształcenia tożsamościowego idV prze-

strzeni V względem baz Y, X . Oznacza to, że C = idV X ,Y.
Twierdzenie 1 Macierz przejścia od jednej bazy do drugiej jest macierzą
odwracalną.
D o w ó d. Niech X i Y będą dwiema bazami przestrzeni liniowej V .
Z wniosku 5.25 wynika, że

"
idV X ,X = idV ć% idV X ,X = idV X ,Y idV Y,X .

"
Ponieważ idV X ,X = E, więc idV X ,Y idV = E, zatem macierz C
Y,X
przejścia od bazy X do bazy Y, czyli macierz idV X ,Y, jest odwracalna.
Z dowodu powyższego twierdzenia wynika, że macierz przejścia od bazy Y
do bazy X jest macierz odwrotna do macierzy C. Wynika stąd następujące
twierdzenie:
2
Twierdzenie 2 Macierz odwrotna do macierzy przejścia od bazy X do bazy
Y jest macierzą przejścia od bazy Y do bazy X .
Twierdzenie 3 Każda odwracalna macierz ze zbioru Mn(K) jest macierzą
przejścia od bazy X do pewnej bazy Y n-wymiarowej przestrzeni liniowej V
nad ciałem K.
D o w ó d. Niech X , gdzie X = (x1, . . . , xn), będzie bazą przestrzeni linio-
wej V i C, gdzie
�ł łł
c11 . . . c1n
�ł śł
C = . . . . . . . . . ,
�ł �ł
cn1 . . . cnn
będzie macierzą odwracalną. Określmy teraz wektory yj w następujący spo-
sób:
n

yj = cij �xi, j " {1, . . . , n}.
i=1
Ponieważ C jest macierzą odwracalną, więc kolumny tej macierzy są liniowo
niezależne, zatem wektory y1, . . ., yn są liniowo niezależne, stanowią więc
bazę przestrzeni liniowej V . Oznaczając tę bazę jako Y, stwierdzamy teraz
bez trudu, że macierzą przejścia od bazy X do bazy Y jest macierz C.
Twierdzenie 4 Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Jeśli X ,

X i X są bazami tej przestrzeni oraz C jest macierzą przejścia od bazy X

"
do bazy X , zaś D jest macierzą przejścia od bazy X do bazy X , to C D

jest macierzą przejścia od bazy X do bazy X .
D o w ó d. Z założenia i własności macierzy przejścia od bazy do bazy

wynika, że C = idV X ,X oraz D = idV X ,X . Na podstawie wniosku 5.25

mamy:

"
idV X ,X = idV ć% idV X ,X = idV X ,X idV X ,X .


"
Stąd wynika, że macierzą przejścia od bazy X do bazy X jest macierz C D,
co kończy dowód.
W przestrzeni liniowej V , w której X jest bazą, gdzie
X = (x1, . . . , xn),
3
każdy wektor x ma jednoznaczne przedstawienie w postaci kombinacji linio-
wej wektorów bazy, tzn. istnieją (jedyne) elementy �1, . . . , �n w ciele K takie,
że
x = �1�x1 + . . . + �n�xn.

Przez x będziemy oznaczali jednokolumnową macierz złożoną ze współ-
X
czynników �1, . . . , �n, tzn.
�ł łł
�1

�ł śł
x = � � � .
�ł �ł
X
�n

Twierdzenie 5 Niech X i X , gdzie

X = (x1, . . . , xn) i X = (x , . . . , x ),
1 m

będą bazami przestrzeni liniowych V i V , odpowiednio oraz niech A będzie

homomorfizmem przestrzeni V w przestrzeń V . Wtedy

"
A(x) = A x

X X ,X X
dla dowolnego wektora x, należącego do przestrzeni V .
D o w ó d. Załóżmy, że A jest macierzą homomorfizmu A względem baz


X i X , przy czym A = aij . Niech x będzie dowolnym wektorem przestrzeni
V . Przyjmijmy, że
x = �1�x1 + . . . + �n�xn.
Wtedy, zgodnie z określeniem macierzy homomorfizmu,
�ł �ł

n n n m

�ł
A(x) = A �j �xjłł = �j �A (xj) = �j � aij �x =
i
j=1 j=1 j=1 i=1
�ł łł �ł łł
m n m n

�ł �ł �ł
= �jaij �x = aij�j�ł�x ,
i i
i=1 j=1 i=1 j=1
skąd wynika teza twierdzenia.

