IŚ-2011. Studia dzienne.
I semestr. Matematyka. Egzamin.
Prof. dr hab Anatolij K. Prykarpatski
1
1. Twierdzenie o 3-ch ciagach, własność ciagu monotonicznego i ogranic-

zonego.
2. Własność granicy funkcji ciagłej, granica ilorazu funkcji. Przyklad

dla funkcji f(x) = sin(Ąx).
3. Zlozenie odwzorowan. Injekcja, surjekcja, bijekcja, odwzorowanie
jednostkowe prawostronne i lewostronne.
2
1. Twierdzenia Rolle a. Przyklad dla funkcji f(x) = sin(Ąx).
2. Twierdzenia o liniowości całki, o całkowaniu przez czesci.

3. Lemat Fermata, wniosek. Znalezienie extremum lokalne funkcji rózniczkowal-
nej.
3
1. Definicja Cauchy ego dla granicy funkcji. Kryterium Cauchy ego ist-
nienia granicy funkcji.
2. Reguły de L Hospitala. Przyklady dla granic standardowych: limx0sinx/x, limx0(1+
x)1/x
3. Wielomian Taylora. Wzór Taylora z reszta Lagrange a.
4
1. Granice podstawowych wyrażeń nieoznaczonych.
2. Calkowanie pzez podstawienia. Przyklady calkowania funkcji try-
gonometrycznych i algebraicznych.
3. Twierdzenie o 3-ch ciagach - zasada dwoch policjantow, granica ciagu

nieskończona.
5
0
1. Podstawowe wyrażenia nieoznaczone , ich granice wh l Hospital a.
0
Granice specjalne (standardowe).
2. Nieciagłość, 1-go, 2-go rodzaju, luka, skok.

3. Funkcje wypukłe i wklesłe. Warunek wystarczajacy

1
6
1. Całkowanie funkcji trygonometrycznych i niewymiernych.
2. Szereg wielomianowy, n-ty wyraz, n-ta suma czesciowa, zbieżność

wg Cauchy ego i Hadamard a, rozbieżność do nieskończoności, n-ta reszta.

3. Szereg Taylora z resztow rzedu 2 dla funkcji f(x) = arctg x w punkcie
x = Ą/4, jego zbieżność wg Cauchy ego i Hadamard a.
7
1. Szereg wielomianowy. Warunek konieczny zbieżności szeregu. Promien
zbieznosci.
2. Pochodne prawo- i lewo-stronne w punkcie. Twierdzenie Rolle a,
wniosek.
3. Rozniczka, pochodna n-go rzedu. Pochodna funkcji f(x) = ax.

8
1. Ciagłośc funkcji. Ciagłości funkcji złożonej, odwrotnej, elementarnej.

2. Punkty pzegiecia, warunek konieczny, I i II warunek wystarczajacy.

Tabelka zwiazku pochodnej z wykresem funkcji.

3. Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej. Przyklad dla funkcji f(x) =
sin2(ln x).
9
1. Kryteria zbieżności szeregow (porównawcze, ilorazowe, d Alamberta,
Cauchy ego).
2. Pochodna, definicja. Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych.
Interpretacja geometryczna, fizyczna. Sieczna, styczna.
3. Asymptota pionowa, ukośna, pozioma. Warunki istnienia.
10
1. Zbieżność bezwzgledna szeregow. Promien zbieznosci.

2. Własnośi pochodnej, pochodna funkcji złożonej, pochodna funkcji
odwrotnej. Przyklad: f(x) = artctg sin x2.
3. Calkowanie pzez podstawienia. Przyklady calkowania funkcji try-
gonometrycznych i algebraicznych.
11
2
1. Schemat badania przebiegu zmienności funkcji.
2. Ciaglosc funkcji, punkty osoibliwe. Przykłady funkcji nieciaglych.
3. Rożniczka, pochodna n-go rzedu. Interpretacja fizyczna pochodnej
2-go rzedu.

