Teoria liczb 2010, sem.IV,
B.Bajorska, O.Macedońska
Wykład 7. Równanie Pitagorasa
2
Definicja 1. (1) Równanie postaci X2 + Y = Z2 o niewiadomych X, Y, Z
nazywamy równaniem Pitagorasa.
(2) Każdą trójkę liczb naturalnych spełniającą równanie Pitagorasa na-
zywamy trójką pitagorejską. Jeśli trójka pitagorejska składa się z liczb
względnie pierwszych, to nazywamy ją właściwą trójką pitagorejską.
(3) Trójkąt, którego długości boków tworzą (właściwą) trójkę pitagorejską
nazywamy (właściwym) trójkątem pitagorejskim.
Przykład Trójka 3, 4, 5 jest trójką pitagorejską, bo 32 + 42 = 52. Jest
to trójka właściwa ponieważ NW D(3, 4, 5) = 1. Trójkąt o bokach długości
3, 4, 5 jest właściwym trójkątem pitagorejskim. Trójka 6, 8, 10 jest również
trójką pitagorejską, ale nie właściwą, ponieważ NW D(6, 8, 10) = 2. Trójkąt
o bokach długości 6, 8, 10 jest trójkątem pitagorejskim.
Uwaga 1 Trójki pitagorejskie są uporządkowanymi trójkami liczb - z reguły
po zmianie kolejności przestają być pitagorejskie. Jedynym wyjątkiem jest
zamiana pierwszych dwóch liczb  jeśli x, y, z jest trójką pitagorejską, to
y, x, z również.
Uwaga 2 Jeśli x, y, z jest trójką pitagorejską, to rozwiązaniami całkowitymi
równania Pitagorasa są również wszystkie trójki liczb postaci ąx, ąy, ąz
(układ znaków dowolny).
Lemat 1. Każda trójka pitagorejska jest naturalną wielokrotnością pewnej
trójki właściwej.
Dowód. Niech x, y, z będzie trójką pitagorejską i niech NW D(x, y, z) = d.
Wtedy istnieją liczby naturalne x1, y1, z1 takie, że x = dx1, y = dy1, z = dz1
oraz NW D(x1, y1, z1) = 1 (Wykład 3, Wn.3, Lem.3). Ponadto, dzieląc obu-
2 2
stronnie równość x2 + y2 = z2 przez d2, otrzymujemy x2 + y1 = z1, zatem
1
x1, y1, z1 jest właściwą trójką pitagorejską, a x, y, z jest jej naturalną wielo-
krotnością.
Twierdzenie 1 (Pitagoras). Istnieje nieskończenie wiele właściwych trójek
pitagorejskich.
Dowód. Zauważmy, że dla dowolnego naturalnego n mamy
(2n2 + 2n + 1)2 = (2n2 + 2n)2 + 2(2n2 + 2n) + 1 = (2n2 + 2n)2 + (2n + 1)2,
zatem liczby postaci 2n + 1, 2n2 + 2n, 2n2 + 2n + 1 tworzą trójki pitagorej-
skie. Ponieważ dwie ostatnie różnią się o 1, to są względnie pierwsze, a więc
wszystkie trzy są względnie pierwsze. Zatem są to trójki właściwe i jest ich
nieskończenie wiele.
1
Udowodnimy najpierw cztery lematy potrzebne do następnego twierdzenia.
Lemat 2. Niech d, z będą niezerowymi liczbami całkowitymi. Jeśli d2|z2, to
d|z.
Dowód. Aby udowodnić, że d|z wystarczy pokazać, że NW D(d, z) = d.
Jeśli NW D(d, z) = t, to dla pewnych całkowitych liczb a, b mamy z = at, d =
bt, NW D(a, b) = 1 (Wykład 3, Wn.3). Ponadto z warunku d2|z2 wynika, że
dla pewnego całkowitego k mamy z2 = kd2. Zatem
a2t2 = kb2t2 =Ò! a2 = kb2 =Ò! b|a2 L.Eukl. b|a,
=Ò!
a więc b = NW D(a, b) = 1. Stąd b = 1, a więc d = t = NW D(d, z).
