PODSTAWY AUTOMATYKI  ĆWICZENIA
lista zadań nr 1
Transformata Laplace a
1. KorzystajÄ…c wprost z definicji znalez
ć transformatę Laplace a funkcji:
2
a. y(t) = 2t + 3
c. y(t) = t
b. y(t) = -t + 2
d. y(t) = 2e-3t +1
2. Dana jest odpowiedz
na impuls Diraca (funkcja wagi) g(t) . Znalez
ć transmitancję
operatorowÄ… G(s) .
2
a. g(t) = (- 2e-3t + 3e-4t)1(t) d. g(t) = (t e-t + 2te-2t + 3e-3t )1(t)
b. g(t) = (3e-3t + 2e-2t + e-t )1(t) e. g(t) = (2e-t + sin(2t))1(t)
2
f. g(t) = t sin(t)1(t)
c. g(t) = (2t e-t + 3e-2t )1(t)
3. Dana jest odpowiedz
układu na skok jednostkowy y1(t) . Znalez
ć transmitancję operatorową
G(s) .
a. y1(t) = (2 + 2e-2t - 4e-t)1(t) c. y1(t) = (e-2t + (t -1)e-t )1(t)
d. y1(t) = sin(t - 2)1(t - 2)
b. y1(t) = (2te-2t )1(t)
4. Dana jest transmitancja operatorowa obiektu G(s) . Wyznaczyć odpowiedz
układu na
impuls Diraca (funkcjÄ™ wagi) g(t) .
5s + 2 s +1
a. G(s) = d. G(s) =
2
s2 + 6s + 8
(s + 2)
2s + 3
s2 + s +1
b. G(s) =
e. G(s) =
s2 + 9s + 20
(s + 3)(s2 + 5s + 6)
2s +1 2s + 3
c. G(s) = f. G(s) =
3
s(s +1)
(s +1)
5. Obiekt opisany jest równaniem ró\
niczkowym. Wyznaczyć transmitancję operatorową G(s)
oraz odpowiedz
układu na impuls Diraca (funkcję wagi) g(t) .
2 2 2 2
a. 2y +12y +10y = 2u + 8u
2 2 2 2
b. 2y +12y +16y = 8u + 4u
2 2 2 2
c. 3y +15y +12y = 9u + 6u
6. Obiekt opisany jest równaniem ró\
niczkowym. Wyznaczyć transmitancję operatorową G(s)
oraz odpowiedz
układu na skok jednostkowy y1(t) .
2 2 2 2
a. y + 4y + 3y = u + u
2 2 2 2 2 2 2 2 2
b. y + 5y + 6y = 2u + 6u
2 2 2 2 2 2
c. y + 5y + 4y = u + u + u
7. Znalez
ć transmitancję G(s) czwórnika elektrycznego:
a. b.
R
L
U1
U2
R
C
U2
U1
i
i
c. d.
C L
L
U1 i1 i2
C
U1
R
U2
U2
L
C
i
PODSTAWY AUTOMATYKI  ĆWICZENIA
lista zadań nr 2
Charakterystyki czasowe i częstotliwościowe
1. Wykreślić charakterystykę impulsową obiektów opisanych transmitancją operatorową G(s) :
a. G(s) = 5 2
c. G(s) =
s
1 5
b. G(s) = d. G(s) =
s + 2 s(2s +1)
2. Wykreślić charakterystykę odpowiedzi na skok jednostkowy obiektów opisanych
transmitancjÄ… operatorowÄ… identycznÄ… jak w zadaniu I.
3. Wykreślić charakterystykę amplitudowo  fazową (Nyquista) obiektów opisanych
transmitancjÄ… operatorowÄ… identycznÄ… jak w zadaniu I.
4. Wykreślić logarytmiczną charakterystykę amplitudowo  fazową (na karcie Nicholsa)
obiektów opisanych transmitancją operatorową identyczną jak w zadaniu I.
5. Wykreślić uproszczone logarytmiczne charakterystyki modułu i argumentu (Bodego)
obiektów opisanych transmitancją operatorową G(s) :
10s +1 100
a. G(s) = f. G(s) =
s2 s(s +10)
1 s
b. G(s) = g. G(s) =
2
(s +1)(s + 0,1)
(s +10)
s +1 0,01(s +10)
c. G(s) = h. G(s) =
2
(s +1)(100s +1)
(0,1s +1)
s 10(100s +1)
d. G(s) = i. G(s) =
2
(s + 0,1)(0,1s +1)
(s +1)
10s 10(10s +1)
e. G(s) = j. G(s) =
(s +1)(s +10) (0,1s + 0,1)(100s +1)
6. Wyznaczyć transmitancję operatorową G(s) dla układów, których uproszczone
logarytmiczne charakterystyki modułu dane są na rysunkach:
a. b.
