EGZAMIN  MATEMATYKA I
I. LICZBY ZESPOLONE
1. Iloczyn kartezjaoski
a) Iloczynem kartezjaoskim (punktem kartezjaoskim) zbiorów A i B nazywamy zbiór
wszystkich par uporządkowanych A, B takich, że (a, b) a " A i b  B.
A x B = {(a, b): a " A b " B}
Np.
A = {1, 2} , B = {3}
A x B = {(1, 3),(2, 3)}
B x A = {(3, 1),(3, 2)}
A x B `" B x A
b) R � = R x R = ,(x, y): x, y " R} - płaszczyzna
c) R ł = R x R x R = ,(x, y, z): x, y, z " R}  przestrzeo
2. Liczba zespolona
a) Liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych.
b) Zbiór wszystkich liczb zespolonych (tj. zbiór wszystkich uporządkowanych par liczb
rzeczywistych) oznaczamy przez .
= {(x, y): x, y " R}
c) Interpretacja geometryczna:
Liczbę zespoloną z = (x, y) (gdzie x, y " R) można interpretowad jako punkt na
płaszczyz
nie o współrzędnych (x, y) lub jako wektor o początku w punkcie (0, 0) i
koocu w punkcie (x, y).
3. Jednostka urojona
a) Jednostką urojoną nazywamy liczbę zespoloną (0, 1) i oznaczamy ją symbolem i.
i = (0, 1)
Uwaga!
1
i � = - 1
4. Postad algebraiczna liczby zespolonej
a) Każdą liczbę zespoloną z = (x, y) (gdzie x, y " R) można jednoznacznie przedstawid w
postaci z = x + iy, gdzie x, y " R.
b) Częśd rzeczywista liczby zespolonej
Liczbę rzeczywistą x nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z i oznaczamy ją
symbolem re z
c) Częśd urojona liczby zespolonej
Liczbę rzeczywistą y nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej z i oznaczamy im z
5. Liczba sprzężona
a) Liczbę sprzężoną do liczby zespolonej z = x + iy (gdzie x, y " R) nazywamy liczbę zespoloną
oznaczoną symbolem określoną wzorem = x  iy
6. Moduł liczby zespolonej
a) Modułem liczby zespolonej z = x +iy, gdzie z, y " R, nazywamy liczbę rzeczywistą
określoną wzorem i oznaczamy go symbolem .
Interpretacja geometryczna ( patrz 2.c)
7. Argument liczby zespolonej
a) Argumentem liczby zespolonej z = x + iy `" 0, gdzie x, y " R, nazywamy każdą liczbę
rzeczywistą Ć spełniającą układ równań:
cosĆ = x/
sin Ć = y/
Interpretacja geometryczna (patrz 2.c)
8. Postad trygonometryczna liczby zespolonej
a) Każdą liczbę zespoloną z = x + iy, gdzie x, y " R, można przedstawid w postaci:
- moduł liczby zespolonej
Ć  jeden z argumentów liczby zespolonej
9. Postad wykładnicza liczby zespolonej
a) Każdą liczbę zespoloną z można przedstawid w postaci wykładniczej tj. w postaci:
10. Pierwiastek liczby zespolonej
2
a) Pierwiastek stopnia n z liczby zespolonej jest pojęciem niejednoznacznym w odróżnieniu
do pojęcia pierwiastka stopnia n z liczby rzeczywistej.
w R w
3 -3, 3
Nie istnieje i, -i
1 1, -1, i, -i
II. FUNKCJE
1. Funkcja
a) Niech X : Y będą dowolnymi niepustymi zbiorami.
b) Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach na zbiorze Y nazywamy przyporządkowanie
każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y.
2. Funkcje monotoniczne
a) Funkcja:
f: D R, D R jest malejąca ( x� < x� f(x� ) < (x� ))
x� , x� D
f: D R, D R jest malejąca ( x� < x� f(x� ) > (x� ))
x� , x� D
f: D R, D R jest niemalejąca ( x� < x� f(x� ) (x� ))
x� , x� D
f: D R, D R jest nierosnąca ( x� < x� f(x� ) (x� ))
x� , x� D
b) Funkcje rosnące, malejące, nierosnące i niemalejące nazywamy funkcjami
monotonicznymi.