Lemat 3. Trójka pitagorejska x, y, z jest właściwa wtedy i tylko wtedy, gdy
NW D(x, y) = 1. To znaczy NW D(x, y, z) = 1 Ð!Ò! NW D(x, y) = 1.
Dowód. Jeśli NW D(x, y) = 1, to oczywiście NW D(x, y, z) = 1, zatem
trójka jest właściwa.
Odwrotnie, z faktu, że trójka x, y, z jest właściwa, czyli NW D(x, y, z)=1
mamy wywnioskować, że NW D(x, y) = 1. Niech NW D(x, y) = d, wtedy
d|x, d|y, a więc mamy d2 dzieli x2, y2, a stąd d2|(x2 + y2), czyli d2|z2. Z
Lematu 2 mamy d|z. A więc d dzieli NW D(x, y, z), czyli d|1. a stąd d = 1
co kończy dowód.
Lemat 4. Jeśli x, y, z jest właściwą trójką pitagorejską, to liczby x, y są
różnej parzystości, a z jest liczbą nieparzystą.
Dowód. Zauważmy najpierw, że kwadrat liczby parzystej jest postaci 4k, a
kwadrat liczby nieparzystej postaci 4k + 1.
Z Lematu 3 wynika, że liczby x, y nie mogą być jednocześnie parzyste.
Załóżmy, że x, y są nieparzyste. Stąd x2 = 4r + 1, y2 = 4s + 1 dla pewnych
r, s. Wtedy z2 = 4(r + s) + 2, co jest niemożliwe, bo kwadraty są postaci 4k
lub 4k + 1. Tak więc x, y są różnej parzystości i ich kwadraty też. Wtedy
z2 = 4k + 1 dla pewnego k, a więc z jest liczbą nieparzystą.
Lemat 5. Niech a, b, c będą liczbami naturalnymi. Jeśli c2 = ab oraz
NW D(a, b) = 1, to istnieją liczby naturalne m, n takie, że a = n2, b = m2.
Dowód. Zapiszmy liczby a, b, c w postaci kanonicznej (Wykład 6, Wn.1)
i i i
a = pk , b = pj , c = pt ,
i i i
pi"P pi"P pi"P
przy czym prawie wszystkie liczby ki, ji, ti są równe 0, a P jest uporządkowa-
nym rosnÄ…co zbiorem liczb pierwszych.
Z równości c2 = ab mamy
i i
pk +ji = p2t
i i
pi"P pi"P
2
Ponieważ NW D(a, b) = 1, to wykładniki ki, ji nie mogą być równocześnie
różne od 0, więc z Podstawowego Twierdzenia Arytmetyki (Wykład 6, Tw.1)
wynika, że dla każdego i albo ki = 2ti albo ji = 2ti. Zatem wszystkie
wykładniki w postaciach kanonicznych liczb a, b są parzyste, a więc liczby
ki ji
2 2
n := pi , m := pi
pi"P pi"P
sÄ… naturalne oraz a = n2, b = m2.
Twierdzenie 2 (Postać właściwych trójek pitagorejskich). Jeśli x, y, z jest
właściwą trójką pitagorejską taką, że y jest liczbą parzystą, to istnieją względ-
nie pierwsze liczby naturalne m, n o różnej parzystości, przy czym m > n,
takie, że
x = m2 - n2, y = 2mn, z = m2 + n2.
Dowód. Jeśli x, y, z jest trójką pitagorejską (liczby są naturalne oraz z > x),
to
y2 = z2 - x2 = (z - x)(z + x).
Ponieważ y jest parzyste, to y = 2c dla pewnego naturalnego c. Wobec tego
z Lematu 4 wynika, że x, z są nieparzyste, a zatem 2|z ą x, czyli dla pewnych
naturalnych a, b, a < b, mamy
z - x = 2a, z + x = 2b.