L(É) [dB] L(É) [dB]
60 60
40 40
20 20
10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 É [rad/s] 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 É [rad/s]
c. d.
L(É) [dB] L(É) [dB]
60 60
40 40
20 20
10-2 10-1 100 101 102 103 É [rad/s] 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 É [rad/s]
104
...
e. f.
L(É) [dB] L(É) [dB]
60 60
40 40
20 20
10-2 10-1 100 101 102 103 104 É [rad/s] 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 É [rad/s]
PODSTAWY AUTOMATYKI  ĆWICZENIA
lista zadań nr 3
Algebra schematów blokowych. Uchyby ustalone
1. Wyznaczyć transmitancję zastępczą układów jak na rysunkach:
a.
Y(s)
U(s)
G1 G3
G2 G4
b.
se-5s
s2 +12s +1

c.
G1
G3
G2

G4
d.
G1
G2

G3
G4
e.
G1
G2 G3 G4
G5
f.
G1 G2 G3

G4 G5
G6
2. Dana jest transmitancja układu otwartego G12 (s) . Obliczyć wartość uchybów poło\
enia,
prędkości i przyspieszenia:
a. G12 (s) = 4
s2 + s + 0,5
g. G12 (s) =
s3 + 2s2
5
4s4 + 3s2 + 2s + 0,5
b. G12 (s) =
h. G12 (s) =
s
s4 + 2s3
4
s + 5
i. G12 (s) =
G12 ( s ) =
3
c.
2
(s +1)
s
2
5
(s + 0,1)
d. G12 (s) =
j. G12 (s) =
s + 5
(s2 + s)(2s2 + s)
2 2 1
e. G12 (s) = k. G12 (s) = +
s2 + s + 3 s +1 s2 + 2s +1
2 2 1
f. G12 (s) = l. G12 (s) = +
s3 + s2 + 3s s2 s2 + 2s
PODSTAWY AUTOMATYKI  ĆWICZENIA
lista zadań nr 4
Stabilność cz.1
1. Korzystając z kryterium Routh a zbadać stabilność układu o transmitancji podanej poni\
ej.
Określić liczbę biegunów w prawej i w lewej półpłaszczyz
nie.
10s +1 s
a. G(s) = d. G(s) =
5s4 + 4s3 + 3s2 + 2s +1 3s3 + 2s2 + s +1
1 5
b. G(s) = e. G(s) =
s4 + 4s3 + 3s2 + 2s +1 s3 + 2s2 + 3s + 4
3s +1 s +10
c. G(s) = f. G(s) =
s4 + 5s3 + 5s2 - 5s - 6 5s3 + s2 + s +1
2. Dana jest transmitancja G12(s) układu otwartego (ze sztywnym sprzę\
eniem zwrotnym).
Wykorzystując kryterium Michajłowa zbadać czy układ zamknięty jest stabilny.
2 1
a. G12 (s) = c. G12 (s) =
s3 + s2 + s +1 3s3 + 2s2 + 3s +1
1
e-s
b. G12 (s) =
d. G12 (s) =
s3 + 2s2 + 3s +1
s2 + s +1
3. Dana jest transmitancja G12(s) układu otwartego. Wykorzystując kryterium Nyquista
zbadać czy układ zamknięty jest stabilny.
4 1
a. G12 (s) = c. G12 (s) =
(s +1)(s2 +1,5s -1) s3 - s
1 5
b. G12 (s) = d. G12 (s) =
(s2 + 2s +1)(s -1) s (s2 + 5s + 6)
4. Dana jest transmitancja G12(s) układu otwartego. Wykorzystując kryterium Nyquista
zbadać dla jakiego k układ zamknięty jest stabilny.
k 2k
a. G12 (s) = c. G12 (s) =
3
(s + 2)(s + 4)(s + 6)
(s + 4)
k 35k
b. G12 (s) = d. G12 (s) =
2
(s2 + 7s +12)(s +1)
(s +1) (s + 3)
PODSTAWY AUTOMATYKI  ĆWICZENIA
lista zadań nr 5
Stabilność cz.2
1. Dana jest transmitancja G12 (s) układu otwartego. Wykorzystując kryterium logarytmiczne
zbadać czy układ zamknięty jest stabilny.