Funkcje rosnące i malejące nazywamy także ściśle monotonicznymi
Funkcje nierosnące i niemalejące  słabo monotonicznymi
3. Założenia funkcji (superpozycja)
a) Niech dane będą 2 funkcje f: X Y, g: Y Z
b) Założeniem (superpozycją) funkcji g i f nazywamy g f: X Z określoną wzorem:
(g f)(x) = g(f(x))
x " X
4. Arcus sinus
3
a) Funkcją odwrotną do funkcji sinus obciętej do przedziału <- /2, /2> nazywamy arcus
sinus i oznaczamy ją przez arcsin
y = arcsinx x + siny dla x " <-1, 1> i y " <- /2, /2>
5. Arcus tangens
a) Funkcją odwrotną do funkcji tangens obciętej do przedziału <- /2, /2> nazywamy acrus
tangens i oznaczamy ją przez ar ctg
y = arctgx tgy dla x" R I y " (- /2, /2)
4
III. MACIERZE
1. Dopełnienie algebraiczne
a) Dopełnienie algebraiczne aij Dij = ( - 1)i + j det Aij, gdzie Aij oznacza macierz otrzymaną z
macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.
b) Niech A = [aij+ będzie macierzą kwadratową stopnia n 2. Dopełnieniem algebraicznym
elementu aij macierzy A nazywamy liczbę Dij = (-1)i+j det Aij, gdzie Aij oznacza macierz n-1
otrzymaną przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny macierzy A.
2. Macierz odwrotna
a) Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n. Macierzą odwrotną do macierzy A
nazywamy macierz oznaczoną przez A-1, która spełnia warunek A A-1 = A-1 A = I, gdzie I(i)
jest macierzą jednostkową stopnia n.
b) Jeżeli macierz A posiada macierz odwrotną, to nazywamy ją odwracalną.
3. Przekształcenia elementarne macierzy
a) Przestawienie ze sobą dwóch wierszy (kolumn) macierzy.
b) Pomnożenie dowolnego wiersza (kolumny) macierzy przez dowolną liczbę różną od 0.
c) Dodanie do dowolnego wiersza (kolumny) macierzy innego wiersza (odpowiednio
kolumny) tej macierzy pomnożonego przez dowolna liczbę.
4. Minor
a) Minorem stopnia k macierzy A = [aij]mxn, gdzie k min {m, n}, nazywamy wyznacznik
macierzy kwadratowej stopnia k powstałej z macierzy A przez skreślenie z niej m-k 
wierszy oraz n-k  kolumn.
5. Rząd macierzy
a) Rzędem macierzy nazywamy najwyższy stopieo jej niezerowego minora.
b) Rząd macierzy A oznaczamy przez rz A.
6. Układy równao
a) Układ Cramera
Układem Cramera nazywamy układ równao liniowych, w których liczba równao jest
równa liczbie niewiadomych (tj. m = n) oraz det A `" 0.
Twierdzenie Cramera:
Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorami xj = det Aj / det A,
gdzie j = 1,& ,n oraz Aj oznacza macierz powstałą z macierzy A przez zastąpienie j-
tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.
b) Twierdzenie Kronekera  Capellego
Układ równao liniowych AX = B ma co najmniej jedno rozwiązanie rz A = rz [A B]
Uwaga!
Niech AX = B będzie układem równao liniowych z n niewiadomymi. Wtedy:
1) Jeżeli rz A `" rz [A B+, to układ AX = B nie ma rozwiązao ( jest sprzeczny).
2) Jeżeli rz A = rz *A B] = n, gdzie n  liczba niewiadomych, to układ AX = B ma
dokładnie jedno rozwiązanie (jest oznaczony).
3) Jeżeli rz A = rz *A B+ < n, to układ AX = B ma nieskooczenie wiele rozwiązao,
które zależą od n-rzA  parametrów (jest nieoznaczony).