Wniosek 6 Jeśli X i X są dwiema bazami przestrzeni liniowej V oraz

C jest macierzą przejścia od bazy X do bazy X , to

"
x = C-1 x

X X
dla dowolnego wektora x z przestrzeni V .
4

Twierdzenie 7 Niech X i X będą dwiema bazami przestrzeni liniowej V
nad ciałem K, natomiast Y i Y niech będą bazami przestrzeni liniowej W nad

ciałem K. Jeśli C jest macierzą przejścia od bazy X do bazy X , natomiast
D jest macierzą przejścia od bazy Y do bazy Y , to

" "
A = D-1 A C

Y ,X Y,X
dla dowolnego homomorfizmu A przekształcającego przestrzeń V w przestrzeń
W .
D o w ó d. Z równości A = idW ć% A ć% idV i wniosku 5.25 wynika, że

" "
A = idW Y ,Y A idV X ,X .

Y ,X Y,X
Ponieważ
-1

idW Y ,Y = idW Y,Y = D-1 i idV X ,X = C,

więc

" "
A = D-1 A C,

Y ,X Y,X
co kończy dowód.

Wniosek 8 Jeśli C jest macierzą przejścia od bazy X do bazy X przestrzeni
liniowej V , to dla dowolnego endomorfizmu A przestrzeni V spełniony jest
warunek

" "
A = C-1 A C.

X X
Kwadratowe macierze A i B stopnia n nazywamy podobnymi, jeśli istnieje
macierz odwracalna C taka, że
" "
B = C-1 A C.
Poprzedni wniosek możemy teraz sformułować i w takiej postaci: macierze
endomorfizmu względem różnych baz przestrzeni liniowej są podobne.
Przykład 9 Niech V będzie dwuwymiarową przestrzenią liniowa nad ciałem
R i niech X , gdzie X = (x1, x2), będzie bazą tej przestrzeni. Niech dalej
y1 = 5 x1 - 6 x2 i y2 = 6 x1 - 7 x2.
Udowodnić, że układ Y, gdzie Y = (y1, y2), jest też bazą przestrzeni V oraz
znalez
ć macierz przejścia od bazy X do bazy Y.
5
Współrzędne wektorów y1 i y2 zapiszemy w kolumnach macierzy C.

5 6
C = .
-6 -7
Zauważamy bez trudu, że rząd tej macierzy jest równy 2, zatem macierz ta
jest odwracalna i wektory y1, y2 są liniowo niezależne. Stanowią więc bazę
przestrzeni V . Ponadto macierz C jest macierzą przejścia od bazy (x1, x2)
do bazy (y1, y2).
Przykład 10 Znalez
ć zależność między współrzędnymi tego samego wekto-
ra a względem baz z poprzedniego przykładu.
Skorzystamy ze wzoru

"
x = C-1 x .

X X
Najpierw jednak musimy znalez
ć macierz odwrotną do macierzy C. W tym
celu utworzymy macierz  podwójną

5 6 1 0
.
-6 -7 0 1
6
Do wiersza drugiego dodajemy pierwszy, pomnożony przez . Otrzymujemy:
5

5 6 1 0
.
1 6
0 1
5 5
Mnożymy drugi wiersz przez 5, otrzymując:

5 6 1 0
.
0 1 6 5
Do pierwszego wiersza dodajemy teraz wiersz drugi, pomnożony przez -6:

5 0 -35 -30
.
0 1 6 5
1
Na koniec mnożymy pierwszy wiersz przez :
5

1 0 -7 -6
.
0 1 6 5
6
Tak więc

-7 -6
C-1 = .
6 5
Jeśli teraz wektor a ma dwa przedstawienia
a = ą1x1 + ą2x2 i a = �1y1 + �2y2,
to