7
a. G12(s) =
3
(s +1)
16
b. G12(s) =
(s2 + 4s + 4)(s + 2)
3
c. G12 (s) = e-5s
s + 2
2. Dana jest transmitancja G12(s) układu otwartego. Obliczyć zapas fazy i wzmocnienia dla
układu zamkniętego.
4 32
a. G12(s) = c. G12(s) =
3
(s2 + 8s +16)(s + 4)
(s +1)
1 3
b. G12 (s) = e-2s d. G12 (s) =
s + 0,5 2s2 +10s +12
PODSTAWY AUTOMATYKI  ĆWICZENIA
lista zadań nr 6
Zmienne stanu
1. Korzystając z metody bezpośredniej wyznaczyć równania stanu dla obiektu o transmitancji
G(s) przy zerowych warunkach poczÄ…tkowych:
2 2s +1
a. G(s) = c. G(s) =
s2 - 3s + 2 2s2 + 4s + 6
4 1
b. G(s) = d. G(s) =
s3 + 2s2 + 6 s3 + s2 + 3s + 3
2. Korzystając z metody równoległej wyznaczyć równania stanu dla obiektu o transmitancji
G(s)
przy zerowych warunkach poczÄ…tkowych:
1 0,5s + 3
a. G(s) = c. G(s) =
s2 + 5s + 6 0,5s2 + 3s + 4
2s +1 s +10
b. G(s) = d. G(s) =
s2 + 6s + 5 (s + 2)(s + 4)(s + 6)
3. Korzystając z metody szeregowej wyznaczyć równania stanu dla obiektu o transmitancji
G(s) przy zerowych warunkach poczÄ…tkowych:
1 s(s - 4)
a. G(s) = c. G(s) =
2
(s +1)(s + 4)
(s + 2)
4 s - 2
b. G(s) = d. G(s) =
2s2 + 6s + 4 s2 (s + 2)
4. Dane są równania stanu:
sX(s) = AX(s) + BU (s)
Wyznaczyć transmitancję G(s) .
Y (s) = CX(s) + DU (s)
1 1 0 1 2 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
a. A = , B = , C = [1 0], D = 0 d. A = , C = [0 1], D = 0
ïÅ‚1 1śł ïÅ‚1śł ïÅ‚3 4śł , B = ïÅ‚2śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1 2 1 2 2 4
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
b. A = , C = [1 0], D = 0 e. A = , C = [1 1], D = 0
ïÅ‚2 1śł , B = ïÅ‚1śł ïÅ‚3 3śł , B = ïÅ‚4śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
2 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚- 2 1 1
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
c. A = , C = [1 0], D = 0 f. A = ,C = [2 2], D = 0
ïÅ‚1 2śł , B = ïÅ‚0śł ïÅ‚- 3 1śł , B = ïÅ‚2śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
PODSTAWY AUTOMATYKI  ĆWICZENIA
lista zadań nr 7
Transformata Z
1. KorzystajÄ…c wprost z definicji znalez
ć transformatę Z funkcji:
a. f (n) = n2 d. f (t) = e-4t1(t)
p
b. f (n) = 3n
e. f (t) = et-T 1(t)
c. f (n) = 5n +1
f. f (t) = 0,5t21(t)
2. Korzystając z podstawowych własności transformaty, znalez
ć transformatę Z funkcji:
a. f (t) = (3t + 8)1(t)
d. f (t) = 0,5t2 1(t)
b. f (t) = (- t + 5)1(t)
e. f (t) = 5e3t1(t)
c. f (t) = t-11(t) f. f (t) = (t + 3e-4t)1(t)
3. Obliczyć odpowiedz
na impuls Diraca, g(n) , dla układu impulsowego o transmitancji:
0,5z + 2 z
a. G(z) = e. G(z) =
z2 + 6z + 5 z2 +1,5z + 0,5
5z + 2 2z + 3
b. G(z) = f. G(z) =
z2 + 6z + 8 z2 + 9z + 20
z + 0,5 3z +1
c. G(z) = g. G(z) =
z2 + 7z +10 z2 + 4z + 3
4z + 2 z +1
d. G(z) = h. G(z) =
2
z2 + 8z +15
(z + 2)
4. Obliczyć odpowiedz
na skok jednostkowy, y1(n) , dla układu impulsowego o transmitancji:
z 2z +1
a. G(z) = d. G(z) =
z - 2 z -1
1 z
b. G(z) = e. G(z) =
0,5z -1 z2 - 5z + 6
z -1 z + 4
c. G(z) = f. G(z) =
z +1 z2 - z - 2
5. Dana jest odpowiedz
na impuls Diraca g(n) . Obliczyć transmitancję takiego układu
impulsowego:
a. g(n) = 2Å"3n + 3Å" 2n c. g(n) = 2 Å" (-1)n-1 + 3Å" (-2)n
b. g(n) = 5 Å" 2n +1 g(n) = n 3n-1
d.
