Dariusz Wójcik
Instytut Elektroniki
Politechnika ÅšlÄ…ska w Gliwicach
Długość skuteczna anteny
Niniejszy materiał stanowi uzupełnienie wykładu z przedmiotu Pola i Fale Elektromagne-
tyczne, prowadzonego na Wydziale Automatyki, Elektroniki i Informatyki Politechniki ÅšlÄ…-
skiej w Gliwicach, i przeznaczony jest do wyłącznego użytku Studentów IV sem. kierunku
Elektronika i Telekomunikacja.
Jednym z ważniejszych parametrów anteny, który może służyć do opisu zarówno jej własności nadaw-
czych jak i odbiorczych, jest tak zwana wektorowa długość skuteczna, oznaczana dalej jako lsk. Po-
mijając dość skomplikowane wyprowadzenia matematycznie rozpocznijmy od stwierdzenia, że pole
elektryczne wytworzone przez dowolną antenę można zapisać w postaci
-j·ke-jkr
E = I0 lsk , (1)
4Ä„r
gdzie I0 jest prądem na zaciskach wejściowych anteny, r  odległością punktu obserwacji od początku
ukÅ‚adu współrzÄ™dnych, a k i ·, odpowiednio, liczbÄ… falowÄ… i impedancjÄ… wÅ‚aÅ›ciwÄ… oÅ›rodka, w którym
umieszczona jest antena. Pole w dużej odległości od anteny ma lokalnie strukturę fali płaskiej, tzn.
1
H = [1r × E] .
·
Tak więc, składową magnetyczną pola wytwarzonego przez antenę opisuje wzór
-jke-jkr
H = I0 [1r × lsk] .
4Ä„r
Z własności fali płaskiej, która jest falą poprzeczną, wynika, że wektor lsk może mieć tylko dwie
niezerowe składowe:
lsk(¸, Ć) = l¸(¸, Ć) 1¸ + lĆ(¸, Ć) 1Ć .
W powyższym wzorze wyraz
nie zaznaczono, że składowe wektorowej długości skutecznej są funk-
cjami kierunku, to znaczy zależą od zmiennych ¸ i Ć, opisujÄ…cych poÅ‚ożenie punktu obserwacji
w układzie współrzędnych sferycznych związanych z anteną. Wektorowa długość skuteczna jest wek-
torem zespolonym, który w pełni opisuje własności kierunkowe z
ródła. Znając wektor lsk można
więc wyznaczyć wiele innych parametrów anteny, takich jak charakterystyka promieniowania czy
zysk kierunkowy. W odróżnieniu jednak od tych parametrów, wektorowa długość skuteczna opisuje
dodatkowo zmiany fazy skÅ‚adowych pola w funkcji zmiennych ¸ i Ć.
W literaturze występuje również pojęcie długości skutecznej anteny lsk, które ma zdecydowanie
węższe znaczenie niż zdefiniowany wcześniej wektor lsk. Długość skuteczną anteny należy rozumieć
jako wartość maksymalną modułu wektorowej długości skutecznej, czyli długość wektora lsk na kie-
runku maksymalnego promieniowania anteny:
lsk = |lsk|max .
Długość skuteczną anteny można interpretować jako długość anteny liniowej z jednorodnym rozkła-
dem prądu o wartośći I0, która umieszczona prostopadle do kierunku maksymalnego promieniowania
wytworzy w tym kierunku takie samo natężenie pola, jak antena badana.
Związek długości skutecznej z charakterystyką promieniowania anteny.
Charakterystykę promieniowania anteny definiuje się jako funkcję opisującą przestrzenny rozkład
pola elektrycznego na powierzchni kuli o dużym promieniu otaczającym antenę, unormowany wzglę-
dem wartości maksymalnej. Z definicji długości skutecznej anteny widzimy, że musi zachodzić na-
stępujący związek
E(¸, Ć) |lsk|
f(¸, Ć) = = . (2)
Em lsk
Własności odbiorcze anteny.
Jeżeli antenę oświetlimy falą płaską, to napięcie na rozwartych zaciskach anteny będzie równe
Uo = -E · lsk , (3)
gdzie E jest wektorem pola elektrycznego fali płaskiej oświetlającej antenę mierzonym w początku
układu współrzędnych. Z punktu widzenia zacisków wyjściowych antenę odbiorczą można traktować
jako dwójnik aktywny, reprezentowany przez szeregowe połączenie siły elektromotorycznej o war-
tości Uo i impedancji anteny ZA = RA + jXA. Załóżmy, że antena współpracuje z dopasowanym
"
obciążeniem ZL = ZA = RA - jXA. Moc dostarczona do obciążenia będzie wtedy równa
2
Uo |E · lsk|2
Po = = .
4RA 4RA
Jeżeli będziemy zmieniać orientację anteny względem padającej fali, lub, nie zmieniając orientacji
anteny, polaryzację fali padającej, to zmieniać się będzie wartość napięcia Uo. Oczywiście, będzie
to powodować zmianę wartośći moc dostarczonej do obciążenia. Jeżeli antena umieszczona jest tak,
że moc dostarczona do obciążenia jest największa, to mówimy o tzw. dopasowaniu polaryzacyjnym.