IV. CI
GI
1. Ciąg geometryczny (def. nie jest z wykładów)
5
a) Ciąg liczbowy nazywamy ciągiem geometrycznym, gdy iloraz dowolnego wyrazu ciągu i
wyrazu go poprzedzającego jest stały dla danego ciągu (oznaczamy go przez q).
an+1 = an q
2. Granica ciągu
a) Mówimy, że ciąg an jest zbieżny do (liczby rzeczywistej) g (albo, że liczba rzeczywista g
jest granicą ciągu (an)), co zapisujemy symbolicznie lim an = g (albo an g) jeżeli
n" � > O
liczba N n0 taka, że dla każdego n > n0 spełniona jest nierównośd an - g < �
lim an = g an - g < �
n" � > 0 n0 n > n0
3. Symbole nieoznaczone
" - "
0 "
0/0
"/"
1"
"0
00
Wartości tych wyrażeo zależą od ciągów je tworzących.
Np.
Rozpatrzmy przypadek symbolu nieoznaczonego typu 0 "
1) lim 1/n n = lim 1 = 1
n " n "
2) lim -2/n n = lim -2 = -2
n " n "
3) lim 1/n n2 = lim n = "
n " n "
4) lim -1/n n2 = lim  n = -"
n " n "
4. Liczba e
a) Granicę ciągu (1 + )n) będziemy oznaczali przez e.
e = lim (1 + )n
n "
e H" 2,71
V. SZEREGI
1. Szereg liczbowy
a) Szeregiem liczbowym (albo krócej szeregiem) nazywamy wyrażenie postaci a1 + a2 + a3
+& , zapisane również w formie , gdzie a1 + a2 + a3 + & są to pewne liczby
rzeczywiste.
b) Liczbę an nazywamy n  tym wyrazem szeregu
6
c) Liczbę Sn = a1 + & + an nazywamy n-tą sumą częściową tego szeregu
2. Suma szeregu
a) Sumą szeregu nazywamy granicę (o ile istnieje) ciągu jego sum częściowych (Sn) i
oznaczamy ją tym symbolem co szereg.
= lim Sn
n "
3. Szereg zbieżny
a) Mówimy jest zbieżny, jeżeli lim Sn jest liczbą rzeczywistą. W przeciwnym
n "
przypadku (tj. jeżeli lim Sn = ", albo lim Sn = -", albo lim Sn nie istnieje) mówimy ,że
n " n " n "
szereg jest rozbieżny.
4. Szereg geometryczny
a) Szereg geometryczny jest to szereg postaci a + aq + aq2 + & , co można zapisad w formie
aqn-1.
b) Liczbę q nazywamy ilorazem tego szeregu.
c) Ciąg sum częściowych tego szeregu wynosi .
d) Szereg geometryczny aqn-1 jest zbieżny, jeżeli q < 1 (tj. q " (-1, 1). Wówczas suma
tego ciągu wynosi aqn-1 = a/1-q, gdy q <1,
e) Jeżeli q 1 i a `" 0 to szereg aqn-1 jest rozbieżny.
5. Szereg harmoniczny rzędu ą
a) Szeregiem harmonicznym rzędu ą nazywamy szereg postaci 1/ną, gdzie ą to pewna
liczba rzeczywista.
1/ną = 1/1 + 1/2ą + 1/3ą + &
b) Szereg harmoniczny 1/ną jest zbieżny dla ą > 1, a rozbieżny dla n 1. W szczególności
1/n jest rozbieżny.
6. Warunek konieczny zbieżności szeregu (twierdzenie)
a) Jeżeli szereg an jest zbieżny, to lim an = 0
n "
b) Uwaga!
Powyższe twierdzenie można zapisad w postaci równoważnej:
jeżeli lim an `" 0, to szereg an jest rozbieżny
n "
VI. POCHODNE
1. Pochodna funkcji w punkcie
a) Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x0 (tj. na przedziale (x0 
�, x0 + �), gdzie � > 0)
b) Pochodną funkcji f w punkcie x0 nazywamy następującą granicę (o ile istnieje):
7
 Uwaga:
Iloraz nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x0
dla przyrostu h.
2. Interpretacja geometryczna pochodnej
8