Zatem mamy
b + a = z, b - a = x.
Pokażemy najpierw, że NW D(a, b) = 1. Jeśli NW D(a, b) = d, to d|a, d|b
i z Własności 8 (Wykład 2, Tw.1) mamy
d|b + a =Ò! d|z oraz d|b - a =Ò! d|x.
Zatem oczywiście d2|z2, d2|x2, a stąd
d2|z2 - x2 =Ò! d2|y2 Lem.2 d|y.
=Ò!
Ponieważ x, y, z jest trójką właściwą oraz d|x, d|y to z Lematu 3 wynika, że
d = 1, a stÄ…d mamy NW D(a, b) = 1.
Z równości y2 = (z - x)(z + x) mamy c2 = ab, a z Lematu 5 wynika, że
istnieją liczby naturalne m, n takie, że a = n2, b = m2, wobec tego
z = b + a = m2 + n2, x = b - a = m2 - n2,
i dalej mamy
c2 = ab = n2m2 =Ò! c = mn oraz y = 2c = 2mn.
3
Ponieważ x = m2 - n2 = (m - n)(m + n) oraz x jest nieparzystą liczbą
dodatnią, to obie liczby m ą n muszą być nieparzyste i dodatnie, co z kolei
oznacza, że liczby m, n muszą być różnej parzystości oraz m > n.
Pozostaje jeszcze pokazać, że NW D(m, n) = 1. Jeśli NW D(m, n) = d,
to d|m, d|n, skąd oczywiście wynika, że d2|m2, d2|n2 i mamy
d2|m2 - n2 =Ò! d2|x oraz d2|2mn =Ò! d2|y.
Zatem d2|NW D(x, y). Ponieważ z Lematu 3 mamy NW D(x, y) = 1, to
d = 1, co kończy dowód twierdzenia.
Poniższe twierdzenie jest niejako odwrotne do Twierdzenia 2.
Twierdzenie 3. Każda trójka liczb naturalnych x, y, z postaci:
x = m2 - n2, y = 2mn, z = m2 + n2,
gdzie m, n są względnie pierwszymi liczbami naturalnymi o różnej parzystości
takimi, że m > n, jest właściwą trójką pitagorejską.
Dowód. Ponieważ (m2 - n2)2 + (2mn)2 = (m2 + n2)2, to x, y, z jest trójką
pitagorejską. Aby udowodnić iż jest to trójka właściwa, wystarczy pokazać,
że NW D(x, z) = 1, bo wtedy także NW D(x, y, z) = 1.
Jeśli NW D(x, z) = d, to w szczególności
d|x =Ò! d|m2 - n2 oraz d|z =Ò! d|m2 + n2,
i na podstawie Własności 8 (Wykład 2, Tw.1) mamy
d|z + x =Ò! d|2m2 oraz d|z - x =Ò! d|2n2.
Ponieważ z założenia jedna z liczb m, n jest nieparzysta a druga parzysta,
to x = m2 - n2 jest liczbą nieparzystą, zatem każdy jej dzielnik (d również)
jest liczbÄ… nieparzystÄ…. Wobec tego NW D(d, 2) = 1 i z Lematu Euklidesa
(Wykład 3, Lem.1) wynika, że d|m2, d|n2, a więc d|NW D(m2, n2). Ponieważ
NW D(m, n) = 1, to NW D(m2, n2) = 1, zatem d|1, więc d = 1, co kończy
dowód.
Uwaga Z Twierdzeń 2 i 3, Lematu 1 oraz Uwagi 1 po Definicji 1 wynika, że
każda trójka pitagorejska jest postaci
k(m2 - n2), 2kmn, k(m2 + n2)
lub postaci
2kmn, k(m2-n2), k(m2+n2)
gdzie k, m, n są naturalne i takie, że m > n, 2 (m-n), NW D(m, n) = 1.
4