6. Wyznaczyć odpowiednik impulsowy transmitancji układu ciągłego G(s) dla czasu
próbkowania Tp = 0,1s .
2s +1 1
a. G(s) = d. G(s) =
s2 + 3s + 2 s2 - 4
s - 2 s + 4
b. G(s) = e. G(s) =
s2 + 5s + 4 s2 + 2s
1 1
c. G(s) = f. G(s) =
s2 + 5s + 6 s2 + 2s +1
PODSTAWY AUTOMATYKI  ĆWICZENIA
lista zadań nr 8
Równania ró\
nicowe
1. Znalez
ć równanie ró\
nicowe wiÄ…\
ące sygnały wejściowy i wyjściowy dla układu
impulsowego o transmitancji G(z) , zakładając zerowe warunki początkowe. Obliczyć
wartość próbki sygnału wyjściowego y(3) , dla sygnału wejściowego u(t) = 1(t) .
z +1 2
a. G(z) = c. G(z) =
z2 - 6z + 5 z +10
1 1
b. G(z) = d. G(z) =
z2 + 5z + 6 z2 - 2
2. Rozwiązać równanie ró\
nicowe dla podanych warunków początkowych.
a. y(n) - 4y(n -1) = 0 , y(-1) = 1
b. y(n) - 9y(n - 2) = 0 , y(-1) = 1, y(-2) = 1
c. y(n) - 3y(n -1) + 2y(n - 2) = 0 , y(-1) = 2 , y(-2) = 1
d. y(n) - 3y(n -1) + 2y(n - 2) = 0 , y(-1) = 3 , y(-2) = 2
e. y(n) + y(n -1) - 2y(n - 2) = 0 , y(-1) = 3, y(-2) = 6
3. Rozwiązać układ równań ró\
nicowych dla podanych warunków początkowych.
x1(n +1) 4 - 3 x1(n)
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
a.
ïÅ‚x (n +1)śł = ïÅ‚2 -1śł ïÅ‚x (n)śł , x1(0) = 2, x2(0) = 1
ðÅ‚ 2 ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ 2 ûÅ‚
x1(n +1) 6 4 x1(n)
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
b.
ïÅ‚x (n +1)śł = ïÅ‚- 3 -1śł ïÅ‚x (n)śł , x1(0) = 1, x2(0) = 2
ðÅ‚ 2 ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ 2 ûÅ‚
x1(n +1) 4 - 3 x1(n)
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
c.
ïÅ‚x (n +1)śł = ïÅ‚3 - 2śł ïÅ‚x (n)śł , x1(0) = 3, x2(0) = 1
ðÅ‚ 2 ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ 2 ûÅ‚
PODSTAWY AUTOMATYKI  ĆWICZENIA
lista zadań nr 9
Ekstrapolatory
1. Obliczyć transmitancję G(z) obiektu o transmitancji G(s) przy zastosowaniu ekstrapolatora
zerowego rzędu.
1 2
a. G(s) = , Tp = 1s d. G(s) = , Tp = 10s
s +1 s + 5
2 1
b. G(s) = , Tp = 1s e. G(s) = , Tp = 1s
s + ln(0,5) s2 - 3s + 2
2 s +1
c. G(s) = , Tp = 0,1s f. G(s) = , Tp = 1s
s + 5 (s - ln(4))(s - ln(2))
2. W układzie jak na rys. 9.1 zastosowano ekstrapolator zerowego rzędu. Obliczyć wartości
pierwszych n próbek sygnałów odpowiedzi y(n) i błędu e(n) przy pobudzeniu skokiem
jednostkowym (Tp = 1s ).
GE(s) G0(s)
Tp
Rys. 9.1. Układ regulacji z ekstrapolatorem.
1 0,5
a. G0(s) = , n = 7 c. G0(s) = , n = 4
s + 2 s + 4
3 1
b. G0(s) = , n = 5 d. G0(s) = , n = 4
3s +1 s2 + 6s + 8
3. W układzie jak na rys. 9.1 zastosowano ekstrapolator zerowego rzędu. Obliczyć wartości
pierwszych pięciu próbek sygnałów odpowiedzi y(n) i przy pobudzeniu skokiem prędkości
(Tp = 1s ).
