Egzamin z równań różniczkowych cząstkowych .
A
ódz
, dn. 04.01.2008.
1. Niech u : R3 R będzie funkcją posiadającą odpowiednie pochodne cząstkowe. Podać postać wszystkich
Dąu(x) dla x " R3 i dla ą będącego multiindeksem rzędu 3.
2. Wykazać (uzasadnić), że w rozwinięciu w szereg Fouriera funkcji f : [-Ą, Ą] R parzystej nie występują
składniki zawierające sinus.
3. Jak można znalez
ć wektor normalny zewnÄ™trzny do kuli B(Åš, 1) ‚" Rn o Å›rodku w punkcie zero i promieniu
1 w dowolnym punkcie x0 " "B(Ś, 1). Rozważyć przypadek wektora o dowolnej długości i o długości 1.
4. Dla podanych poniżej równań określić ich typ i rząd (czy są liniowe, quasiliniowe, nieliniowe, jednorodne,
niejednorodne, itp.):
"
(i) uxy +2 (u2 + u) - x sin y =0,
x
"x
(ii) xuxx + yuyy - u =0,
(iii) ""u = 0 (tu nie ma pomyłki, jest wstawiona dwa razy ").
5. Dla równania pierwszego rzędu -yux + xuy = 0 dobrać tak warunki, aby rozwiązanie było:
(i) jednoznaczne,
(ii) istniało, ale nie nie było jednoznaczne,
(iii) nie istniało.
Dobór warunków uzasadnić.
6. Pokazać, że dla funkcji Ś będącej rozwiązaniem podstawowym równania Laplace a zachodzi oszacowanie
C
|DÅš(x)|
||x||n-1
dla x " Rn i x = 0, w przypadku n = 2 i w przypadku n =3.

7. Niech &! będzie otwartym podzbiorem Rn. Czy zbiór Superhar(&!) z naturalnymi działaniami tworzy prze-
strzeń liniową? Odpowiedz
uzasadnić.
"u "u
8. Niech funkcja u = u(x1, x2, . . . , xn) będzie harmoniczna. Czy funkcja w = dla n >2 jest harmo-
"x1 "x2
niczna? Odpowiedz
uzasadnić.
9. Pokazać, że jeśli u(x, t) jest rozwiązaniem równania falowego utt = c2uxx, to dla dowolnych stałych x0, t0 "
R, funkcja v(x, t) =u(x+x0, t+t0) jest również rozwiązaniem tego samego równania. Następnie, zakładając,
że u(x, t) jest rozwiązaniem problemu
utt = c2uxx, u(x, 0) = Ć(x), ut(x, 0) = È(x),
wyrazić rozwiązanie problemu
vtt = c2vxx, v(x, -2) = Ć(x +1), vt(x, -2) = È(x +1)
za pomocÄ… funkcji u.
10. Czy zagadnienie Dirichleta dla równania Laplace a jest dobrze postawione w obszarach nieograniczonych?
Odpowiedz
uzasasdnić.
1