12
1. Pierwotna. Wniosek z twierdzenia Lagrange a, warunek wystarczajacy

istnienia.
2. Całka nieoznaczona. Twierdzenie o pochodnej całki i o całce pochod-
nej. Ważniejsze całki funkcji nieelementarnych.
3. Twierdzenie Lagrange a dla funkcji różniczkowalnej na przedziale.
Przykład funkcji f(x) = sinx na przedziale [Ą/3, Ą/6].
3
13
1. Ekstrema lokalne. Twierdzenie Fermata, wniosek.
2. I i II warunek wystarczajacy istnienia ekstremum. Wartość najm-

niejsza funkcji na zbiorze. Algorytm szukania ekstrema globalnych.
3. Funkcja wymierna, ułamek prosty 1-go i 2-go rodzaju, ich całkowanie.
Algorytm całkowania funkcji wymiernych. Przyklad.
14
1. Definicja Heinego granicy funkcji jednej zmiennej. Pochodna  n-go rzędu
funkcji jednej zmiennej.
2. Algorytm całkowania funkcji przez czesci. Przyklad.
3. Twierdzenie o rożniczce iloczynu dwoch funkcji. Rożniczki wyższych rzę-
dow funkcji jednej zmiennej.
15
1. Definicja Cauchy ego granicy funkcji jednej zmiennej.
2. Interpretacja fizyczna pochodnej 2-go rzędu.
3. Algorytm całkowania funkcji wymiernych. Zamiana zmiennych. Przyk-
lad.
16
1. Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej.
2. Ułamki proste 1-go i 2-go rodzaju i ich calkowanie. Rozklad na ulamki
proste.
3. Pochodne wyższych rzędow funkcji złożonej.
17
1. Całka nieoznaczona funkcji wymiernej. Calkowanie ulamkow prostych
+"
dx
(ax+b)n
2. Pochodna funkcji odwrotnej. Przyklad funkcji f(x) = ln sin x2.
3. Granica wg Heinego funkcji jednej zmiennej.
18
4
1. Rozniczka iloczynu dwoch funkcji.
2. Całka nieoznaczona. Podstawowe wlasnosci.
3. Przyrost i rożniczka funkcji. Wzor Taylora z resztą Lagrange a rzedu n.
19
1. Granica gorna i dolna ciagu, warunek istnienia granicy. Przyklad: {an =
"
2
Ą
sin[ ( n2+2n-1)-n)]
2
: n " Z+}
n
2+sin(Ą )
3
2. Definicja stycznej funkcji. Asymptoty funkcji, typy asymptot.
3. Wzor dla rożniczki ilorazu dwoch funkcji. Przyklad.
20
1. Definicja funkcji ciągłej jednej zmiennej.
2. Zlozenie odwzorowan. Injekcja, surjekcja, bijekcja, odwzorowanie jednos-
tkowe prawostronne i lewostronne.
0 "
3. Znalezienie granicy wg l Hospital a nieoznaczonosci oraz . Przyklad
0 "
2
1
granicy limx0(1 + sin x2)ctg x.
3
21
1. Definicja pochodnej. Pochodna ilorazu dwoch funkcji.
2. Warunki istnienia asymptoty ukosnej. Przyklad.
3. Warunek konieczny i wystarczający Cauchy ego istnienia granicy funkcji
jednej zmiennej.
22
0
1. Podstawowe wyrażenia nieoznaczone , ich granice wg l Hospital a. Granice
0
specjalne (standardowe).
2. Pochodna funkcji odwrotnej. Przyklad funkcji f(x) = ln sin x2.
3. Całka nieoznaczona. Podstawowe wlasnosci.
23
1. Twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym. Jego granica.
2. Nieciągłość funkcji jednej zmiennych. Kryterium nieciągłosci.
3. Kryterium d Alamberta zbieżności szeregow. Przyklad.
5