1 1
a. G0(s) = c. G0(s) =
s +1 s - 2
1 0,5
b. G0(s) = d. G0(s) =
3s +1 2s - 3
PODSTAWY AUTOMATYKI  ĆWICZENIA
lista zadań nr 10
Algebra schematów blokowych
Uchyby ustalone
1. Wyprowadzić wzór na dyskretną transmitancję zastępczą układów jak na rysunkach:
a.
Y(s)
U(s) E(s)
G1(s) G2(s)
Tp
-
G3(s)
Tp
b.
Y(s)
U(s) E(s)
G1(s) G2(s)
Tp
-
G3(s)
2. Wyznaczyć transmitancję zastępczą układów jak na rysunkach:
a.
1
G1(s) =
Y(s)
U(s)
E(s)
s
G1(s)
Tp
1
-
G2(s) =
s + 2
G2(s)
Tp = 1
b.
1
G1(s) =
U(s) E(s) Y(s)
s - ln 2
G1(s)
Tp
2
-
G2(s) =
s - ln 3
G2(s)
Tp = 1
Tp
c.
1
G1(s) =
E(s) Y(s)
U(s)
s
G1(s)
Tp
2
-
G2(s) =
s
G2(s)
Tp = 1
d.
1
G1(s) =
E(s) Y(s)
U(s)
s - ln 2
G1(s)
Tp
2
-
G2(s) =
s - ln 2
G2(s)
Tp = 1
3. Dana jest transmitancja układu otwartego G12(z) . Obliczyć wartość uchybów poło\
enia,
prędkości i przyspieszenia (Tp = 1s ):
0,5z - 0,25
2
f. G12(z) =
a. G12(z) =
z2 -1,5z + 0,5
2z -1
1
2z2 - 0,96z - 0,12
b. G12(z) =
g. G12(z) =
z2 - 0,7z - 0,9
z3 -1,9z2 + 0,8z + 0,1
5
z2 -1,25z + 0,625
c. G12(z) =
h. G12(z) =
z3 -1,5z2 + 0,75z - 5,125
z3 - 2,5z2 + 2z - 0,5
0,2z +1
3z2 + 0,75z - 0,625
d. G12(z) =
i. G12(z) =
z2 + 0,1z -1,1
z3 -1,5z2 + 0,5
- 0,4z +1
2,3z2 - 2,9z +1
e. G12(z) =
j. G12(z) =
z2 + 0,1z -1,1
z3 - 3z2 + 3z -1
PODSTAWY AUTOMATYKI  ĆWICZENIA
lista zadań nr 11
Stabilność
1. Dana jest transmitancja G12(z) układu otwartego. Zbadać stabilność układu zamkniętego,
wykorzystując podstawowy warunek stabilności układów dyskretnych.
2 2
a. G(z) = c. G(z) =
z2 -1,3z -1,6 z2 -1,8z - 0,38
2 z + 2
b. G(z) = d. G(z) =
z2 - 0,4z -1,92 z2 - 3z - 0,96
2. Korzystając z kryterium Jury ego zbadać stabilność układu o transmitancji:
z + 3
2z2 + 5z +1
a. G(z) =
e. G(z) =
5z4 + 4z3 + 3z2 + 2z +1
4z4 + 2z3 + 2z2 + 2z + 2
5
z2 + z +1
f. G(z) =
b. G(z) =
5z4 + z3 + 2z2 + 3z + 4
2z4 + z3 + 4z2 + 2z +1
z + 4
3z3 +1
g. G(z) =
c. G(z) =
3z4 - 3z3 + 2z2 - 2z +1
3z4 - z3 + 4z2 - 2z + 2
2z +1
z3 + 2z2 +1
h. G(z) =
d. G(z) =
2z4 - z3 + z2 - z +1
3z4 + 3z3 + 2z2 + 3z + 2
3. Dana jest transmitancja G12(z) układu otwartego. Wykorzystując kryterium Nyquista
zbadać czy układ zamknięty jest stabilny (Tp = 1s).
1 1
a. G12(z) = c. G12(z) =
z -1,5 z - 2,2
2 0,8
b. G12(z) = d. G12(z) =
z -1,8 z -1,2
4. Dana jest transmitancja G12(z) układu otwartego. Wykorzystując kryterium Nyquista
zbadać dla jakiego k układ zamknięty jest niestabilny (Tp = 1s).
k 2k
G12(z) = d. G12(z) =
z + 0,5 3z + 0,4
a.
k k
G12(z) = e. G12(z) =
2z + 0,2 2z -1,8
b.
k 0,1k
G12(z) = f. G12(z) =
z + 0,8 12z + 9,6
c.