�1 -7 -6 ą1
"
= .
�2 6 5 ą2
Stąd wynika, że
�1 = -7�ą1 - 6�ą2,
�2 = 6�ą1 + 5�ą2.
Przykład 11 Przyjmując dane z poprzednich przykładów niech A będzie
endomorfizmem określonym wzorami
A(x1) = 7 x1 - 2 x2,
A(x2) = x1 + 3 x2.
Znalez
ć macierz tego endomorfizmu w bazie (y1, y2).
Najpierw zauważamy, że macierz A endomorfizmu A względem bazy X
ma postać

7 1
.
-2 3
Korzystając z obliczeń z poprzednich przykładów i wzoru na zmianę baz,
otrzymujemy:

" "
A = C-1 A C,
Y X
czyli


-7 -6 5 6
" "
A = A =
Y
6 5 -6 -7

-7 -6 7 1 5 6
" "
= .
6 5 -2 3 -6 -7
Po wykonaniu powyższych mnożeń otrzymujemy ostatecznie


-35 -47
A = .
Y
34 45
7
Zajmiemy się teraz zagadnieniem w pewnym sensie odwrotnym. Zbada-
my jaki jest związek między wektorami, mającymi takie same współczynniki
rozwinięcia względem różnych baz oraz jaki jest związek między przekształ-
ceniami liniowymi, odpowiadającymi tej samej macierzy względem różnych
baz przestrzeni liniowych.

Twierdzenie 12 Niech X oraz X , gdzie

X = (x1, . . . , xn) i X = (x , . . . , x ),
1 n
będą bazami przestrzeni liniowej V . Jeśli
x = �1x1 + . . . + �nxn i x = �1x + . . . + �nx ,
1 n
to
x = C(x),
gdzie C jest automorfizmem przestrzeni V , przekształcającym bazę X na bazę

X .
D o w ó d. Obliczając, mamy:
n n

C(x) = �i�C(xi) = �ix = x ,
i
i=1 i=1
co kończy dowód.
Niech V i W będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Załóżmy teraz,

że X i X są dwiema bazami przestrzeni liniowej V oraz Y i Y są dwiema
bazami przestrzeni liniowej W . Przyjmijmy, że

X = (x1, . . . , xn) i X = (x , . . . , x )
1 n
oraz
Y = (y1, . . . , ym) i Y = (y , . . . , y ).
1 m
Niech, ponadto, C będzie automorfizmem przestrzeni V , przekształca-

jącym bazę X na bazę X oraz D  automorfizmem przestrzeni W , prze-
kształcającym bazę Y na bazę Y . Niech ponadto A będzie dowolną macierzą,
mającą postać
�ł łł
a11 a12 . . . a1n
�ł
a21 a22 . . . a2n śł
�ł śł
�ł śł .
�ł �ł
. . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn
8
Na koniec, niech A i A będą homomorfizmami przestrzeni liniowej V w prze-
strzeń liniową W takimi, że

A = A = A.

Y,X Y ,X
Wtedy, obliczając dwoma sposobami wartości homomorfizmu A dla wek-

torów bazy X , otrzymujemy:

m m m

A (x ) = aijy = aijD(yi) = D aijyi =
j i
i=1 i=1 i=1
= D (A(xj)) = (Dć%A)(xj)
oraz
A (x ) = A (C(xj)) = (A ć%C)(xj),
j
skąd wnioskujemy, że
Dć%A = A ć%C.
Ponieważ oba przekształcenia D i C są izomorfizmami, więc
A = Dć%Ać%C-1.
W ten sposób udowodniliśmy twierdzenie:
Twierdzenie 13 Niech C będzie automorfizmem przestrzeni V , przekształ-

cającym bazę X na bazę X oraz D  automorfizmem przestrzeni W , prze-
kształcającym bazę Y na bazę Y . Jeśli A jest homomorfizmem przestrzeni V
w przestrzeń W oraz A jest homomorfizmem przestrzeni V w przestrzeń W

i mają tę samą macierz względem par baz X , Y i X , Y , odpowiednio, to
A = D ć% A ć% C-1.
9