Stosunek mocy dostarczonej do obciążenia do wartości maksymalnej tej mocy uzyskanej przy pełnym
dopasowaniu polaryzacyjnym nazywany jest współczynnikiem dopasowania polaryzacyjnego anteny,
który można wyliczyć ze wzoru
|E · lsk|2
p = . (4)
|E|2|lsk|2
Współczynnik p przyjmuje wartości w granicach od 0 (pełne niedopasowanie polaryzacyjne) do 1, co
odpowiada pełnemu dopasowaniu. Można go też policzyć w następujący sposób
|E · lsk|2 |1e · 1l|2
p = = = |1e · 1l|2 , (5)
|E|2|lsk|2 |1e|2|1l|2
gdzie 1e i 1l są unormowanymi względem swych długości wektorami natężenia pola elektrycznego
i długości skutecznej, odpowiednio.
Moc dostarczana przez antenę odbiorczą do dopasowanego obciążenia można również wyliczyć
ze wzoru Frissa, który przy uwzględnieniu stanu dopasowania polaryzacyjnego przyjmuje postać
2
PnGnGo 4Ä„r
Po = p gdzie L = . (6)
L 
Wielkość L nazywana jest tłumieniem wolnej przestrzeni.
Wyprowadzimy teraz związek pomiędzy długością skuteczną anteny a jej zyskiem energetycz-
nym. W warunkach dopasowania moc dostarczoną do obciążenia można zapisać jako
2 2 2 2
Uo lskE2 E2 ·0lsk ·0lsk
Po = = = · = S · .
4RA 4RA ·0 4RA 4RA
We wzorach tych skorzystano ze wzorów na długość skuteczną anteny i gęstość strumienia mocy
fali płaskiej. Biorąc pod uwagę związek pomiędzy powierzchnią skuteczną a zyskiem energetycznym
oraz, że Po = SAe dostajemy ostatecznie
2 2
·0lsk 2 ·0lsk c2
Ae = = G = G . (7)
4RA 4Ä„ RA Ä„f2
Przykład 1. Wyznaczyć wektorową długość skuteczną anteny wytwarzającej pole o polaryzacji ko-
Å‚owej prawoskrÄ™tnej, zysku energetycznym G = 4 dBi i charakterystyce promieniowania f(¸, Ć) =
| sin ¸ cos Ć|. Rezystancja anteny RA = 75 &!, a czÄ™stotliwość robocza f = 27 MHz.
Rozwiązanie: Długość skuteczną anteny wyznaczymy stosując wzór (7)

2
·0lsk c2 c GRA GRA
= G lsk = = 0 H" 4.43 (m) .
RA Ä„f2 f Ä„·0 Ä„·0
Wektorowa długość skuteczna i charakterystyka promieniowania powiązane są zależnością (2)
|lsk|
f(¸, Ć) = |lsk| = f(¸.Ć) lsk
lsk
lsk = |lsk| 1l = lskf(¸, Ć) 1l
Wektor 1l należy dobrać tak, aby pole wytwarzane przez antenę miało zadaną polaryzację, na przykład
1¸ - j1Ć
1l = " .
2
Ostatecznie dostajemy

GRA 1¸ - j1Ć
lsk = 0 | sin ¸ cos Ć| " H" 3.13| sin ¸ cos Ć| (1¸ - j1Ć) .
Ä„·0
2
Przykład 2. A
ącze radiowe wykorzystuje anteny o polaryzacji kołowej. Policzyć współczynnik do-
pasowania polaryzacyjnego, gdy antena nadawcza ma polaryzację prawoskrętną, a antena odbiorcza
a) lewoskrętną, b)prawoskrętną.
Rozwiązanie: Polaryzacja anteny jest określona poprzez polaryzację fali przez nią wypromieniowanej
 jest więc określana w trybie nadawczym. Współczynnik dopasowania polaryzacyjnego charakteryzuje
natomiast odbiór fali. Przed jego wyzaczeniem istnieje więc konieczność zapisania pola fali padającej
w ukłądzie współrzędnych związanym z anteną odbiorczą, co wyjaśnia poniższy rysunek.
z
z
antena odbiorcza antena nadawcza
y
y
1Ć
z
L
U
x x
g
1Ć
1¸
1¸
Składową elektryczną pola anteny nadawczej w pobliżu anteny odbiorczej zapisujemy jako (fala o pola-
ryzacji prawoskrętnej):
E = E0(1 - j1 ) = E0(1¸ + j1Ć) ,
¸ Ć
gdzie współrzędne primowane odnoszą się do układu współrzędnych związanego z anteną nadawczą.
Wektor jednostkowy opisujący polaryzację fali padającej jest równy
1¸ + j1Ć
1e = " .
2
Polaryzację anteny odbiorczej opisuje natomiast następujący wektor:
1¸-j1Ć
"
polaryzacja prawoskrętna 1l = ,
2
1¸+j1Ć
"
polaryzacja lewoskrętna 1l = .
2
Wpółczynnik dopasowania polaryzacyjnego jest więc równy
1
polaryzacja prawoskrÄ™tna p = |(1¸ + j1Ć) · (1¸ - j1Ć)|2 = 1 ,
4
1
polaryzacja lewoskrÄ™tna p = |(1¸ + j1Ć) · (1¸ + j1Ć)|2 = 0 .
4
Widzimy, że w przypadku, gdy jako antena odbiorcza zastosowana zostanie antena o polaryzacji prawo-
skrętnej uzyskamy pełne dopasowanie. Jeśli natomiast zastosujemy antenę o polaryzacji lewoskrętnej,
to żadna moc nie zostanie dostarczona do obciążenia. Widzimy więc, że antena nadawcza i odbiorcza
powinny mieć tę samą polaryzację.